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2014年湖北高考理科数学真题及答案.doc
2014 年湖北高考理科数学真题及答案
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则
A. 1
2. 若二项式
2(
x
1(
1
B. 1
a
x
7)
i
2)
i
（ ）
C.
i
1
3
x
D. i
的展开式中
的系数是 84，则实数 a （ ）
A.2
B. 5 4
C. 1
D.
2
4
3. 设U 为全集， BA, 是集合，则“存在集合C 使得
CCBCA
,
U
是“
BA
”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 根据如下样本数据
x
y
3
4
4.0
2.5
5
5.0
6
0.5
7
0.2
8
0.3
得到的回归方程为
ˆ
y
bx
a
，则（
）
A.
a
b
,0
0
B.
a
b
,0
0
C.
a
b
,0
0
D.
a
b
.0
0
5. 在如图所示的空间直角坐标系
O 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），
xyz
（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别
为（
）
A.①和②
B.③和①
C. ④和③
D.④和②
6. 若函数
(
)(
xgxf
),
满足
1
1
)()(
xgxf
dx
,0
则称
)(
(
xgxf
),
为区间
1,1
上的一组正交函数，给
出三组函数：
①
)(
xf
sin
1
2
)(
,
xgx
cos
1
2
x
；②
)(
xf
x
,1
)(
xg
x
1
；③
)(
xf
,
)(
xgx
2
x
其中为区间
]1,1[ 的正交函数的组数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
7. 由不等式
x
y
y
0
0
x
02
确定的平面区域记为 1 ，不等式
x
x
1
y
y
2
，确定的平面区域记为
2 ，在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为（
）
A.
1
8
B.
1
4
C.
3
4
D.
7
8
8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数
学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。该术相当
于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积V 的近似公式
v
体积公式中的圆周率近似取为 3.那么近似公式
v
22
L h
75
取为（
）
21
L h
36
.
它实际上是将圆锥
相当于将圆锥体积公式中的近似
B. 25
8
A. 22
7
,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是他们的一个公共点，且 1
D. 355
113
C.157
50
2
9. 已知 1
F PF
3
2
,则椭圆和双
曲线的离心率的倒数之和的最大值为（
）
A.
4 3
3
B.
2 3
3
C.3
D.2
10. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，
Rx
,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为
)(
xf
1
2
(
ax
2
x
2
a
2
3
a
2
)
.若
A．[
1
6
1,
6
]
B．[
6
6
6,
6
]
C．[
1
3
1,
3
]
D．[
3
3
3,
3
]
二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡
对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一）必考题（11—14 题）
11. 设向量 (3,3)
a
b
， (1, 1)
，若
a
12. 直线 1l ：y=x+a 和 2l ：y=x+b 将单位圆
b
:
C x
b
1
分成长
a
2
2
y
，则实数 ________.
度相等的四段弧，则 2
a
2
b
________.
13. 设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组
成 a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为
I a ，按从大到
小排成的三位数记为
D a （例如 815
a
，则
I a
158
，
D a
851
）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，
任意输入一个 a ，输出的结果b ________.
14. 设 xf 是 定 义 在
,0
上 的 函 数 ， 且 0xf
， 对 任 意
a
b
,0
0
，若经过点
,
,
afa
bfb
,
的直线与 x 轴的交点为
0,c ，则称 c 为 ba, 关于函数
xf 的平均数，记为
),( baM f
，例如，当
xf
x
(1
)0
时，可得
),(
baM f
c
ba
2
，即
),( baM f
为 ba, 的算术平均数.
（1）当
xf
_____(
x
)0
时，
),( baM f
为 ba, 的几何平均数；
（2）当当
xf
_____(
x
)0
时，
),( baM f
为 ba, 的调和平均数
2
ab
ba
；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
（二）选考题
15.（选修 4-1：几何证明选讲）
如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为 BA, ，过 PA 的中点
Q 作割线交⊙O 于 DC, 两点，若
QC
CD
,1
,3
则
PB
_____
16.（选修 4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线 1C 的参数方程是
x
y
t
3t
3
t
为参数
，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程是
2 ，则 1C 与 2C 交点的直角坐标为________
17.（本小题满分 11 分）
某 实 验 室 一 天 的 温 度 （ 单 位 ： ） 随 时 间 （ 单 位 ： h ） 的 变 化 近 似 满 足 函 数 关 系 ；
f
( ) 10
t
3 cos
12
t
sin
12
,
t t
[0,24)
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？
18.（本小题满分 12 分）
已知等差数列 满足： =2，且 ，
成等比数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式.
（Ⅱ）记 为数列 的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得
若存在，求
n 的最小值；若不存在，说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体
ABCD
DCBA
1
11
1
中，
,
NMFE
,
,
分别是棱
AB
,
DABAAD
1
11
,
,
的中点，点 QP, 分别在棱 1DD ,
1BB
1
上移动，且
DP
BQ
0
2
.
（Ⅰ）当 1 时，证明：直线 1BC 平面 EFPQ ;
（Ⅱ）是否存在，使平面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角？若
存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分 12 分）
计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流
量 X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和。单位：亿立方米）都在 40 以上。其中，不足
80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年。将年入流量
在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立。
（Ⅰ）求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；
（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并
有如下关系：
年入流量 X
40
X
80
80
X
120
X
120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万
元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21.（满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点
F
1,0
的距离比它到 y 轴的距离多 1，记
点 M 的轨迹为 C.
（Ⅰ）求轨迹为 C 的方程
（Ⅱ）设斜率为 k 的直线l 过定点
2,1
p ，求直线l 与轨迹 C 恰好有一个公共点，两个公共点，三
个公共点时 k 的相应取值范围。
一、选择题
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.D
6.C
7.D
8.B
9.A
10.B
二、填空题
11. ±3
12. 2
13. 495
14. （Ⅰ） x ；（Ⅱ） x （或填（Ⅰ） 1k
15. 4
16. （ 3 ，1）
x ；（Ⅱ） 2k x ，其中 1
,k k 为正常数均可）
2
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）因为
f
( ) 10 2(
t
又 0
t ，所以
24
当 2
t
t 时，sin(
12
3
)
t 时， sin(
12
3
t
当 14
1
t
t
t
1
2
sin
cos
12
12
) 10 2sin(
3
)
2
3
12
7 , 1 sin(
3
12
3
3
12
3
) 1
；
) 1
t
t
，
于是 ( )
t 在[0,24) 上取得最大值 12，取得最小值 8
f
故实验室这一天最高温度为 12℃，最低温度为 8℃，最大温差为 4℃。
（Ⅱ）依题意，当 ( ) 11
t 时实验室需要降温
f
由（Ⅰ）得 ( ) 10 2sin(
f
t
，故有10 2sin(
)
12
3
t
12
3
t
) 11
，
即
sin(
)
12
3
t
又 0
t ，因此
24
1
2
11
7
6
6
12
3
t
，即10
t
18
在 10 时至 18 时实验室需要降温
18.解：
（Ⅰ）设数列{ }na 的公差为 d ，依题意， 2,2
d
化简得 2 4
d
d
，解得
0
d 或
0
d
4
,2 4
成等比数列，故有
d
(2
2
d
)
2(2 4 )
d
，
当
d 时，
0
na ；
2
当
d 时，
4
na
2 (
n
1) 4 4
n
，
2
从而得数列{ }na 的通项公式为
na 或
2
na
4
n
2
（Ⅱ）当
na 时，
2
nS
n ，显然 2
2
n
60
n
800
，
当
na
S
此时不存在正整数 n ，使得
[2 (4
n
2
，即 2 30
n
时，
令 22
n
4
n
800
60
n
S
n
n
2
60
n
n
800
2)]
成立
2
2
n
400 0
，
解得 40
n 或
n （舍去），
10
此时存在正整数 n ，使得
nS
60
n
800
成立， n 的最小值为 41
综上，当
na 时，不存在满足题意的 n ；
2
当
na
4
n
时，存在满足题意的 n ，其最小值为 41.
2
19.几何方法：
（Ⅰ）证明：如图 1，连接 1AD ，由
ABCD A B C D
1
1 1
1
是正方体，知 1
BC AD
1
//
当 1 时， P 是 1DD 的中点，又 F 是 AD 的中点，所以
//FP AD ，所以 1 //
BC FP
1
而 FP 平面 EFPQ ，且 1BC 平面 EFPQ ，故直线 1 //
BC 平面 EFPQ 。
（Ⅱ）如图 2，连接 BD,因为 E，F 分别是 AB，AD 的中点，所以 EF//BD，且
EF
1
2
BD
，
又
DP BQ DP BQ
//
,
，所以四边形 PQBD 是平行四边形，故 //PQ BD ，且 PQ BD
，
从而 //EF PQ ，且
EF
1
2
PQ
在 Rt EBQ
和 Rt FDP
中，因为
BQ DP
,
BE DF
，于是
1
DQ FP
1
2
,
所以四边形 EFPQ 是等腰梯形。
同理可证四边形 PQMN 是等腰梯形。
分别取 ,
EF PQ MN 的中点为 ,
,H O G ，连接 ,OH OG ，
,
则
GO PQ HO PQ
,
，而GO HO O
，
故 GOH
是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角
若存在,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则
GOH
90
连接 EM，FN，则由 EF//MN，且 EF=MN，知四边形 EFNM 是平行四边形
连接 GH，因为 H，G 是 EF,MN 的中点，所以
在 GOH
中， 2
GH
4,
OH
2
1
2
(
GH ME
2
2
2
2
)
2
1
2
2
OG
1 (2
2
)
(
2
2
2
)
(2
2
)
，
1
2
由 2
OG OH
2
GH
2
，得
(2
)
2
1
2
2
，解得
4
1
2
，
1
2
2
，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角。
1
2
2
故存在
向量方法：
以 D 为原点，射线
D xyz ，由已知得
DA DC DD 分别为 ,
x y z 轴的正半轴建立如图 3 所示的空间直角坐标系
,
,
,
1
B
(2,2,0)
， 1(0,2,2)
C
， (2,1,0)
E
， (1,0,0)
F
， (0,0,
P
FE
(1,1,0)
BC
， ( 2,0,2)
)
FP
， ( 1,0,
)
，
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