上海交通大学工程硕士《矩阵理论》考试试卷 （ A 卷 ） 考试时间：2010.6.20 09:00—11:00 院系_________班级________学号___________姓名___________得分______ 注意：本试卷共 6 页，答案须写在此 6 页纸上。要求字迹清楚。 一．（本题 15 分） 设 U 是 4R 中 向 量 1 u  (1,2,3,6)T u  ， 2 (4, 1,3,6)T  u  ， 3 (5,1,6,12)T 生 成 的 子 空 间 ， W 是 4R 中 向 量 w  1 (1, 1,1,1)T  w  ， 2 (2, 1,4,5)T  生成的子空间，分别求U W 与U W 的维数与一组基。 二．（本题 15 分） 设 { cos b   V  a sin ,  其中 为任意实数 是实二维线性空间。对任意 ,f g V ,定义： , a b } ( , f g )  f (0) (0) g  f (   ) 2 2 ) ( g 。证明：( f g 是V 上的内积，并求 ( ) 3cos( , h   )   7) 4sin(    的长度。 9) 

三．（本题 15 分） 1 1 4   0 2 0   0 3 3        设 A ，求 A1000。 四．（本题 10 分） 设 A 是 n 正阶方阵，若满足 A*=-A，则称 A 为反 Hermite 阵。证明：反 Hermite 阵的特征值为零或纯虚数。 

五．（本题 15 分） 设四阶方阵 A 的特征为 1，-1，0，0，求 Ae ，sin A 。 六．（本题 15 分） 设 4[ ]P t 是实数域上的全体次数小于 4 的多项式形成的线性空间，其中的加法 ( ) 与数乘 ( ) 就是通常意义下的 函数的加法与数乘，即任意 , [ ] f g P t 4 ， R ( f  )( ) g t  f ( ) t  ( ) g t ， (   f )( ) t  f  ( ) t 。 任意 f ( ) t  a 3  a t a t 2 1  2  a t 0 3  [ ] P t 4 ，定义变换 :  [ ] P t 4  [ ] P t 4 为 (  f ( )) t  ( a  a 1 )  ( a 1  ) a t 2  ( a 2  ) a t 3 2  ( a 3  ) a t 0 3 0 。 

（1） 证明 为线性变换； （2） 任取 4[ ]P t 的一组基，写出在这组基下的矩阵； （3） 求的核空间和象空间的基与维数。 七．（本题 15 分） 设 A       1 1 4 0 2 0 0 3 3      ，求 A 的正交三角及满秩分解。