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有限元分析基础教程 Fundamentals of Finite Element Analysis 曾攀清华大学 2008-12

有限元分析基础教程曾攀有限元分析基础教程 Fundamentals of Finite Element Analysis 曾攀 (清华大学) 内容简介全教程包括两大部分，共分 9 章；第一部分为有限元分析基本原理，包括第 1 章至第 5 章，内容有：绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论；第二部分为有限元分析的典型应用领域，包括第 6 章至第 9 章，内容有：静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。本书以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建、典型例题、MATLAB 程序及算例、ANSYS 算例等一系列规范性方式来描述有限元分析的力学原理、程序编制以及实例应用；给出的典型实例都详细提供有完整的数学推演过程以及 ANSYS 实现过程。本教程的基本理论阐述简明扼要，重点突出，实例丰富，教程中的二部分内容相互衔接，也可独立使用，适合于具有大学高年级学生程度的人员作为培训教材，也适合于不同程度的读者进行自学；对于希望在 MATLAB 程序以及 ANSYS 平台进行建模分析的读者，本教程更值得参考。本基础教程的读者对象：机械、力学、土木、水利、航空航天等专业的工程技术人员、科研工作者。 - 1 -

有限元分析基础教程曾攀作者简介曾攀，男，1963 年生，海南省海口市人；1988 年在清华大学获博士学位，1988-1992 年先后在大连理工大学和西南交通大学从事两站博士后研究(领域为计算力学)，为国家杰出青年科学基金获得者(1998)、长江学者(2000)、德国“洪堡”学者(1994-1995)、“新世纪百千万人才工程”国家级人选。现为清华大学机械工程系主任、教授、博士生导师，为《机械工程学报》、《工程力学》、《塑性工程学报》等五个学术期刊的编委，为上海交通大学振动冲击噪声国家重点实验室、华中科技大学塑性成形模拟与模具国家重点实验室学术委员会委员，先后主持包括国家级重点基金项目、863 项目、霍英东基金项目等科研项目 30 多个，获教委科技进步二等奖、机械部一等奖、北京高等教育教学成果二等奖各一项，获国家发明专利授权两项；已出版及翻译学术著作有：《材料的概率疲劳损伤力学及现代结构分析原理》(曾攀， 1993)、《有限元分析及应用》(曾攀，2004)、《工程中的有限元方法》(T.R.Chandrupatla，曾攀译)(2006)、《有限元方法第 1 卷：基本原理》(O.C.Zienkiewicz(第 5 版)，曾攀译)(2008)，发表论文 100 多篇。主要从事计算力学、结构设计与分析、材料加工中的数值模拟等方面的研究。 - 2 -

有限元分析基础教程曾攀前言有限元分析已经在教学、科研以及工程应用中成为重要而又普及的数值分析方法和工具；该基础教程力求提供具备现代特色的实用教程。在教材的内容体系上综合考虑有限元方法的力学分析原理、建模技巧、应用领域、软件平台、实例分析这几个方面，按照教科书的方式深入浅出地叙述有限元方法，并体现出有限元原理“在使用中学习，在学习中使用”的交互式特点，在介绍每一种单元的同时，提供完整的典型推导实例、MATLAB 实际编程以及 ANSYS 应用数值算例，并且给出的各种类型的算例都具有较好的前后对应性，使学员在学习分析原理的同时，也进行实际编程和有限元分析软件的操作，经历实例建模、求解、分析和结果评判的全过程，在实践的基础上深刻理解和掌握有限元分析方法。一本基础教材应该在培养学员掌握坚实的基础理论、系统的专业知识方面发挥作用，因此，教材不但要提供系统的、具有一定深度的基础理论，还要介绍相关的应用领域，以给学员进一步学习提供扩展空间，本教程正是按照这一思路进行设计的；全书的内容包括两个部分，共分 9 章；第一部分为有限元分析基本原理，包括第 1 章至第 5 章，内容有：绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论；第二部分为有限元分析的典型应用领域，包括第 6 章至第 9 章，内容有：静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。在基本原理方面，以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建等一系列规范的方式进行介绍；在阐述有限元分析与应用方面，采用典型例题、MATLAB 程序及算例、ANSYS 算例的方式，以体现出分析建模的不同阶段和层次，引导学员领会有限元方法的实质，还提供有大量的练习题。本教程的重点是强调有限元方法的实质理解和融会贯通，力求精而透，强调学员综合能力(掌握和应用有限元方法)的培养，为学员亲自参与建模、以及使用先进的有限元软件平台提供较好的素材；同时，给学员进一步学习提供新的空间。本教程力求体现以下特点。 (1)考虑教学适应性：强调对学员在数学原理、分析建模、软件应用几个方面的培养目标要求，注重学员在工程数值方面的基础训练，培养学员“使用先进软件＋分析实际问题” 的初步能力。 (2)考虑认知规律性：力求按照有限元分析方法的教学规律和认知规律，在教材中设计了“基本变量、基本方程、求解原理、单元构建”这样的模块；并体现出有限元原理“在使用中学习，在学习中使用”的交互式特点，在介绍每一种单元的同时，提供实用的 MATLAB 实际编程和数值实例；在每一章还进行要点总结，给出典型例题，以引导学员领会有限元方法的实质，体现教材的启发性，有利于激发学员学习兴趣和便于自学。 (3)考虑结构完整性：本教程提供完整的教材结构：绪论、正文、典型例题、基于 MATLAB 的编程算例与数值算例、具有一定深度的 ANSYS 算例、各章要点、习题、专业术语的英文标注、关键词中文和英文索引、参考文献，便于学员查阅。 (4)内容上的拓展性：除基本内容外，还介绍了较广泛的应用领域，包括：静力结构分析、结构振动分析、传热过程分析、弹塑性材料分析；提供了有关的典型问题的建模详细分析过程，基本上反映了有限元分析在一些主要领域的应用状况及建模方法。 (5)编排上的逻辑性：本教程力求做到具有分明的层次和清楚的条理，在每一章中重点突出有限元方法的思想、数理逻辑及建模过程，强调相应的工程概念，提供典型例题及详解，许多例题可作为读者进行编程校验的标准考题(Benchmark)，还提供了对应的 MATLAB 编程 - 3 -

有限元分析基础教程曾攀算例与 ANSYS 算例，特别是介绍了基于 APDL 参数化的 ANSYS 建模方法，并给出具体的实例，力求反映有限元分析的内在联系及特有思维方式。由于作者的水平有限，所写的教程一定会出现不少错误，敬请读者提出批评。曾攀于清华大学 2008-12-11 - 4 -

有限元分析基础教程曾攀有限元分析基础教程 Fundamentals of Finite Element Analysis 目录第一部分有限元分析基本原理第 1 章绪论 1.1 概况 1 1.2 有限元方法的历史 1 1.3 有限元分析的作用 5 第 2 章有限元分析过程的概要 7 2.1 有限元分析的目的和概念 7 2.2 一维阶梯杆结构问题的求解 9 2.3 有限元分析的基本流程 17 2.4 有限元分析的特点 20 2.5 本章要点 22 第 3 章杆梁结构分析的有限元方法 23 3.1 杆梁结构分析的工程概念 23 3.2 杆件有限元分析的标准化表征与算例 24 3.2.1 杆件分析的基本力学原理 24 3.2.2 局部坐标系中的杆单元描述 28 3.2.3 杆单元的坐标变换 32 3.2.4 杆单元分析的 MATLAB 程序 35 3.2.5 杆结构分析的算例 38 3.3 梁件有限元分析的标准化表征与算例 47 3.3.1 梁件分析的基本力学原理 48 3.3.2 局部坐标系中的平面梁单元 54 3.3.3 平面梁单元的坐标变换 62 3.3.4 空间梁单元及坐标变换 63 3.3.5 梁单元的常用等效节点载荷 66 3.3.6 梁单元分析的 MATLAB 程序 68 3.3.7 梁结构分析的算例 70 3.4 应用：桥梁结构的 ANSYS 参数化分析 77 I

有限元分析基础教程曾攀 3.4.1 桥梁结构描述 77 3.4.2 基于 ANSYS 的桁架桥梁结构分析 78 3.5 本章要点 83 3.6 习题 83 第 4 章连续体结构分析的有限元方法 89 4.1 连续体结构分析的工程概念 89 4.2 连续体结构分析的基本力学原理 89 4.3 平面问题有限元分析的标准化表征 95 4.3.1 平面问题的 3 节点三角形单元描述 95 4.3.2 平面问题的 4 节点矩形单元描述 101 4.3.3 平面问题 3 节点三角形单元的 MATLAB 程序 114 4.3.4 平面问题 4 节点矩形单元的 MATLAB 程序 116 4.4 轴对称问题有限元分析的标准化表征 118 4.4.1 轴对称问题的基本变量及方程 118 4.4.2 3 节点三角形轴对称单元(环形单元) 120 4.4.3 4 节点矩形轴对称单元(环形单元) 122 4.5 空间问题有限元分析的标准化表征 123 4.5.1 空间问题的 4 节点四面体单元描述 123 4.5.2 空间问题的 8 节点正六面体单元描述 126 4.5.3 空间问题 4 节点四面体单元的 MATLAB 程序 128 4.5.4 空间问题 8 节点正六面体单元的 MATLAB 程序 130 4.6 形状映射参数单元的一般原理和数值积分 133 4.6.1 两个坐标系之间的三个方面的变换 133 4.6.2 参数单元的三种类型 137 4.6.3 参数单元刚度矩阵计算的数值积分 137 4.7 平面问题分析的算例 143 4.7.1 平面 3 节点三角形单元分析的算例 143 4.7.2 平面 4 节点四边形单元分析的算例 151 4.8 空间问题分析的算例 155 4.8.1 空间 4 节点四面体单元分析的算例 155 4.8.2 空间 8 节点六面体单元分析的算例 161 4.9 本章要点 165 4.10 习题 166 第 5 章有限元分析中的若干问题讨论 169 5.1 单元的节点编号与总刚度阵的存储带宽 169 5.2 单元形状函数矩阵与刚度矩阵的性质 170 5.2.1 形状函数矩阵的性质 170 5.2.2 刚度矩阵的性质 171 5.3 边界条件的处理与支反力的计算 177 II

有限元分析基础教程曾攀 5.4 单元位移函数构造与收敛性要求 188 5.4.1 选择单元位移函数的一般原则 188 5.4.2 关于收敛性问题 189 5.4.3 位移函数构造的收敛性准则 190 5.5 C0 型单元与 C1 型单元 192 5.6 有限元分析结果的性质与节点应力的平均处理 193 5.6.1 有限元分析结果的下限性质 193 5.6.2 共用节点上应力的平均处理 195 5.7 高阶单元的构建 196 5.7.1 一维高阶单元 196 5.7.2 二维高阶单元 199 5.7.3 三维高阶单元 202 5.8 提高计算精度的 h 方法和 p 方法 204 5.9 本章要点 205 5.10 习题 205 第二部分有限元分析的典型应用领域第 6 章静力结构的有限元分析 208 6.1 连续体平面问题的 MATLAB 有限元分析程序 208 6.1.1 程序原理 208 6.1.2 完整的 MATLAB 程序源代码 212 6.2 受均匀载荷方形板的有限元分析 216 6.3 自主程序开发与 ANSYS 前后处理器的衔接 222 6.4 工程应用：预应力万吨液压机机架的参数化建模与分析 228 6.4.1 模锻液压机的描述 228 6.4.2 8 万吨模锻液压机主牌坊的简化模型的有限元分析 230 6.5 习题 235 第 7 章结构振动的有限元分析 237 7.1 结构振动分析的基本原理 237 7.1.1 结构振动分析的基本方程 237 7.1.2 结构振动的有限元分析列式 239 7.1.3 常用单元的质量矩阵 241 7.2 汽车悬挂系统的振动模态分析 243 7.3 带有张拉的绳索的振动模态分析 247 7.4 机翼模型的振动模态分析 251 7.5 习题 255 第 8 章传热过程的有限元分析 258 III

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