Solution to Evans pde.pdf-资料库

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Evans 偏微分方程的部分习题解答杨嘉南 ∗ 前言: 本习题解答仅包含浙江大学《现代偏微分方程》这一课程中教授布置过的作业习题。本课程使用了 Evans 所著的《偏微分方程》这一优秀教材。由于网上鲜有 Evans 所著偏微分方程课后习题的相关解答或提示 (或者错误百出)，且难度较高，很多问题都是通过班上几位同学与教授讨论之后才能够给出解答。该课程结束后，本人收集了多名同学的解答并略作整理，制作了本份习题解答参考，希望能对之后自学 Evans 所著《偏微分方程》的同学有所帮助。答案可能仍有疏漏，希望使用这份答案的同学能够多多指教。由于本人英语水平不足，本答案将所有习题都翻译成了中文，解答也用中文给出，所有习题对应于原书第二版内容。关键词: Sobolev 空间，变分法，非变分法，存在性分析，不动点迭代 1 第五章: Sobolev 空间练习 5.1 若 k 2 f0, 1 . . .g, 0 < γ 1. 证明 C k,γ 是一个 Banach 空间. 证明. ‹正定性显然 kDαuk 0, jDαu(x) Dαu(y)j C(U ) 8α 2 fjαj kg 0 ) [Dαu]C0,γ (U ) 0 jx yjγ kuk C(U ) kuk Ck,γ (U ) = 0 ) u 0 j Dαu(x) Dαu(y) (x y)γ j = j 0 0 (x y)γ j, 8x 6= y 若 kuk Ck,γ (U ) = 0, 则若 u 0, 则 Dαu 0, 因此 kuk Ck,γ (U ) = 0. ›三角不等式证明 8u, v 2 C k(U ), ku + vk kuk Ck,γ (U ) + kvk Ck,γ (U ) Ck,γ (U ) ∗浙江省杭州市浙大路 38 号, 浙江大学数学科学学院 (3160102138@zju.edu.cn) 1

2 C(U ) 1 第五章: SOBOLEV 空间由 kDα(u + v)k C(U ) = max x∈U max x∈U [Dα(u + v)]C0,γ (U ) = sup x,y∈U x̸=y = sup x,y∈U x̸=y sup x,y∈U x̸=y sup x,y∈U x̸=y C(U ) + kDαvk jx yjγ jDαv(x)j = kDαuk jDαu(x) + Dαv(x)j jDαu(x)j + max x∈U fjDα(u(x) + v(x)) Dα(u(y) + v(y))j fjDα(u(x) u(y)) + Dα(v(x) v(y))j fjDαu(x) Dαu(y)j fjDαu(x) Dαu(y)j jx yjγ jx yjγ + g g jx yjγ jDαv(x) Dαv(y)j g jx yjγ fjDαv(x) Dαv(y)j jx yjγ g g + sup x,y∈U x̸=y = [Dαu]C0,γ (U ) + [Dαv]C0,γ (U ) ∴ ku + vk kuk Ck,γ (U ) + kvk Ck,γ (U ) Ck,γ (U ) kβuk Ck,γ (U ) = = = X X X |α|≤k |α|≤k |α|≤k X X X |α|=k |α|=k [Dα(βu)]C0,γ (U ) [βDα(u)]C0,γ (U ) C(U ) + |α|=k [βDα(u)]C0,γ (U ) kDα(βu)k C(U ) + kβDα(u)k C(U ) + jβjkDα(u)k ﬁ齐次性其中 [βDαu]C0,γ (U ) = sup x,y∈U x̸=y fjβjjDαu(x) Dαu(y)j jx yjγ g jx yjγ g = sup x,y∈U x̸=y fjβDαu(x) βDαu(y)j fjDαu(x) Dαu(y)j = jβj sup g = jβj [Dα(u)]C0,γ (U ) x,y∈U x̸=y X X jx yjγ ∴ kβukCk,γ (U ) = jβj( kDα(u)k |α|≤k C(U ) + |α|=k [Dα(u)]C0,γ (U )) = jβjkuk Ck,γ (U ) ﬂ完备性: 给定 C k,γ(U ) 中的一个 Cauchy 列 fung. 证明存在一个 u 2 C k,γ(U ) 满足 un ! u(u 2 1) in C k,γ(U )

1 第五章: SOBOLEV 空间 3 由 fung C k(U ), 而 C k(U ) 是完备的. 可找到一个 u 2 C k(U ), 成立. 为方便起见, 定义 v := Dαu, vn := Dαun, 则对任意固定的 x 6= y, limn→∞ un = u 在 C k(U ) 中 jv(x) v(y)j jx yjγ = jv(x) vm(x) + vm(x) vm(y) + vm(y) v(y)j jv(x) vm(x)j jx yjγ jvm(x) vm(y)j jx yjγ jx yjγ jx yjγ jvm(y) v(y)j + + , 8m 2 N 令 m ! 1 时, |v(x)−vm(x)| 由所取的 Cauchy 列的性质, 一致有界. 不妨记最后证 Cauchy 列的收敛性, 只需证 Holder 半范收敛. |x−y|γ 与 Mα (x 6= y), 从而有 u 2 C k,γ(U ). |vm(x)−vm(y)| |x−y|γ |x−y|γ 可以任意小 (vm ! v 是一致的). 并且 |vm(y)−v(y)| |vm(x)−vm(y)| |x−y|γ j (v vm)(x) (v vm)(y) jx yjγ j = = jv(x) vm(x) v(y) + vm(y)j j limk→∞ vk(x) vm(x) limk→∞ vk(y) + vm(y)j jx yjγ jx yjγ = lim k→∞ = lim k→∞ jvk(x) vm(x) vk(y) + vm(y)j j(vk vm)(x) (vk vm)(y)j jx yjγ jx yjγ 由 fung Cauchy 列的性质, 此式值可任意小 (x 6= y, m 足够大),vn ! v 成立. 由于 α 的个数是有限的, 从而 un ! u in C k,γ(U ) 成立. 练习 5.2 假设 0 < β < γ 1. 证明插值不等式 kukC0,γ (U ) kuk 1−γ 1−β C0,β (U ) kuk γ−β 1−β C0,1(U ) 证明. 令 t = γ−β 1−β , 则 (1 t)β + t = γ, ju(x) u(y)j jx yjβ 1−tju(x) u(y)j jx yj t ju(x) u(y)j jx yjγ = 从而 kukC0,γ (U ) kuk1−t C(U ) kukt C(U ) + [u]1−t C0,β (U ) [u]t C0,1(U ) 记 a1 = kukC(U ), b1 = kuk1−t C(U ) kukt C(U ), a2 = [u]C0,β (U ) , b2 = [u]C0,1(U ) 而 f (x) = xt(0 < t <

1 第五章: SOBOLEV 空间 1) 是一个凹函数, 从而 a1−t 1 1 + a1−t bt 2 bt 2 = (a1 + a2) (a1 + a2) 从而 t a1 a1 + a2 b1 + b2 a1 + a2 t + a2 a1 + a2 b1 a1 = (a1 + a2)1−t(b1 + b2)t b2 a2 4 ! t kukC0,γ (U ) kuk1−t C(U ) kukt C(U ) + [u]1−t C0,β (U ) + [u]t C0,1(U ) (kukC0,γ (U ) + [u]C0,β (U ))1−t(kukC(U ) + [u]C0,1(U ))t = kuk1−t kukt C0,β (U ) C0,1(U ) 练习 5.3 记 U 为开方形 fx 2 R2 jx1j < 1,jx2j < 1g. 定义 1 x1 x1 > 0 jx2j < x1 1 + x1 x1 < 0 jx2j < x1 1 x2 x2 > 0 jx1j < x2 1 + x2 x2 < 0 jx1j < x2 8>>>>>><>>>>>>: 8>>>>>><>>>>>>: 对哪些 1 p 1, 有 u 2 W 1,p(U )? 证明. 显然 u 2 C(U ), 且 u 在每个三角形内部平滑. 定义 ⃗v = Du 在每一个三角形上, 即则对任意 ϕ 2 C ∞ c (U ), 用 Ui(i = 1, 2, 3, 4) 分别表示四个三角形, 则 Z Z 4X ⃗vϕ = U i=1 Ui uDϕ + ⃗niuϕ Ui i=1 ∂Ui 我们已知 ϕ = 0 在 ∂U 上成立, 且 u 在 ∂Ui 上连续, 从而 (1, 0) (1, 0) x1 > 0 jx2j < x1 x1 < 0 jx2j < x1 (0,1) x2 > 0 jx1j < x2 x2 < 0 jx1j < x2 4X (0, 1) Z Z (Du)ϕ = 4X 4X Z i=1 ⃗niuϕ = 0 i=1 ∂Ui

1 第五章: SOBOLEV 空间因此 Z Z ⃗vϕ = 4X uDϕ 对每个分量成立, 因此 u 2 W 1,p 对任意 p 成立 (⃗v 显然是 Lp 的). i=1 Ui U U uDϕ = Z 5 练习 5.4 假设 n = 1, u 2 W 1,p(0, 1) 对某个 1 p < 1 成立. (a) 证明 u 几乎处处等于一个绝对连续函数, 其几乎处处存在的导数 u (b) 证明若 1 < p < 1, 则 ′ 2 Lp(0, 1). 1 p Z Z Z ju(x) u(y)j jx yj1− 1 p 1 ju ′jpdt 0 R 0 Du(s)ds, 则 v 是一个绝对连续函数. 对任意给定的 ϕ 2 C t ∞ c , 几乎对每一对 x, y 2 [0, 1] 处处成立. 证明. Z (a) 定义 v(t) = Z (v u)ϕ Z Z dx = Z dx ′ 1 0 1 0 x ′ Du(t)ϕ (x)dt Z ′ u(x)ϕ (x)dx 1 1 0 Du(x)ϕ(x)dx 0 (x)Du(t)dx + 0 1 ′ ϕ 1 Z dt 1 t ϕ(t)Du(t)dt + 0 0 1 Du(x)ϕ(x)dx = 0, Du 2 Lp(0, 1) 因此 v(x) u(x) = C a.e. , 且 v(x) C 是绝对连续的. (b) 由 Holder 不等式 Z y ju ′ (t)jdt x ju ′jpdt 1− 1 p = 1 p Z x dt y Z y ju ′jpdt 1 Z p j(y x)j1− 1 jx yj1− 1 1 Z ju ′jpdt x 1 p p p ju(x) u(y)j a.e.==== y ju ′ (t)jdt) y ju ′ (t)jdt x x 0 练习 5.5 设 U, V 是开集, V U. 证明存在一个光滑函数 ζ, ζ 1 在 V 上成立, ζ = 0 在 ∂U 附近成立. 0 = = Z ( x y Z

1 第五章: SOBOLEV 空间 6 证明. 证明对任意 V W U, 去一个光滑函数 u, u 1 在 V 上成立, 且 supp(u) W. 设 , ϕε(z) 是支集在 fjzj εg 中的 standard mollifier, ε = dist(V , W c) > 0 1 3 ′ V Z := fz : dist(z, V < εg Z u(x) := χV ′ ϕε(x) = χV ′(x y)ϕε(y)dy = ϕε(y)dy 则 u 是光滑的, 且 u = 1 在 V 上成立, 且支集在 fx j dist(x, V ) 2εg W 中. x−V ′ Rn 练习 5.6 假设 U 有界, U S 8<:0 ζi 1, P 证明. 取开集 W, 满足 U W S 函数 fζigN T T fiP Vi 上成立, fi = 0 在 Vin(W i=1 称作单位分解. N i=1 ζi = 1 定义 U ζi = Vi) 上成立. N i=1 Vi. 证明存在 C ∞ 函数 ζi(i = 1, . . . , N ) 使得 sptζi Vi(i = 1, . . . , N ) on U N i=1 Vi. 由练习 5.5, 存在光滑函数 fi, 满足 fi 1 在由于由 ζi 的定义, P N[ n i=1 fi i = 1, 2, . . . , N NX (U \ Vi) = U, 0 ζi 1, fi 1 on U sptζi (W \ Vi) Vi i=1 ζi 2 C ∞ i=1 (U ), N i=1 ζi = 1 在 U 上成立. 练习 5.7 假设 U 是有界的, 且存在一个光滑向量场 ⃗α, ⃗α ⃗ν 1 在 ∂U 上成立, 其中 ⃗ν 是向外指的单位法向量. 假设 1 p < 1, 将 Gauss-Green 定理用于 jupj⃗α ⃗νdS, 推导出另一个迹不等式的证明: Z Z Z ∂U jupjdS C jDujpdx + jupjdx , 8u 2 C 1(U ) ∂U U U R

1 第五章: SOBOLEV 空间 7 证明. Z jupjdS ∂U = Z Z Z ∂U U U jupj⃗α ⃗νdS D(jujp⃗α)dx Z (jujpdiv⃗α + Djujp ⃗α)dx Z (jujp−1jDuj + jujp)dx Z p 1 p jujp + 1 p U U (jDujp + jujp)dx = C C C (jDujp + jujp)dx (Young 不等式) U 练习 5.8 设 U 是一个有界且边界 C 1 的开集. 证明一个典型的函数 u 2 Lp(U )(1 p < 1) 在 ∂U 上没有迹. 更准确地说, 证明不存在有界线性算子: T : Lp(U ) ! Lp(∂U ) 满足 T u = uj∂U, u 2 C(U ) \ Lp(U ). 证明. 考虑函数列 un(x) = (1 ndist(x, ∂U ))+, 其中 (f (x))+ = f (x) 0 f (x) < 0 8<:jf (x)j Z 0 从而 un 2 C(U ), 另一方面 kunkp,∂U 是一个常量且非零. 由单调有界定理及 u1(x) u2(x) . . . , 0 un(x) 1. 且对每个 x 2 U, 当 n ! 1 时有 un(x) = 0, kunkp,U ! 0. 1 kun(x)kLp(U ) = lim n→∞ jun(x)jpdx p = 0 lim n→∞ U 若要再假设 T 是有界线性算子, 则 kT unkp,∂U kunkp,U kunkp,∂U kunkp,U = ! 1 从而 T 并不是有界线性算子.

1 第五章: SOBOLEV 空间 8 练习 5.9 利用分部积分证明插值公式 (不等式) kDukL2 Ckuk 1 2 L2kD2uk 1 2 L2 c (U ) 成立. 假设 U 有界, ∂U 光滑, 证明该不等式在 u 2 H 2(U ) \ H 1 ∞ 0 (U ) 时也成 ∞ c (U ). 则对 p = 2, Holder 不等式满足 jDuj2dx = u∆udx C jujjD2ujdx C U U U U U Z 1 2 Z juj2dx 1 2 jD2uj2dx 0 (U ) 中收敛于 U, (U ) 在 H 2(U ) 中收敛于 U. Z 1 Z 1 2 jD2wkj2dx U Z vk∆wkdx C 1 jvkj2dx Z U 2 jD2wkj2dx 2 jvkj2dx jvkjjD2wkjdx C 1 2 ! kukL2(U )kD2ukL2(U ), k ! 1 U U L2(U ), k ! 1 U Dwk Dvkdx ! kDuk2 Z Z U (Dwk Dvk jDuj2)dx = kDwkkL2(U )kDvk DukL2(U ) + kDukL2(U )kDwk DukL2(U ) ! 0(k ! 1) Dwk (Dvk Du) + Du (Dwk Du)dx (jDwkjjDvk Duj + jDujjDwk Duj)dx U kDuk2 L2(U ) CkukL2(U )kD2ukL2(U ) k ! 1 Z Z U 对任意 u 2 C 立. 证明. 设 u 2 C Z Z k=1 设 u 2 H 1 0 (U ) \ H 2(U ), 记 fvkg∞ C ∞ c (U ) 在 H 1 fwkg∞ C ∞ Z 由 Green 公式, Z k=1 Dwk Dvkdx = Z U 且由 U 接下来只需证明 Z U 因此练习 5.10 (a) 分步积分证明 kDukLp kuk 1 2 LpkD2uk 1 2 Lp

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