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网球运动中的鹰眼系统.doc
以前述方法，每隔 0.01 s 计算一次，最后就会得到位置、速度与加速度对时间的关系。
承 诺 书
我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式
（包括电话、电子邮件、网上咨 询等）与队外的任何人（包
括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别
人的成果或其他公开的资料
（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述
方式在正文引用处和参考文献中 明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B中选择一项填写）： A
我们的参赛报名号为:
35
日期： 2010
年 1 月 3 日
网球运动中的鹰眼系统
摘要
本文对网球运动中的“鹰眼”技术进行了详细的阐述，由于人眼的局限性，
故需一个精确地系统来判定裁决，球在空中的运动是一个较复杂的运动力学的问
题。影响网球落地地点的因素有运动员出球速度、球在三维坐标下与各坐标轴的
夹角、运动员掷球高度、现场风速、运动员所站位置以及空气阻力等参数，为求
出网球落地点的具体位置，考虑到各个不同因素的影响，我们需要将一些次要因
素忽略来求解。
我们不考虑运动员击打球的过程，只把网球视为一个抛物体，并看成是一个
质点，对鹰眼系统提供的数据忽略其误差，网球在空中运动时不考虑所受的空气
阻力，只考虑受重力的影响。那么网球在空中的运动轨迹应该是一个类似抛物线
的方程，从而通过力的分解，我们就可以运用牛顿三个定律将网球运动轨迹求出
来，然后通过“鹰眼”系统提供网球的初始速度，发球坐标点以及球的速度方向，
运用一定的物理知识，可以解得网球做抛物运动的具体落地点，然后依据国际标
准网球比赛场地的大小尺寸来判断落地的网球是否出界。
若计算出的具体位置到底线的距离在网球弹性形变后的直径范围内，就需要
考虑球与地的碰撞所产生的形变问题，若球心在底线外而球的边缘切点在底线里
面则没有出界为压线球。即使只有一毫米之差，若切点中离底线最近的点还是在
底线外面，则球已经出界。
在任务二中我们也把空气阻力考虑进去，计算出的落地点，经过比较跟不考
虑空气阻力的结果一样。
最后分析在解题过程中所忽略的一些因素对网球在空中运动轨迹的影响。
关键字： 鹰眼系统 网球比赛
判罚 影响
公切线
2
ABSTRACT
In this paper, tennis in the "Hawkeye" technology, described in detail,
due to the limitations of the human eye, so take an accurate system to
determine the ruling, the ball in the air campaign is a more complex
movement mechanics problems. Landing sites affect the tennis player out
of the ball speed factors, the ball in three-dimensional coordinates with
the axis of the angle, athletes throw a high degree, on-site wind speed,
athletes stop locations, as well as air resistance and other parameters,
in order to find the landing point of tennis specific location, taking
into account various factors, we need to ignore some secondary factors
to solve.
We do not consider the players hit the course of play, only to tennis
as a throwing object, and as a mass of data provided by Hawk-Eye system,
ignore the error, tennis in the air and suffered exercise does not consider
air resistance, only to considered by the effect of gravity. Tennis in
the air, then the trajectory should be similar to a parabolic equation,
which through the power of the decomposition, we can use Newton's three
laws of motion trajectory seek out the tennis, and then "Hawkeye" system
provides tennis initial velocity, tee coordinates the direction and speed
of the ball, using some physical knowledge of possible solutions to get
tennis to do the concrete parabolic movement pick-up points, and then
according to international standards for the size of the size of tennis
venue to determine whether the landing out of bounds tennis.
If the calculated distance from the specific location in the end line
after the elastic deformation in tennis within the diameter range, we need
to consider the collision of the ball and ground deformation resulting
from the issue, if the hot core in the bottom line the outside edge of
the ball inside the cut point in the bottom line there is no out of bounds
for the pressure line of the ball. Even if only a millimeter difference,
if the cut point from the nearest point of the bottom line or bottom line
outside, then the ball is out of bounds.
In the task 2, we also put air resistance into account, the calculated
landing point, by comparison with the results without considering air
resistance the same.
In the final analysis, problem-solving in the process of ignoring some
of the factors on the tennis in the air trajectory effects.
Key words: Hawk- eye system； Tennis competition；Ruling；influence；
common tangent；
问题提出
3
在未出现“鹰眼”系统时，由于我们人视力观察能力有限，经常出现判罚错
误，导致比赛的不公平性和无法使选手和观众满意。
“鹰眼”的使用是自 1970 年网球进入公开时代引入“抢七局”代替“长盘决胜”
后的最大变革,是一项具有里程碑意义的举措。经过在一系列比赛中的试用和使
用,虽然存在着反对声音,但网球世界并没有因为这个新事物的光临而毁灭;相反,
与网球相关的利益群体都获得了美妙的体验,这对网球运动的发展来说,无疑是
个好消息。
网球比赛中运用的鹰眼存在的意义在于:克服人类观察能力上存在的极限和
盲区，帮助裁判做出精确公允的判断。“鹰眼”的正式名称是“即时回放系统”，
它的技术原理并不复杂，只是十分精密。这个系统由 8 个或者 10 个高速摄像头、
四台电脑和大屏幕组成。首先，借助电脑的计算把比赛场地内的立体空间分隔成
以毫米计算的测量单位；然后，利用高速摄像头从不同角度同时捕捉网球飞行轨
迹的基本数据；再通过电脑计算，将这些数据生成三维图像；最后利用即时成像
技术，由大屏幕清晰地呈现出网球的运动路线及落点。从数据采集到结果演示，
这个过程所耗用的时间，不超过 10 秒钟。通常用于电视转播。这项技术早在 2001
年初问世时便获得了英国皇家电视协会颁发的科技革新奖，2003 年又因广泛使
用于网球转播而获全美电视最高奖艾美奖的“杰出科技贡献奖”。对网球界人士
来说，将鹰眼技术引入网球现场判罚是一项具有重大意义的革新，足以与 36 年
前引入抢七制相提并论。专门负责审核这项技术使用情况的四届大满贯得主、美
国名将考瑞尔表示：“对一项很少改变传统的运动来说，这是非常大的一个进步。”
每场比赛每位选手可以提出两次要求，不管“鹰眼”是否一定正确，但是它一定
是最终判决的依据！
每项运动都有其规律,其发展离不开科技手段的支持、服务、保障,网球运动
也是这样。网球是一项隔网对抗的运动项目,具有场地不大、球速快、变化多等
特点;特别是速度之快,早已超过人眼的能力。因此“,
鹰眼”在网球比赛中的应用是有其必然性的。类似这样的技术在其他一些体育运
动中也有应用。“鹰眼”显示的落点是一个阴影，它不是拍出来的，而是由飞行
数据精确计算出来的。通过“鹰眼”我们可得到网球在空间中的三维坐标、速度
及速度方向，经过一系列的精确计算判断网球是否出界或者是否可能触网。
鉴于网球运动本身的特点,引入“鹰眼”作为裁判判罚和电视转播的辅助工具,
这对网球运动发展产生了巨大的影响:把电视转播带入到一个新阶段,给观看和
解说比赛提供新视角;有助于球员改进技术,丰富战术;加速比赛进程,增加其流
畅性和连续性;提高裁判业务水平,改善裁判和球员的交流方式;确保比赛的准确
性和公正性,带给观众和球员一个新的兴奋点。
模型分析
通过“鹰眼”系统我们可以获得网球速度、三维坐标点以及速度方向，为了
计算放便将网球看成一质点，在只受重力情况下来计算，不考虑其他因素对网球
落地点的影响，我们把网球的速度分解为三维坐标系下的三个分量，分别为 Vx，
Vy，Vz；由运动学知识可知网球在 X 轴上的分量和 Y 轴上的分量均做匀速直线运
动，而在在 Z 轴方向的分量先做向上的匀减速直线运动，当此方向分量的速度减
为 0 时，网球上升到最高点，然后又沿 Z 轴方向向下以 g 为加速度做匀加速直线
4
运动，直到落地为止。假设
V
x
v
*
cos
V
y
v
*
cos
Vz
v
*
cos
（v 为网球初速度），根据力学运动公式可计算出竖直位移 z 与 x 或者 z 与 y 之
间的关系，因为落地后 z=0，可以解出 x 的位移与 y 的位移，最后通过把 x 和 y
的值与标准网球场地尺寸比较。
若计算出的具体位置到边线的距离在网球弹性形变后的直径范围内，就需要
考虑球与地的碰撞所产生的形变问题，若球心在底线外而球的边缘切点在底线里
面则没有出界为压线球。即使只有一毫米之差，若切点中离底线最近的点还是在
底线外面，则球已经出界。从而可判断网球是否出界。
模型假设
（1）网球被看成一个质点。
（2）对鹰眼系统提供的数据忽略误差。
（3）运动过程的计算忽略空气阻力和网球的旋转问题。
符号说明
V：网球初始速度。
Vx：网球初始速度 V 在 x 轴方向的分量。
Vy：网球初始速度 V 在 y 轴方向的分量。
Vz：网球初始速度 V 在 z 轴方向的分量。
α:网球初始速度 V 与 x 轴的夹角。
β:网球初始速度 V 与 y 轴的夹角。
γ:网球初始速度 V 与 z 轴的夹角。
h：发球时网球的高度。
g:重力加速度。
（一）任务一
模型的建立与求解
5
假设通过鹰眼系统已经获得网球飞行中某点处的三维坐标（X1,Y1,Z1），速度 V，
速度方向(X2,Y2,Z2)，求网球的下降点。(忽略空气阻力 f)
解：
cos
cos
X
Y
2
2
X
2
2
2Z
2
Y
X
2
2
2
2
Z
2
2
2
Z
2
cos
2
Y
2
Y
X
2
2
2
2
Z
2
V
x
v
*
cos
V
y
v
*
cos
Vz
v
*
cos
则 ： X 方 向 的 位 移 ：
x
*t*v
cos
(1)
β
Y 方 向 的 位 移 ：
y=V*t*cos
(2)
Z 方向的位移：
z
vt
cos
1-γ
2
g
t2
1
z
联(4)立式将时间 t 消掉，求解得：
z
γ
cos
x
cos
gx
2
cos
2
2
2
v
1
z
z
γ
cos
y
cos
y
g
2
cos
2
2
2
v
1
z
(3)
(4)
(5)
若计算出的具体落地点与球场的边线距离比较接近时，我们需要考虑球落地的形
变来判断是否出界，网球在空中飞行时形变很小，可以忽略，而在落地那一瞬间
由 于 有 一 定 的 速 度 与 地 面 碰 撞 冲 击 ， 从 而 产 生 形 变 ， 网 球 直 径
6.541cm
for i=1:100;
for j=1:100;
if sqrt((i-50)^2+(j-50)^2)<3.429;
t(i,j)=1;
end;
end;
end;
figure(1)
imshow(t)
但在跟地面接触时由于球受到冲击，会产生形变，且由于形变能力有限，到一定
程度下不再改变，此时球与地面就会有切点，可以根据切点坐标来得出网球是否
出界。
if sqrt((i-50)^2+(j-50)^2)<3.429;
t(i,j)=1;
if sqrt((i-51)^2+(j-49)^2)<3.429;
t(i,j)=1;
MATLAB运行程序如下
clear
t=zeros(100,100);
for i=1:100;
for j=1:100;
end;
end;
end;
for i=1:100;
for j=1:100;
end;
end;
end;
for i=1:100;
for j=1:100;
if sqrt((i-52)^2+(j-48)^2)<3.429;
7
t(i,j)=1;
end;
end;
end;
for i=1:100;
for j=1:100;
end;
end;
end;
for i=1:100;
for j=1:100;
end;
end;
end;
for i=1:100;
for j=1:100;
end;
end;
end;
for i=1:100;
for j=1:100;
end;
end;
end;
for i=1:100;
for j=1:100;
end;
end;
end;
figure(2)
imshow(t)
if sqrt((i-56)^2+(j-44)^2)<3.429;
t(i,j)=1;
if sqrt((i-57)^2+(j-43)^2)<3.429;
t(i,j)=1;
if sqrt((i-53)^2+(j-47)^2)<3.429;
t(i,j)=1;
if sqrt((i-54)^2+(j-46)^2)<3.429;
t(i,j)=1;
if sqrt((i-55)^2+(j-45)^2)<3.429;
t(i,j)=1;
当在球上施加 18 磅（8.165 公斤）的压力时，向内发生弹性形变应该介于
0.22 英寸（0.559 厘米）和 0.29 英寸（0.737 厘米）之间，压缩后反弹形变的
范围应该介于 0.315 英寸（0.8 厘米）和 0.425 英寸（1.08 厘米）之间。而球的
8
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