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电磁场与电磁波公式总结.pdf
电磁场与电磁波公式
第一部分 知识点归纳
第一章 矢量分析
1、三种常用的坐标系
（1）直角坐标系
微分线元：
aRd
x
dx
a
y
dy
a
z
dz
面积元：
dS
dS
dS
x
y
z
dydz
dxdz
dxdy
，体积元：
d
dxdydz
长度元：
（2）柱坐标系
dr
dl
r
dl
rd
dl
dz
z
（3）球坐标系
，面积元
dS
dl
dl
r
z
dS
dl
dl
r
dS
dl
dl
z
z
z
dz
rd
drdz
rdrdz
，体积元：
d
rdrd
dz
长 度 元 ：
dr
dlr
dl
rd
dl
r
d
sin
d
drd
， 面 积 元 ：
dS
r
dS
r
dl
dl
sin2
r
dl
dl
sin
r
rdrd
dl
dl
dS
dd
drd
r
， 体 积 元 ：
r
sin2
d
2、三种坐标系的坐标变量之间的关系
（1）直角坐标系与柱坐标系的关系
x
y
z
r
cos
r
sin
z
r
,
2
x
y
2
y
arctan
x
z
z
（2）直角坐标系与球坐标系的关系
x
y
z
r
sin
r
sin
r
,
cos
cos
sin
x
r
arccos
2
2
y
2
x
arctan
2
z
2
2
z
z
y
y
z
'
2'
z
,
r
r
arccos
r
sin
r
cos
（3）柱坐标系与球坐标系的关系
z
2
r
z
3、梯度
（1）直角坐标系中：
grad
x
r
y
a
y
a
x
2'
2
z
a
z
z
（2）柱坐标系中：
grad
r
a
r
（3）球坐标系中：
a
1
r
a
z
z
- 1 -
（3）球坐标系中：
Adiv
1
r
2
r
(
Ar
2
r
5、高斯散度定理：
S
)
r
1
sin
SdA
(sin
A
A
)
r
1
sin
dAdiv
dA
A 在限定该体积的闭合面上的通量。
，意义为：任意矢量场
A 的散度在场
grad
a
r
a
r
1
r
a
1
sin
r
4.散度
（1）直角坐标系中：
Adiv
A
y
y
（2）柱坐标系中：
A
X
x
A
z
z
Adiv
1
r
r
(
rA
r
)
1
r
A
A
z
z
中任意体积内的体积分等于矢量场
6，旋度
（1） 直角坐标系中：
A
a
x
x
A
x
a
y
y
A
y
a
z
z
A
z
（2） 柱坐标系中：
A
a
r
r
A
r
1
r
ra
a
z
z
rA
A
z
（3） 球坐标系中：
0
A ②标量场梯度的旋度恒为零，
A
1
sin
2
r
a
r
r
A
r
ar
rA
a
sin
A
sin
r
r
两个重要性质：①矢量场旋度的散度恒为零，
0
7、斯托克斯公式：
ldA
C
SdA
S
- 2 -
第二章 静电场和恒定电场
1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的基本变量是电场强度
E 、电
位移矢量
D 和电位。电场强度与电位的关系为：
E
。
0
854.8
10
12
mF /
2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的
计算公式如下：
（1）点电荷分布
N
E
1
4
0
Rq
k
k
R
3
k
（2）体电荷分布
1
k
1
4
0
N
k
1
q
k
,)1(
R
k
1
4
0
N
k
1
q
k
R
k
C
(
r
'
E
1
4
0
v
r
r
)(
'
3
r
r
'
'
)
dv
,
1
4
0
v
'
r
dv
(
)
r
r
'
'
C
（3）面电荷分布
E
1
4
0
S
S
(
r
'
r
r
)(
'
3
r
r
'
'
)
dS
,
1
4
0
S
'
'
r
dS
)
(
S
r
r
'
C
（4） 线电荷分布
E
1
4
0
l
l
(
r
'
r
r
)(
'
3
r
r
'
'
)
dl
,
1
4
0
l
'
'
r
dl
)
(
l
r
r
'
C
)
q
(,
积分形式 表示意义
r
)(
（微分形式）
3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为
SdD
S
D
ldE
C
E
积分形式 表示意义
0
（微分形式）
(,0
)
介质中的高斯定理（
Sq
为
S
面内的总极化电荷之和
面内的总源电荷和
）
,
安培环路定理
说明静电场是一种发散
场，也是保守场。
E
SdE
S
1
0
n
i
1
（微分形式，
0
q
i
)
.(
积分形式
为体电荷密度）
表示意义
真空中的高斯定理
在线性、各向同性介质中，本构方程为：
4、电介质的极化
D
0
PE
E
r
0
E
（1）极化介质体积内的极化体电荷密度为：
PP
( 极化强度矢量
)
。
p
nnP
(
（2）介质表面的极化面电荷密度为：
S
p
为表面的单位法向量矢
量
)
5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即
- 3 -
2
(
有源区域
)
，
2
0
（无源区域）
n
1
nD1
1D
S
h
2D
nD2
2
分界面上
nD 的边界条件
D 的法向分量连续；
D 的法向分量从介质 1 跨过分界面进入介质 2
2
n
(
D
或
S
6、介质分界面上的边界条件
（1）分界面上 nD 的边界条件
D
DDn
n
1
（ S 为分界面上的自由电荷面密度），当分界面上没有
自由电荷时，则有：
D
DnDn
n
1
介质分界面两侧的关系：
D 的法向分量在
，它给出了
即
n
S
D
)
2
1
2
1
2
1
2
（I） 如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧
1
2
（II）如果介质分界面上分布电荷密度 s ，
时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度 s 。
(2
n
用电位表示：
2
n
1
n
1
n
和
1
（2）分界面上 tE 的边界条件（切向分量）
EnEn
在不同的分界面上总是连续的。
由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量
有限，故在分界面上的电位函数连续，即
1 。
,电场强度的切向分量
E
1或
t
E
2
h
S
2
2
t
电力线折射定律：
tan
tan
1
2
。
1
2
7、静电场能量
（1）静电荷系统的总能量
①体电荷：
②面电荷：
③线电荷：
We
W
e
W
e
1
2
1
2
1
2
d
S
dl
l
S
l
；
ds
；
。
（2）导体系统的总能量为：
W
e
1
2
k
q
k
k
。
S
)0
tE1
1
l
1E
1
2
n
2E
2
tE2
分界面上
tE 的边界条件
（3）能量密度
静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。场中任意
一点的能量密度为：
e
2
mJE
/
3
在任何情况下，总静电能可由
W
e
dE
2
V
来计算。
ED
1
2
1
2
1
2
8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的基本变量为电场强度
E 和电流密度
（1）恒定电场的基本方程
J 。为媒质的电导率。
J ，且
E
- 4 -
电流连续性方程：
微分形式：
SdJ
积分形式：
S
-
t
J
或
q
t
J
t
0
恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的
0
。因此，电流连续性方程变为：
t
0
，这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。
SdJ
0
和
J
S
0
，再加上
q
t
0
和
增减，即
0
和
E
ldE
C
（2）恒定电场的边界条件
)
)1(
Jn
(
J
或
J
J
2
n
n
1
)2(,0
E
t
1
1
2
E
2
t
)
0
应用欧姆定律可得：
1
E
n
1
2
E
2
n
和
此外，恒定电场的焦耳损耗功率密度为
t
(
或
En
E
t
1
2
J
J
t
t
2
1
2
2E
1
p
。
，储能密度为
1 E
2
e
2
。
（真空磁导率：
1、磁场的特性由磁感应强度
10
l
a
'
R
R
2
（1）线电流：
0
4
Id
B
4
0
l
第四章 恒定磁场
B 和磁场强度
mH
,
7
）
/
Id
0
4
l
)
3
r
r
l
(
'
'
r
r
'
H 来描述，真空中磁感应强度的计算公式为：
（2）面电流：
B
0
4
S
a
J
S
R
R
2
'
dS
0
4
S
J
S
)
(
r
r
'
3
r
r
'
'
dS
（3）体电流：
B
0
4
aJ
R
R
2
d
'
0
4
r
r
J
(
'
3
r
r
'
)
d
'
2、恒定磁场的基本方程
（1）真空中恒定磁场的基本方程为：
SdB
积分形式：
A、磁通连续性方程：
S
B
0
（2）磁介质中恒定磁场的基本方程为：
微分形式：
0
，B、真空中安培环路定理：
微分形式：
积分形式：
l
ldB
B
0
0
I
J
A、磁通连续性方程仍然满足：
B、磁介质中安培环路定理：
，
0
0
微分形式：
SdB
积分形式：
S
B
I
ldH
积分形式：
l
JH
微分形式：
C、磁性媒质的本构方程：
B
r
0
H
HH
(
MB
0
,
其中
M
)
为磁化强度矢量
。
恒定磁场是一种漩涡场，因此一般不能用一个标量函数的梯度来描述。
3、磁介质的磁化
- 5 -
A ）下，场与源的关系方程为：
2
J
A
)
(
有源区
2
A
0
（无源区）
4、恒定磁场的矢量磁位为：
0
在库仑规范条件（
对于分布型的矢量磁位计算公式：
l
A
A
Id
l R
（2）面电流：
（1） 线电流：
4
5、恒定磁场的边界条件
（1）分界面上 nB 的边界条件
在两种磁介质的分界面上，取一个跨过分界面
两侧的小扁状闭合柱面（高 0h 为无穷小量），
如右图所示，应用磁通连续性方程可得：
dSnBSdB
S
1
dSnB
2
0
Bn
(
B
1
)
B
0
或
B
1
2
2
n
n
于是有：
（2） 分界面上 tH （切向分量）的边界条件：
HHn
1
SJ
，如果分界面上无源表面电流
），则
0
（即
H
H
SJ
即
或
H
0
)
(
2
2
t
t
1
1
sin
磁力线折射定律：
HHn
(
tan
tan
1
1
2
)
2
1
2
4
S
dS
J
S
R
（3）体电流：
A
4
dJ
R
S
1
2
2B
n
nB1
B
1
h
nB2
H
1
2
sin
2
分界面上 nB 的边界条件
磁介质在磁场中被磁化，其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。磁介质的磁化
程度用磁化强度
M 表示。
（1）磁介质中的束缚体电流密度为：
J m
M
；
J mS
(
n
其中，
nM
A 为矢量磁位。
B
A
，矢量
（2）磁介质表面上的束缚面电流密度为：
为表面的单位法向量矢
量
)
用矢量磁位表示的边界条件为：
A
1
A
2
(1,
1
A
1
)
t
(1
2
A
2
)
t
J
S
6、电感的计算
（1）外自感：
L
0
0
I
0
4
ldld
0
R
0
，（2）互感：
l
l
（3）内自感：单位长度的圆截面导线的内自感为：
自感为
L ）。
l
8
7、磁场的能量和能量密度
（1）磁场的总能量
磁介质中，载流回路系统的总磁场能量为：
W
m
1
2
N
N
j
1
k
1
IIM
j
kj
k
nn
210
4
12
21
M
M
L （长度为l 的一段圆截面导线的内
l
1
2
l
2
ldld
1
R
8
（3） 磁场能量密度
A、 任意磁介质中：
m
BH
1
2
各 向 同 性 ， 线 性 磁 介 质 中 ：
Wm
1
2
dHB
1
2
dH
2
，此时磁场总能量可以由
m
BH
1
2
H
1
2
Wm
1
2
dHB
计算出；B、在
， 此 时 磁 场 总 能 量 可 以 由
第五章 时变电磁场
- 6 -
1、 法拉第电磁感应定律
（1）感应电动势为：
-
d
dt
；
（2）法拉第电磁感应定律
积分形式：
l
ldE
S
微分形式：
E
Sd
B
t
B
t
-
它说明时变的磁场将激励电场，而且这种感应电场是一种旋涡场，即感应电场不再是保
E 在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通
守场，感应电场
的负变化率。
2、 麦克斯韦位移电流假说
按照麦克斯韦提出的位移电流假说，电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流
密度，称为位移电流密度，即
J d
D
t
。位移电流一样可以激励磁场，从而可以得出
时变场中的安培环路定律：
3、 麦克斯韦方程组
积分形式：
l
微分形式：
H
J
ldH
J
(
S
Sd
D
)
t
D
t
（1） 微分形式
)2(
E
（2）积分形式
)2(
)1(
JH
D
t
B
t
B
0
D
)3(
)4(
)1(
ldH
l
J
(
s
l
ldE
S
ldB
S
SdD
S
)3(
)4(
Sd
)
Sd
D
t
B
t
0
q
0
0
E
E
H
)2(
E
BE
,
JH
,
C
r
JH
r
，由此可得非限定形式的麦克斯韦方程组：
E
t
H
t
H
0
E
（3）非限定形式的麦克斯韦方程组
在线性和各向同性的介质中，有媒质的本构关系：
D
)1(
（4）麦克斯韦方程组的实质
A、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场
激励的。
B、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事
实。
C、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。
D、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的 。
思考题：麦克斯韦方程中为什么没有写进电流连续性方程？
)3(
)4(
- 7 -
答：因为它可以由微分形式的方程组中①、④式两式导出。把①式两边同时取散度得
J
(
D
t
)
0
，再把④式代
(
)
)
(
)
2
J
(
H
D
0
1
入上式，即得
，若分界面上
A、 的边界条件
S
0
B 的边界条件
D
t
J ，这便是电流连续性方程。
由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得
t
4、 分界面上的边界条件
（1）法向分量的边界条件
DDn
)
2
BBn
B、
（2）切向分量的边界条件
EEn
)
2
HHn
）表面的边界条件
H
t
E
t
B
n
E
H 的边界条件
（3）理想导体（
)4(
JHn
S
En
)2(
0
Bn
0
)3(
En
S
0
J
S
0
0
S
0
E 的边界条件
，若分界面上
0
SJ
SJ
A、
B、
)1(
1
，
)
1
0
(
(
(
1
2
n
0S ，则
DDn
(
1
2
)
0
，则
HHn
(
1
2
)
0
n 是导体表面法线方向的单位矢量。上述边界条件说明：在理想导体与空气的分界
式中
面上，如果导体表面上分布有电荷，则在导体表面上有电场的法向分量，则由上式中的
④式决定，导体表面上电场的切向分量总为零；导体表面上磁场的法向分量总为零，如
果导体表面上分布有电流，则在导体表面上有磁场的切向分量，则由上式中的①决定。
5、 波动方程
无源区域内，
E 、
H 的波动方程分别为：
2
H
2
H
t
2
0
、
2
2
E
t
E
2
0
；
此两式为三维空间中的矢量齐次波动方程。由此可以看出：时变电磁场在无源空间中是
以波动的方式在运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为
p
1
。
6、 坡印廷定理和坡印廷矢量
数学表达式：
SdHE
S
t
1(
2
2
H
1
2
dE
)
2
dE
2
1
2
dE
1
2
dE
t
2
e
2
Wm
储 能 ，
由于
We
P
为体积内的总电场储能，
SdHE
S
物理意义：对空间中任意闭合面 S 限定的体积，
PWW
(
)
m
为 体 积内 的 总 焦 耳 损 耗 功 率 。 于 是 上 式 可 以 改 写 成 ：
，式中的 S 为限定体积的闭合面。
S 矢量流入该体积边界面的流量等
于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率，它给出了电磁波在空间中的能量守恒和
能量转换关系。
2
dH
为体积内的总磁场
- 8 -
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