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信息理论基础 周荫清 答案.docx
2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？
解：
四进制脉冲可以表示 4 个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}
八进制脉冲可以表示 8 个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
二进制脉冲可以表示 2 个不同的消息，例如：{0, 1}
假设每个消息的发出都是等概率的，则：
四进制脉冲的平均信息量 H(X1) = log2n = log24 = 2 bit/symbol
八进制脉冲的平均信息量 H(X2) = log2n = log28 = 3 bit/symbol
二进制脉冲的平均信息量 H(X0) = log2n = log22 = 1 bit/symbol
所以：
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的 2 倍和 3 倍。
2.2 居住某地区的女孩子有 25%是大学生，在女大学生中有 75%是身高 160 厘米以上的，而女
孩子中身高 160 厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高 160 厘米以上的某女孩是大
学生”的消息，问获得多少信息量？
解：
设随机变量 X 代表女孩子学历
X
P(X)
x1（是大学生）
x2（不是大学生）
0.25
0.75
设随机变量 Y 代表女孩子身高
Y
P(Y)
y1（身高>160cm） y2（身高<160cm）
0.5
0.5
已知：在女大学生中有 75%是身高 160 厘米以上的
即：p(y1/ x1) = 0.75
求：身高 160 厘米以上的某女孩是大学生的信息量
(
)
(
ypxp
1
(
)
yp
1
(
xp
1
(
xI
1
log
log
即：
y
1
y
1
)
)
/
2
/
1
/
x
1
)
log
2
25.0
75.0
5.0
.1
415
bit
2.3 一副充分洗乱了的牌（含 52 张牌），试问
(1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？
(2) 若从中抽取 13 张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？
解：
(1) 52 张牌共有 52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：
(
xI
i
581.
bit
(
xp
i
225
log
log
!52
)
)
2
(2) 52 张牌共有 4 种花色、13 种点数，抽取 13 张点数不同的牌的概率如下：
(
xp
i
)
13
4
C
13
52
(
xI
i
)
log
2
(
xp
i
)
log
2
13
4
C
13
52
.13
208
bit
· 1 ·
2.4 设离散无记忆信源
X
(
XP
)
0
x
1
8/3
1
x
2
4/1
2
x
3
4/1
x
4
8/1
3
，其发出的信息为
(202120130213001203210110321010021032011223210)，求
(1) 此消息的自信息量是多少？
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？
解：
(1) 此消息总共有 14 个 0、13 个 1、12 个 2、6 个 3，因此此消息发出的概率是：
p
14
1
4
3
8
1
8
25
6
此消息的信息量是：
I
log2
p
811.87
bit
/
nI
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：
811.87
45/
951.1
bit
2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为 7%，女性发病率为 0.5%，如果你问一
位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少
信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量
是多少？
解：
男士：
)
(
xp
Y
)
(
xI
Y
)
(
xp
)
(
xI
837
bit
105
bit
(
xp
Y
07.0
93.0
(
xp
log
log
.3
.0
)
)
N
2
N
2
(
xp
i
log)
2
(
xp
i
)
07.0(
log
2
07.0
93.0
log
2
)93.0
.0
366
bit
/
symbol
%7
log
2
%93
log
2
2
i
N
XH
(
)
女士：
XH
(
)
2
i
(
xp
i
log)
2
(
xp
i
)
.0(
005
log
2
.0
005
.0
995
log
2
.0
)995
.0
045
bit
/
symbol
2.6 设信源
X
(
XP
)
x
x
2
1
19.02.0
x
3
18.0
x
4
17.0
x
5
16.0
x
6
17.0
，求这个信源的熵，并解释为什么
H(X) > log6 不满足信源熵的极值性。
解：
(
xp
i
log)
2
(
xp
i
)
6
i
(
)
XH
log2.0(
2
.2
657
bit
log
(
)
XH
19.02.0
/
symbol
6
.2
585
2
log
2
19.0
18.0
log
18.0
17.0
log
17.0
16.0
log
16.0
17.0
log
)17.0
2
2
2
2
6
i
(
ixp
07.1)
1
。
不满足极值性的原因是
· 2 ·
2.7 证明：H(X3/X1X2) ≤ H(X3/X1)，并说明当 X1, X2, X3是马氏链时等式成立。
证明：
3
1
/
(
XXXH
1
i
2
3
i
i
1
i
i
2
i
3
(
)
2
(
xxxp
2
i
)
/
XXH
1
log)
1
i
3
3
i
(
xp
i
3
(
xxxp
2
i
1
i
i
log)
3
(
xp
i
3
/
/
xx
1
i
i
2
)
xx
1
i
i
2
)
1
i
(
xxp
1
i
i
3
i
1
i
i
2
i
3
log)
3
(
xp
i
3
/
x
1
i
)
(
xxxp
2
i
1
i
i
log)
3
(
xp
i
3
/
x
1
i
)
(
xxxp
2
i
1
i
i
(
xxxp
2
i
1
i
i
3
3
log)
)
)
2
/
x
1
i
xx
1
i
i
)
(
xp
i
(
xp
i
(
xp
i
(
xp
i
3
/
3
/
x
1
i
xx
1
i
i
3
/
3
)
(
xxp
1
i
i
2
)
(
xp
i
3
/
x
1
i
)
(
xxp
1
i
i
2
)
i
3
(
xp
i
3
/
x
1
i
)
1
log
2
e
i
log
e
2
2
1
)
1
i
2
i
3
(
xxxp
2
i
1
i
i
)
3
log
2
e
1
i
i
2
i
3
i
3
i
3
i
i
2
2
1
i
1
i
0
1
i
2
i
XXXH
(
/
1
3
)
2
XXH
(
/
3
)
1
3
3
)
01
时等式成立
/
(
xp
x
1
3
i
i
(
)
/
xx
xp
1
2
i
i
i
(
)
/
/
)
(
x
xp
xx
xp
1
1
2
3
i
i
i
i
i
(
(
)
/
(
(
)
/
xp
xx
xxp
xxp
x
xp
1
1
1
1
3
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
)
/
)
/
)
(
(
(
(
xp
x
xxxp
xp
xp
x
1
1
1
1
2
2
3
i
i
i
i
i
i
i
i
(
(
/
/
/
(
)
)
)
xxp
xp
x
xp
x
x
1
1
1
2
3
i
i
i
i
i
i
i
,
_
等式成立的条件是
是马
XXX
3
氏链
3
)
)
,
2
1
3
2
3
2
当
)
2
2.8 证明：H(X1X2 。。。Xn) ≤ H(X1) + H(X2) + … + H(Xn)。
证明：
(
XXXH
...
)
(
/
3
1
2
(
)
...
)
X
XH
1
N
0)
(
)
XH
0)
XH
2
(
/
/
)
)
XXH
XXH
1
)
/
(
(
XXXH
2
(
2
1
3
1
3
2
)
2
XH
(
/
XX
1
2
...
X
N
)
N
1
...
X
2
...
X
N
0)
(
)
XH
1
(
XH
N
(
XH
)
2
(
XH
N
)
(
XH
3
/
)
XX
1
2
...
...
X
N
(
XH
)
)
1
N
N
)
1
2
3
2
1
1
;
;
XXH
(
XXI
(
XXXI
...
(
XXXI
1
XXH
N
(
;
1
2
1
2.9 设有一个信源，它产生 0，1 序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，
均按 P(0) = 0.4，P(1) = 0.6 的概率发出符号。
(1) 试问这个信源是否是平稳的？
(2) 试计算 H(X2), H(X3/X1X2)及 H∞；
(3) 试计算 H(X4)并写出 X4信源中可能有的所有符号。
解：
(1)
这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号
．．．．．．．．．．．……”
· 3 ·
(2)
2
XH
XXXH
(2
XH
)
)
/
(
(
)
(
)
XH
1
2
3
log6.04.0
(
xp
i
log)
2
(
xp
i
2
.1)6.0
/
942
bit
symbol
log4.0(
log6.04.0
2
2
)
)6.0
.0
971
bit
/
symbol
2
log4.0(2
symbol
/
3
i
H
XH
(
)
.0
(3)
971
bit
log4.0(4
log6.04.0
2
2
)6.0
.3
884
bit
/
symbol
4
)
(4
XH
XH
X
0000
0100
1000
1101
(
)
4
的所有符号：
0010
0110
1010
1111
0001
0101
1001
1110
0011
0111
1100
1011
2.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源 X的符号集为{0, 1, 2}。
(1) 求平稳后信源的概率分布；
(2) 求信源的熵 H∞。
/
2
)
e
2
/
e
/
e
1
)
3
)
3
1
2
2
2
2
3
1
2
/
)
)
)
3
)
(
(
(
)
(
)
epep
e
epep
1
1
1
(
/
)
)
(
(
(
)
epep
epep
e
(
(
)
)
(
/
)
(
e
epep
epep
3
3
)
)
(
)
(
epp
epp
1
(
)
)
)
(
epp
epp
3
2
(
(
)
)
)
epp
epp
3
1
)
)
)
(
(
ep
ep
3
(
(
)
)
1)
ep
ep
2
3/1)
3/1)
3/1)
3
2
2
3
解：
(1)
(
ep
1
(
ep
(
ep
(
ep
1
(
ep
(
ep
(
ep
1
(
ep
1
(
ep
1
(
ep
(
ep
2
3
2
3
· 4 ·
/
)
)
)
)
1
2
2
)
)
)
(
(
xpep
1
(
(
xpep
(
(
xpep
3
0
1
3/1
3/1
3
2
)
)
e
1
/
e
/
e
)
3
)
(
(
xpep
1
(
(
)
xpep
2
(
(
)
xpep
3
2
3/1
1
3
/
2
)
e
2
/
e
/
e
1
(
)
epp
1
(
)
epp
3
(
)
epp
3
2
)
(
)
epp
2
)
(
epp
3
(
)
epp
1
(
)
(
3/13/)
p
p
(
3/13/)
p
p
3/13/)
p
p
(
(
epep
)
i
/
e
i
j
log)
(
ep
/
e
i
)
j
log)
2
(
ep
1
/
e
1
)
1
3
(
ep
2
/
e
1
log)
2
(
ep
2
/
e
1
)
/
e
2
log)
2
(
ep
1
/
e
2
)
(
ep
1
/
e
3
log)
2
(
ep
1
/
e
3
)
1
3
1
3
(
ep
2
/
e
2
log)
2
(
ep
2
/
e
2
)
(
ep
2
/
e
3
log)
2
(
ep
2
/
e
3
)
1
3
1
3
1
3
(
ep
3
/
e
1
log)
2
(
ep
3
/
e
1
)
(
ep
3
/
e
2
log)
2
(
ep
3
/
e
2
)
(
ep
3
/
e
3
log)
2
(
ep
3
/
e
3
)
p
log
2
p
2
3
(
xp
1
(
xp
(
xp
X
(
XP
(2)
H
1
3
1
3
3
3
j
i
1
3
(
ep
1
/
e
1
(
ep
1
1
3
p
p
log
2
p
log
2
p
p
1
3
log
p
p
2
2
log
bit
p
/
log
2
p
1
3
p
log
2
p
1
3
p
log
2
p
1
3
p
1
3
symbol
2.11 黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源 X={黑，白}。设黑色出现的概率为
P(黑) = 0.3，白色出现的概率为 P(白) = 0.7。
(1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵 H(X)；
(2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为 P(白/白)= 0.9，P(黑/白)= 0.1，P(白/黑)= 0.2，
P(黑/黑) = 0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵 H2(X);
(3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较 H(X)和 H2(X)的大小，并说明其物理含义。
解：
(1)
XH
log7.03.0
881.0
bit
log)7.0
log3.0(
symbol
log)
10
)
)
(
/
(
xp
i
2
(
xp
i
i
/
1
2
1
/
)
)
)
e
1
/
e
2
(2)
(
)
(
(
(
(
)
ep
epep
epep
1
1
1
)
(
)
(
(
(
(
)
epep
ep
epep
2
2
2
2
(
)
)
(1.0)
(8.0
ep
ep
ep
1
1
2
(2.0)
(
)
(9.0
)
ep
ep
ep
2
2
1
(
)
)
(2
ep
ep
2
1
1)
(
)
(
ep
ep
1
2
3/1)
(
ep
1
3/2
(
)
ep
2
H
(
(
epep
log)
(
ep
e
i
)
/
j
j
i
i
j
)
e
2
/
)
e
1
/
e
i
)
log8.0
1(
3
553
.0
bit
/
symbol
18.0
3
log2.0
2.0
2
3
log1.0
21.0
3
log9.0
log)9.0
10
2
· 5 ·
(3)
1
1
HH
0
0
HH
0
H
H
0
881
553
log
log
.02
2
log
2
2
.02
2
log
2
2
%9.11
%7.44
H(X) > H2(X)
表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，
能够进行较大程度的压缩。
2.12 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为 1/6，求：
(1) “3 和 5 同时出现”这事件的自信息；
(2) “两个 1 同时出现”这事件的自信息；
(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；
(4) 两个点数之和（即 2, 3, … , 12 构成的子集）的熵；
(5) 两个点数中至少有一个是 1 的自信息量。
解：
(1)
(
xp
i
)
(
xI
i
)
(2)
(
xp
i
)
(
xI
i
)
1
1
6
6
log
2
1
6
(
xp
i
1
6
)
1
18
log
1
18
2
.4
170
bit
1
1
6
6
log
1
36
)
(
xp
i
2
log
2
1
36
.5
170
bit
(3)
两个点数的排列如下：
14
24
34
44
54
64
11
21
31
41
51
61
12
22
32
42
52
62
13
23
33
43
53
63
15
25
35
45
55
65
16
26
36
46
56
66
共有 21 种组合：
其中 11，22，33，44，55，66 的概率是
其他 15 个组合的概率是
12
6
1
6
1
18
1
6
1
6
1
36
XH
(
)
i
(
xp
i
log)
(
xp
i
)
6(
1
36
log
1
36
15
1
18
log
1
18
log)
2
10
.4
337
bit
/
symbol
(4)
参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：
· 6 ·
XH
X
(
)
XP
)
(
3
4
1
1
18
12
log)
5
1
9
(
xp
i
6
5
36
7
1
6
8
5
36
9
1
9
10
1
12
11
1
18
12
1
36
)
(
xp
i
1
18
log
1
18
2
1
12
log
1
12
12
9
log
1
9
2
5
36
log
5
36
1
6
log
1
6
log)
2
10
2
1
36
i
log
2(
1
36
274
bit
2
1
36
symbol
/
.3
(5)
(
xp
i
)
(
xI
i
)
1
1
6
6
log
2
11
(
xp
i
)
11
36
log
2
11
36
.1
710
bit
2.13 某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知 P(0) = 1/4，P(1) = 3/4。
(1) 求符号的平均熵；
(2) 有 100 个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有 m个“0”和（100 - m）个“1”）
的自信息量的表达式；
(3) 计算(2)中序列的熵。
解：
(1)
XH
(
)
i
(
xp
i
log)
(
xp
i
)
1(
4
log
1
4
3
4
log
3
4
log)
2
10
811.0
bit
/
symbol
(2)
(
xp
i
)
1
4
m
3
4
100
m
(
xI
i
)
log
2
(
xp
i
)
log
(3)
m
100
100
3
4
100
3
4
2
100
m
.15.41
585
bitm
XH
(
100
)
100
XH
(
)
100
811.0
1.81
bit
/
symbol
2.14 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，
调查结果得联合出现的相对频度如下：
若把这些频度看作概率测度，求：
· 7 ·
j
k
i
12
8
103
103
12
103
log
2
8
103
.2
(
YZH
2
log
8
15
103
103
/
836
symbol
bit
(
)
zyp
j
k
20
103
symbol
H
XYZ
log
23
103
/
)
(
2
j
20
103
977
.1
bit
(
/
)
XH
YZ
(3)
(
YZXI
)
;
log
2
8
103
27
103
log
2
27
103
16
103
log
2
log
15
103
2
5
103
log
2
5
103
12
103
log
2
12
103
16
103
log)
2
k
(
zyp
j
k
)
log
2
23
103
32
103
log
2
32
103
28
103
log
2
28
103
YZH
(
)
.2
836
.1
977
.0
859
bit
/
symbol
(1) 忙闲的无条件熵；
(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵；
(3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。
解：
(1)
根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：
X
(
XP
)
XH
(
)
闲忙
x
x
1
2
63
40
103
103
2
(
xp
i
)
i
63
103
log
2
63
103
40
103
log
2
40
103
.0
964
bit
/
symbol
(2)
设忙闲为随机变量 X，天气状态为随机变量 Y，气温状态为随机变量 Z
H
log)
XYZ
(
zyxp
j
(
zyxp
j
)
(
)
2
k
k
i
i
XH
(
)
XH
(
/
YZ
)
.0
964
.0
859
.0
159
bit
/
symbol
2.15 有两个二元随机变量 X和 Y，它们的联合概率为
Y
X
y1=0
y2=1
x1=0
1/8
3/8
x2=1
3/8
1/8
并定义另一随机变量 Z = XY（一般乘积），试计算：
(1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和 H(XYZ)；
(2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和 H(Z/XY)；
(3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和 I(X;Z/Y)。
解：
(1)
(
xp
1
(
yxp
11
(
yxp
1
)
)
)
2
1
8
3
8
1
2
· 8 ·
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