2016年广东暨南大学高等代数考研真题.doc

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2016 年广东暨南大学高等代数考研真题招生专业与代码：基础数学 070101；计算数学 070102；概率论与数理统计 070103；应用数学 070104；运筹学与控制论 070105 考试科目名称及代码：高等代数 810 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。一、填空题（共 40 分，每空 4 分） 1、设 ( ) f x  4 x  2 x 2  ， ( ) g x 3 _________。 x  ，则 ( )g x 除 ( ) f x 的商式和余式分别是_______和 2 2、行列式 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 的值是________。 3、如果把实 n 级对称矩阵按照合同分类，即两个实 n 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有________类。 4、给出线性空间 3P 的两组基 1 ,   和 1 ,   ： , , 2 3 2 3  1  (1,0,0),  2  (0,1,0),  3  (0,0,1)  ， 1   ( 1,1,1),  2  (1,0, 1),   3  (0,1,1) 则基 1 ,   到 1 , 2 3 ,   的过渡矩阵为 , 2 3 。若线性变换在基 1 ,   下的矩阵为 , 2 3 A       1 1  2 2 0 3 2  0 2      ，则在基 1 ,   下的矩阵为 , 2 3 。 A         1 1 1 2 6  0 3 1 4       5、已知 3 级方阵为。，则 A 的初等因子为， A 的 Jordan 标准形 6、正交矩阵的实特征值只可能是。

7 、对欧几里得空间 V 中的向量 ,，有 | ( |    ) | || , | ，而且等号成立当且仅当。二、（15 分）讨论 k 取何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，并在有无穷多解时求出其全部解。 x 2 kx 2 2 x 2 x  3 x  3 x  3 1   2   2        x 1 2 x 1 kx 1    三、（15 分）设 A       2 2 2 5 -2 -4 -2 -4 5      1、求 A 的全部特征值； 2、对 A 的每个特征值  ，求 A 的属于特征值  的特征子空间的维数和一组基； 3、求正交矩阵T ，使 ATT  是对角矩阵，并给出此对角矩阵。四、（15 分）多项式 ( ) f x ， ( )p x [ ]x ， ( )p x 在  上不可约，且 ( ) f x 与 ( )p x 有一个公共复根，证明 ( )p x | ( ) f x 。五、（ 15 分）设 1 2    是数域 P 上线性空间 V 中的线性无关向量组，讨论 , , , n         1      -1 n 1 2 2 3 , n , n , , 的线性无关性。六、（15 分）1、设 A 是一个 n 级方阵，且 2A A ，证明：秩( A )+秩 ( A E ) = n 。其中 E 是 n 级单位矩阵。 2、关于 n 级方阵 A 和 n 级单位矩阵 E ，若秩( A )+秩 ( A E ) = n ，是否有 2A A ？若否，举出反例；若是，给出证明。七、（15 分）用 ( nM K 表示数域 K 上所有 n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量 ) 乘法成为 K 上的线性空间。数域 K 上形如

        a 1 a n  a 3 a 2 a 2 a 1  a 4 a 3 a 3 a 2  a 5 a 4    n 1  a a n  a 2 a 1         的 n 级矩阵称为循环矩阵，它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果。用U 表示数域 K 上所有 n 级循环矩阵组成的集合。证明U 是 ( nM K 的一 ) 个子空间，并求U 的一个基和维数。八、（20 分）你认为高等代数课程中最重要的概念、最重要的结论是什么，你最感兴趣的内容是什么？高等代数有哪些重要的应用？谈谈你对高等代数的体会和感想。

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