《数字信号处理》(王世一版)课后习题答案北京理工大学出版社.pdf-资料库

10.讨论一个输入、输出关系由下面线形常系数差分方程联系的因果系统 − 1) 1) − + y n ( ) x n ( ) y n ( x n ( = + 1 2 1 2 （a）求该系统的单位取样响应 x n （b）用（a）中所得结果及卷积和，求对输入 ( ) （c）求系统的频率响应 j n e ω= 的响应 x n （d）求系统对输入 ( ) = cos ⎛ ⎜ ⎝ nπ π ⎞ ⎟ 的响应 2 4 ⎠ + 解： a ) H Z ( ) = 因为是因果系统， 1 + 1 − 1 2 1 2 − 1 − 1 z z = − 1 + 2 z z − 1 2 h n ( ) = Z − 1 [ X z ( )] = − ( δ n ) + 1 2 n − 1 ≥ n 0 j n ω ∗ − ⎛ ⎜ ⎝ δ ( n ) + 1 n 2 ⎞ ⎟ ⎠ e 1 n 2 b ) y n ( ) = x n ( ) ∗ h n ( ) = j ( ω n + 1) e j ω e n 1 a +− 2 a − 2 − 1 2 − a ≠ 1 a 2 = − e j n ω + 根据 n a 1 ∗ n a 2 = n 1 a + 1 a 1 c) H e ( j ω ) = H ( z ) z = e j ω = = H e ( j ω ) e ϕ ω ( ) j ω j ω e e + − 1 2 1 2 )ω 其中 ( jH e 迟为幅频特性，表示系统对某一频率的幅度响应， ( )ϕω 为相频特性，表示系统对某一频率的相位延 d ) j H e ω ) ( = ( ϕω ) = arctan( ω ω 5/ 4 cos + 5/ 4 cos − sin ω ω + cos 1/2 )-arctan( sin ω ω − 1/2 cos ) 题中 ω= ，则 ( jH e ω ) π 2 = 1 ) ϕω ( = 2arctan 2 cos( nπ π 2 4 + + 2arctan 2) y n 所以 ( ) =

12.试求如下各序列的傅里叶变换（a） x n ( ) 3 ) − ( nδ= 1 2 a u n ( ) n ( δ = = n (b) x n ( ) （c） x n ( ) ) 1 + + δ ( ) n + 1 2 ( δ n ) − 1 　　　 00 （a）试求模拟滤波器的频率响应，并会出其振幅特性略图（b）若 ch nT = ( ) h n ( ) d a ，试求数字滤波器的频率响应，并求能使数字滤波器的频率响应在 0ω= 处为 1 的 c 值。画出 ( j H e ω 的幅频特性略图。 ) d 解: a H j ) ( A Ω = ) H j ( A 0 ⎛ Ω = ⎜ ⎝ ) b ) h n ( ) d = ch nT ( a ∞ ∑ n =−∞ ⎛ c = ⎜ ⎝ ∞ ∫ − at e e t − Ω j dt = ∞ ∫ 0 a ) 2 2 1/ 2 ⎞ ⎟ ⎠ anT 1 + Ω ce ⎧ − , ≥ = ⎨ n 0 0 < ⎩ ∞ ∑ j n ω = n , − n = 0 ( − + Ω a j ) t e dt = 1 + Ω j a 0 − anT − j n ω e = c aT j − − ω 1 − e ce H e ( D j ω ) = h n e ( ) d H e ( D j ω ) 1 cos + ω − aT 2 − aT e 1/ 2 ⎞ ⎟ ⎠ e 1 2 −

幅度特性 1 e− + aT c ) H e ( D j 0 ) = c 1 )j 0 ( DH e 为 1，则有可见要想使 20．下列差分方程表示一线性非时变因果系统 = 1 = + y n ( ) e− c aT y n ( 1) − + y n ( − 2) + x n ( − ) 1 （a）求这个系统的系统函数 ( ) H z = ( ) X z ( ) Y z 。画出 ( )H z 的零、极点分布图，并指出其收敛域。（b）求这个系统的单位取样响应。（c）读者会发现它是一个不稳定系统，求满足上述差分方程的一个稳定（但非因果）系统的单位取样响应。解: a ) 1 z X z − ( ) Y z ( ) = + + Η( ) = z 1 z Y z − ( ) Y z ( ) X z ( ) = 2 z Y z − ( ) 1 z − 1 − − 1 − z = 2 − z ( z − z )( α α 2 − 1 z ) 则零点为 z = 0 ，极点为 z = α 1 = (1/ 2)[1 + 5] 1.62 = z = 因为是因果系统，所以收敛域为 = α 2 z > (1/ 2)[1 − 5] = − 0.62 1.62 ，如图所示 b H z ) ( ) = = ( z − 1 α − 1 z )( ⎛ ⎜ ⎝ Z H z α 2 1 − [ z α α 2 1 z ) − z α − 1 h n ( ) = ( )] = z α − 2 ( ⎞ ⎟ ⎠ n α − 1 α 2 − z 1 α − 1 n α 2 ) u n ( ) 由于 ( )H z 的收敛域不包括单位圆，所以这是个不稳定系统 c)若要使系统稳定，则其收敛域应包括单位圆，则选 ( )H z 的收敛域为0.62 z< < 1.62 则

H z ( ) = 1 α − 1 α 2 ⎛ ⎜ ⎝ z − α 1 z − h n ( ) = 1 − Z H z ( )] [ = z z − α 2 1 α − 1 α 2 ⎞ ⎟ ⎠ ( n α 1 ) n α 2 u n ( ) u n ( − − − 1) z 对应于一个非因果序列 z α− 1 23．见课本 58P 上面几行描述，可得(a)----(3), (b)----(1), (c)----(2) 24．考虑一个因果线性非时变系统，它具有下列系统函数 ( ) H z = 1 − a z 1 1 − − az 1 1 − − 式中 a 是实数。 1a< < (a) 假如0 (b) 在 z 平面内，用通过几何法证明这个系统是一个全通系统。解: ，画出零、极点图，并用斜线画出收敛域。 a H z ) ( ) = 零点 z = 1 a− a= ，收敛域为 z a> = 1 z a − − z a − 1 − 1 a z − 1 − 1 az − 1 − z 极点 b ) 见右图，根据余弦定理，有 a a PZ = QZ = 所以 1 2 − 2 − a 2 cos 1 a − 2 + ω cos − ω 1 1/ + = a a 2 − a 2 cos + ω 1 H e ( j ω ) = PZ QZ = 1/ a 即频率响应的幅度为常数，所以是一个全通系统第三章离散傅里叶变换（DFT） 2. %( )x n 表示一周期为的周期性序列,而 N ( )X k 表示它的离散傅立叶级数的系数,也是周期为的周期性序列.试 N 根据 %( )x n 确定 ( )X k 离散傅立叶级数的系数.

解:据题意，有 X k ( ) = N 1 − ∑ n = 0 kn x n W ( ) % N 而 X k ( ) 的离散傅里叶级数的系数为 X r ( ) = kr X k W N ( ) = kr x n W W ( ) % N kn N n 1 − X r ( ) N 1 ⎡ − ∑ ∑ ⎢ ⎣ = = n 0 0 k ⎤ ⎥ ⎦ N 1 − ∑ k 0 = Ν−1 N 1 − ) n ∑ ∑ k n r ( x n W + ( ) % N k 0 = =0 n r N , + = ⎧ ⎨ 0, 其他 ⎩ r lN ) − + N x % lN = − ( = = N 因为 1 − k n r ( W + N ) 所以 = N x % ( ∑ k 0 = X r ( ) %( )x n ) r 5. 表示一具有周期为的周期性序列, 具有周期为 N 2N 的周期性序列.令 X k 1( ) 表示当 %( )x n 看成是具有周期为的周期性序列离散傅立叶级数的系数.而 N X k 2( ) 表示当 %( )x n 看成是具有周期为 2N 的周期性序列离散傅立叶级数的系数.当然 X k 1( ) 为具有周期为的周期性序列, N X k 2( ) 为具有周期为 2 的周期性序列.试用 N 确定 X k 1( ) 解:按照题意,有 X k 2( ) X k ( ) 1 = X k ( ) 2 = kn x n W ( ) % N N 1 − ∑ n 0 = N 1 2 − ∑ n = 0 kn x n W ( ) % N 2 = N 1 − ∑ n = 0 kn x n W ( ) % N / 2 + 2 N 1 − ∑ n N = kn x n W ( ) % N / 2 'n = − n N 令 ,则 X k ( ) 2 = N 1 − ∑ n = 0 kn x n W ( ) % N / 2 + N 1 − ∑ ' n = 0 ' k n N ( x n N W ( % N + ) + ' (1 = + − e jk π ) N 1 − ∑ n = 0 (1 = + − e jk π ) X 1 kn x n W ( ) % N / 2 ⎛ ⎜ ⎝ k 2 ⎞ ⎟ ⎠ ) / 2 所以 X k ( ) 2 = kX ⎛ 1 ⎜ 2 ⎝ ⎧ ⎞ k 2 , ⎪ ⎟ ⎠ ⎨ ⎪ k 0， ⎩ 为偶数为奇数 7. 求下列序列的 DFT （a）{ 1,1,-1,-1} （b）{ 1,j,-1,-j} （c） x (n) = cn ≤ ≤ n N 0 − 1

（d） x (n) = sin n 2 π N ≤ ≤ 0 n N − 1 X k ( )=DFT[ ( )]= x n N 1 − ∑ n = 0 kn x n W ( ) N a) { 0,2-2j,0,2+2j b) { } } 0,4,0,0 c X k ) ( )=DFT[ ( )]= x n N 1 − ∑ n = 0 kn cnW N W X k ( )= k N N 1 − ∑ n = 0 k n ( cnW N 1) + = k 0,1...... N − 1 (1 − W X k ( )= ) k N N-1 ∑ kn c W N n=1 − Nk c N W ( N 1) − = − cN X k ( )= X (0) = k , = 1,2,...... N − 1 cN k W 1 − N cN N ( − 2 1) d X k ) ( )= = N 1 − 0 ∑ n = 1 2j 1 2j N 1 − ∑ n = 0 n W − ( N − kn W W N n N ) k 1) − n ( W ( N − ( W N k 1) + n ) k W − N k W N = sin 1 − 2 π k N k W N , k = 1,2,.....N - 1 = X (0) = k W − 1 N 2j 1 − 2 π N 2 2cos sin − 2 π N 8.计算下列有限长序列的离散傅里叶变换（假设长度为 N） a x n ) ( ) b x n ( ) ) c x n ) ( ) = = = n ( ) δ n n ( − δ 0 a n 0 ≤ ≤ ) 0 ≤ n N N n ≤ 0 1 − 解: a X k ) c X k ) ( )= 0kn b X k W ( )=1 ) N N N 1 a 1 − − ∑ k aW 1 − N n kn a W N ( )= = = n 0 = k 0,1,..... N − 1 10. 计算下图两个有限长序列的 6 点圆周卷积

x2(-n)的圆周移位 x1(n)与 x2(n)的 6 点圆周卷积{5 6 1 2 3 4 } 11.有限长序列的离散傅里叶变换对应序列在单位圆的 z 变换的取样。例如一个 10 点序列的离散傅里叶变换对应于单位圆上 10 个等间隔点的 ( )X z 的取样。我们希望找到如下一个取样 X z ( ) j ⎡⎛ ⎜ ⎢ ⎝ ⎣ k 2 π π ⎞ ⎟ N 10 ⎠ ⎞ ⎛ + ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ x n ⎥ ，证明如何修改 ( ) ⎤ ⎦ z e 0.5 = 以获得一个序列 1( ) 解: x n 致使它的离散傅里叶变换对应于所希望的 ( )X z 的取样。 X z ( ) z = 0.5 e j [(2 k π /10) π + /10] = 9 ∑ n = 0 x n e ( )[0.5 j [(2 k π /10) π + /10] n − ] = x n − ( )0.5 n − e jn π /10 kn W 10 9 ∑ 0 = n ( )0.5 n x n − 可见, 当 x n 1( ) = jn e π − /10 时, 其离散富立叶变换相当于如图所示的 ( )X z 的采样． 13.列长为 8 的一个有限长序列具有 8 点离散傅里叶变换 ( )X k 。列长为 16 点的一个新序列为

请选择对于应于 y n ( ) 的 16 点的离散傅里叶变换。解:按照题意,得当 n 为奇数时 y(n)为零,有 y n ( ) nx ⎧ n ) ( ⎪= 为偶数 2 ⎨ ⎪ n 为奇数 0 ⎩ nk y n W ( ) 16 = n 14 ∑ = 0,2.. nk x W ( 16 ) n 2 lk x l W ( ) N , 0 ≤ ≤ k 15 15 ∑ 0 n = 7 ∑ = 0 l Y k ( ) = = , 0 ≤ k ≤ 7 而 X k ( ) = lk x l W ( ) N 7 ∑ l = 0 7 所以 Y k ( ) = , 0 ≤ lk x l W ( ) N ∑ l 0 = X k ( ), 0 ≤ ≤ X k 8), ( 8 ≤ ≤ − k k 即 Y k ( ) ⎧ = ⎨ ⎩ 故答案选 c x n 14. 给定一个 4 点序列 ( ) k ≤ 15 7 1 5 1）试绘出 ( ) x n 与 ( ) x n 的线性卷积略图 2）试绘出 ( ) x n 与 ( ) x n 的 4 点圆周卷积略图 3）试绘出 ( ) x n 与 ( ) x n 的 10 点圆周卷积略图 4）若 ( ) x n 同 ( ) x n 的某个点圆周卷积同线性卷积相同，试问的最小值是多少？ Ν Ν 解 1)线性卷积 x(n)与 x(n)的线性卷积

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