求质点的运行轨迹.docx-资料库

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求质点的运行轨迹摘要本文是解决的是质点的运行轨迹问题，在不计空气阻力的情况下，为了求解物体在空气中运动的相应若干物理量，我们建立了一个最优化模型。物体的形状和大小可以忽略时，我们可以把该物体视为具有一定质量的几何点，即质点.运动学的基本问题是：已知质点的运动学方程，求质点的轨迹、速度和加速度；已知质点的速度或加速度求质点的运动方程和轨迹,而我们要解决的就是已知速度求质点的运动方程及轨迹问题。我们通过分析问题中的已知条件，找到其中的变量，目标函数和约束条件，从而对问题建立数学模型，利用 Matlab 软件求解。在本问题中质点做空气阻力忽略不计的斜抛运动，出射角有多值，加速度有多值，从而物体显示出不同的运动轨迹。关键词：运行轨迹、物理量、目标函数、约束条件、数学模型（一）问题重述 1.1 问题背景：物体以抛射角θ，速度 v 抛出，落点与射点在同一平面内，且不计空气阻力。 1.2 需要解决的问题：物体在空气中飞行的时间、落点距离和飞行的最大高度并画出质点的运动轨迹。（θ=25/35/45/55/65/75/85；v0=50m/s、100m/s）（二）问题假设假设 1：空气阻力忽略不计假设 2: 物体为质点假设 3: 重力加速度为 9.8m/s^2，物体斜抛过程中加速度保持不变符号 v0 t （三）符号表示符号说明初速度飞行时间

t1 θ x y x1 y1 飞行总时间抛射角水平距离飞行高度落点距离飞行最大高度（四）问题分析与模型建立 4.1 问题分析此题研究的是在空气阻力不计的情况下。求解物体在空气中做斜抛运动的落地点距离、飞行的最大高度、在空气中飞行的时间的数学建模问题。水平方向的速度是：v1=v0*cosθ 竖直方向的速度是：v2=v0*sinθ-g*t 水平方向的位移方程是：x=v0*t*cosθ 竖直方向的位移方程是：y=v0*t*sinθ-g*t^2/2 当在最高点时 v2=0 在斜抛运动中，从物体被抛出的地点到落地点的水平距离叫射程。从抛出点的水平面到物体运动轨迹最高点的高度叫射高。从物体被抛出到落地所用的时间叫飞行时间。 1）. 针对飞行时间求解的问题：对已知条件的分析，斜抛物体从被抛出到落地，在空中的飞行时间 t1 可以根据位置坐标方程求得，因为当 t=t1 时，y=0，则由物体匀加速运动速度与时间关系知，（0-v2）/g=t1/2，解得 t1=2*v0*sinθ/g。 2）.针对飞行最大高度求解的问题：对约束条件分析，显然射高等即竖直上抛分运动的最大高度，由物体匀加速运动中位移与时间关系知，初速度乘时间减去加速度与时间平方的二分之一，代入飞行时间 T，即得射高 Y= v0^2*(sinθ)^2/2*g。 3）.针对落点距离求解的问题：由已知条件易知，斜抛运动水平方向作匀速直线运动，由水平方向分运动的位移公式，可得射程为 X=v0cosθT，即 X=v0^2*sin2θ/g。

以上三式表明，斜抛物体飞行时间、射高和射程均由抛射的初始量 v0、θ所决定。只要初速度 v0 的大小和方向确定，那么该斜抛物体的飞行时间 T、射高 Y、射程 X 也就惟一确定了。 4.2 模型建立由上述确定目标函数：x=v0*cosθ*t; y=v0*sinθ*t-g*t^2/2; 并确定约束条件：时间 t 应在物体抛出到物体落地范围内即 0<=t<=t1 (其中 t1=v0*sinθ/g) （五）模型求解将目标函数和约束条件用矩阵的方式描述出来，我们用 matlab 软件求解这个模型，根据物体竖直初速度除以重力加速度后乘二得到物体飞行时间，再将飞行时间乘物体水平分速度得物体落地距离，最后根据物体飞行高度与时间关系求得物体飞行高度。抛出速度（m/s）抛射角（度）飞行时间（s) 落点距离(m) 飞行最大高度(m) 50 100 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 4.3124 5.8528 7.2154 8.3587 9.2480 9.8564 10.1653 8.6249 11.7056 14.4308 16.7174 18.4960 19.7128 20.3305 107.81 146.32 180.38 208.97 231.20 246.41 254.13 781.68 958.87 21.6635 41.9630 63.7755 85.5880 104.7696 119.0067 126.5821 91.1256 167.8520 1024.41 255.1020 958.87 781.68 510.20 177.19 342.3520 419.0785 476.0269 506.3285

图一（六）模型分析与检验仿真结果与讨论:在一些问题中，若物体的形状和大小可以忽略，则可以把该物体视为具有一定质量的几何点，这就是所谓的质点。质点运动学的基本问题是：已知质点的运动学方程，求质点的轨迹、速度和加速度；已知指点的速度或加速度求质点的运动方程和轨迹运行该程序，例如初速度 v0=50m/s，100m/s,出射角分别取 25，35，45，55，65，75，85，则可画出如图所示曲线，并在命令窗口中给出相应的射程、飞行最大声高度和飞行时间。在上述程序中，我们设定了目标高度为零。我们还可以对上述程序进行修改，使其能预先设定目标高度。抛出速度(m/s) 抛射角(度) 落地距离(m) 飞行最大高度(m) 50 100 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 194.8562 237.5541 254.5584 238.0342 194.4044 126.8213 44.0137 779.4247 950.2164 1.0182e+03 957.8726 777.6176 507.2853 176.9262 22.7478 41.9175 63.7104 85.4977 104.6610 118.8828 126.4506 91.0324 167.6701 254.8417 341.9909 418.6440 475.5311 505.8024 图二（七）模型优缺点分析

优点：（1）根据题目的要求我们确立了两个函数式，即物体斜抛运动的水平分运动，竖直分运动，以上两式组成物体斜抛运动轨迹方程，最终建立了最优的目标函数。（2）对于约束条件的建立，我们结合实际情况与假设条件，使约束条件达到具体化。缺点： (1)我们取重力加速度的值为 9.8m/s^2,以此值运算存在一定误差。改进：（1）所建模型是在不计空气阻力的条件下建立的，如果考虑空气阻力对物体斜抛运动的影响，增加约束条件，根据实际情况做不同调整，使模型更实际化。（2）所建模型假设了物体斜抛运动过程中，重力加速度值为 9.8m/s^2, 且不随物体飞行高度改变，如果重力加速度取值更精准，并使之随飞行高度随之改变，可使模型更精准化。推广：可在此基础上修改，推广求解计算空气阻力的情况下物体的运动轨迹，飞行高度，最大飞行时间，落点距离；也可预先设置物体的初始位置高度；更可拓展到竖直上抛运动等等。（八）参考文献 [1]谢金星，叶俊，姜启源，《数学建模》，高等教育出版社 2008 [2]司守奎，《数学建模算法与应用》，2008

（九）附录附录一 v0=50m/s: clear all y0=0;x0=0; v0=50; for theta=25:10:85; v1=v0*cosd(theta); v2=v0*sind(theta); ay=-9.8; tf=roots([ay/2,v2,y0]); t=0:0.1:(2*v0*sind(theta)/(-ay)); y=y0+v2*t+ay*t.^2/2; x=x0+v1*t; xf=max(x),yf=max(y),tf=max(tf),grid on,hold on plot(x,y); end xlabel('x'),ylabel('y') hold off 图三

附录二 v0=100m/s: clear all y0=0;x0=0; v0=100; for theta=25:10:85; v1=v0*cosd(theta); v2=v0*sind(theta); ay=-9.8; tf=roots([ay/2,v2,y0]); t=0:0.1:(2*v0*sind(theta)/(-ay)); y=y0+v2*t+ay*t.^2/2; x=x0+v1*t; xf=max(x),yf=max(y),tf=max(tf),grid on,hold on plot(x,y); end xlabel('x'),ylabel('y') hold off 图四

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