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2021浙江考研数学一真题及答案.doc
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.）
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过
2021浙江考研数学一真题及答案
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
ex 1
(1)函数 f (x)=
x
1, x 0
, x 0 ,在 x 0 处
(A)连续且取极大值.
(C)可导且导数为 0.
(B)连续且取极小值.
(D)可导且导数不为 0.
【答案】D.
【解析】因为lim f (x)= lim ex 1 1 f (0) ，故 f (x) 在 x 0 处连续；
x0
x
x0
ex 1
因为 lim
x0
f (x) f (0)
x 0
=lim
x0
x
x 0
1
lim
x0
e x 1 x
x 2
1
2
1
2
，故 f (0) ，正确答案为 D.
(2)设函数 f x, y 可微，且 f (x 1, ex) x(x 1) 2 ， f (x, x2) 2x2 ln x ，则 df (1,1)
(A) dx dy .
(B) dx dy .
(D) dy.
(C) dy .
1
【答案】C.
【解析】 f (x 1,ex) ex f (x 1,ex) (x 1) 2 2x(x 1)
f (x, x2) 2xf (x, x2) 4x ln x 2x
分别将 y 0 ， y 1 带入①②式有
x 0
x 1
2
1
2
①
②
f1(1,1) f2(1,1) 1 ， f1(1,1) 2 f2(1,1) 2
联立可得 f1(1,1) 0 ， f2(1,1) 1 ， df (1,1) f1(1,1)dx f2(1,1)dy dy ，故正确答案为 C.
在 x 0 处的 3 次泰勒多项式为ax bx2 cx3 ，则
sin x
(3) 设函数 f (x)
1 x2
(A) a 1,b 0,c 7
6
(C) a 1,b 1,c 7 .
6
.
(B) a 1,b 0,c 7
6
.
(D)
a 1,b 1, c 7 .
6
【答案】A.
【解析】根据麦克劳林公式有
sin x
1 x2 x
f (x)
3
x3
7 3
o(x ) [1 x o(x )] x x6
6
2
3
3
o(x )
1
故a 1,b 0, c 7
6
，本题选 A.
(4) 设函数 f x 在区间0,1 上连续，则1 f xdx
(A) lim f
2k 1 1
(B)
.
0
n
2n
2n
n k 1
k 1 1
2n
lim f
.
n k 1
2n n
(C)
n
2k 1 1
lim f
n k 1
2n
(D) lim f
x0 k 1
.
2n n
k 2
2n n
.
1
【答案】B.
【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将 0,1 分 成 n 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则
2k 1 1
0 f (x)dx lim f 2n n
(5) 二次型 f (x , x , x ) (x x )2 (x x )2 (x x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为
, 即选 B.
n k 1
n
1
2
3
1
2
2
3
(A) 2,0 .
【答案】B.
【解析】 f (x , x , x ) (x x )2 (x x )2 (x x )2 2x 2 2x x 2x x 2x x
(D)1, 2.
(B)1,1 .
1
2
2
3
3
1
2
1 2
2 3
1 3
1
3
(C) 2,1.
所以 A 1 2 1 ，故特征多项式为
2
1
3
0 1 1
1 1 0
|E A | 1
1
2
1 1
1
1 (1)( 3)
令上式等于零，故特征值为1，3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.
(6)已知 0 ， 2 ， 1 ，记， k， l l ，
1
2
3
1
1
1
1
3
2
1
1
2
2
1
3
3
1 1
2 2
(C)
5 , 1 .
2
2
(D) 5 , 1 .
2
2
(A)
若1 ，2 ，3 两两正交，则l1 ，l2 依次为
5 1
,
2 2
5 1
,
2 2
【答案】A.
【解析】利用斯密特正交化方法知
(B)
.
.
0
2
[2,1] 2 ，
0
[3,1] [3,2]，
[1,1]
1
2
3
3
1
[,]
1
1
[,] 2
2
2
故l1
[3,1] 5 ， l
[1,1]
2
[3,2] 1
[2,2]
2
，故选 A.
2
(7) 设 A,B 为 n 阶实矩阵，下列不成立的是
2
A O
A
(A) rO AT A 2r A
(C) r O AAT 2rA
BA
A AB
A O
(B) rO AT 2r A
(D) r BA AT 2r A
A O
【答案】C.
【解析】(A) r O AT A r(A) r(A A) 2r(A). 故 A 正确.
(B) AB 的列向量可由 A 的列线性表示，故 r
A AB
O AT
(C) BA 的列向量不一定能由 A 的列线性表示.
(D) BA 的行向量可由 A 的行线性表示， r
r
r
T
A O
0 AT
r (A) r (AT ) 2r(A).
A BA
O AT
A O
0 AT
r (A) r (AT ) 2r(A).
本题选 C.
(8) 设 A ， B 为随机事件，且0 P(B) 1，下列命题中不成立的是
(A) 若 P(A | B) P(A) ，则 P(A | B) P(A) .
(B) 若 P(A | B) P(A) ，则 P(A | B) P(A)
(C) 若 P(A | B) P(A | B) ，则 P(A| B) P(A).
(D) 若 P(A | A
B) ，则 P(A) P(B) .
B) P(A | A
【答案】D.
【解析】 P( A | A
B)
P(A | A
因为 P( A | A
B) P(A(A
P( A
B) P( A | A
P( A)
P(A(A
P( A
B))
B)
B))
B)
P( AB)
P( A
B)
P( A) P(B) P( AB)
P(B) P( AB)
P(A) P(B) P(AB)
B) ，固有 P( A) P(B) P( AB) ，故正确答案为 D.
1
1 2, X
(9)设 X ,Y ,X ,Y ,
n X i,Y
1 n
1
2
2
i1
n
n
, X ,Y 为来自总体 N ,;2,2; 的简 单随 机样 本， 令
1 n
n Yi, X Y, 则
ˆ
1
2
1
2
i1 2 2
2
n
2 2
1
2
n
ˆ
(A) ˆ 是的无偏估计， Dˆ 1
ˆ
(B) 不是的无偏估计， D
ˆ
(C) 是的无偏估计， D
ˆ
(D) 不是的无偏估计， D
ˆ
ˆ
2 2 2
1
1 2
2
2 2 2
1
1 2
2
n
n
【答案】C.
【解析】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X Y 也服从二维正态
分布，即 E(ˆ) E( X Y ) E( X ) E(Y ) 1 2 ，
3
D( ˆ) D(X Y ) D(X ) D(Y ) cov(X ,Y ) 1
1 2 ，故正确答案为 C.
, X16 是来自总体 N , 4 的简单随机样本， 考虑假设检验问题：
n
2
(10) 设 X1 , X 2
2 2 2
H0: 10, H1 : 10. x 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W X 11，
其中 X X i ，则11.5 时，该检验犯第二类错误的概率为
1 16
16
i1
(A)1 0.5
(C)1 1.5
(B)1 1
(D) 1 2
【答案】B.
【解析】所求概率为 P{X 11}
X
N (11.5, 1) ，
X 11.5 1111.5
P{X 11} P
1
2
1
2
4
1 (1)
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
，得
d 2y
dx2
(4et 4tet 2)(2et 1) (4tet 2t )2et
(2et 1)3
，
.
(13)欧拉方程 x2 y xy 4y 0 满足条件 y(1) 1, y(1) 2 得解为 y
【答案】 x2 .
【解析】令 x et ， 则 xy dy
dt
2 4 0 ， 特征根为 2, 2 ， 通解为 y C e2t C e2t C x2 C x2 ， 将初始条件
1
y(1) 1, y(1) 2 带入得C 1,C 0 ，故满足初始条件的解为 y x2 .
dy ， 原方程化为 d 2y 4y 0 ， 特征方程为
dx
, x2 y d 2y
dx2
dx2
1
2
1
2
2
(14) 设 为 空 间 区 域 (x, y, z) x2 4y 2 4,0 z 2
1
2
表 面 的 外 侧 ， 则 曲 面 积 分
x2dydz y2dzdx zdxdy
【答案】4.
.
4
故本题选 B.
上.）
(11)
【答案】
【解析】
0
4
0
dx
x2 2x 2
.
2
【答案】 .
3
【解析】由
将t 0 带入得
dy
dx
4tet 2t
2et 1
d 2y
dx2
t 0
2 .
3
dx
x2 2x 2
dx
0(x 1)2 1
arctan(x1)
4
d 2 y
dx2
0
x 2et t 1, x 0
y 4(t 1)et t 2, x 0
确定,则
2
4
t 0
.
(12)设函数 y y(x) 由参数方程
【解析】由高斯公式得原式= (2x 2y 1)dV 0 dz dxdy 4.
2
D
(15) 设 A aij 为 3 阶矩阵， Aij 为代数余子式， 若 A 的每行元素之和均为 2， 且
A 3 ，
A11 A21 A31=
.
【答案】
3
2
.
1
1
1
1
【解析】 A1 2 1 , A , 2, 1 , 则 A* 的特征值为
， 对应的特征向量为
A
1
1
A11 A21
1 , A* 而 A* A
A
12
A
22
A
13
23
1
1
A
A31
A11 A21 A31
1A
A , A* 1 A A A
1 ，即
32
12
32
A A
A
A
1
33
33
13
22
23
1
1
A11 A21 A31
3
2
.
(16) 甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，
再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与 Y 的相关系
数
.
1
【答案】 .
5
【解答】联合分布率(X,Y)
cov(X,Y )
1
20
5
，DX 1 , DY 1 , 即 1 .
5
5
XY
4
4
(0,1)
1
(1,0)
1
(0,0)
3
10
(1,1)
3 , X
10
0
1
1 1 Y
2
2
0
1
1 1
2
2
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本题满分 10 分)
x et2dt
0
ex 1
1
求极限lim
x0
1
.
sin x
1
【答案】 .
2
1 xet 2dt
【解析】解： lim
0
ex 1
x0
(ex 1) sin x
又因为 x et2dt x (1 t 2 o(t 2))dt x 1 x 3 o(x 3) ，故
1
sin x
sin x 1 xet 2dt
lim
x0
0
0
0
(x 1 x3 o(x3 ))(1 x 1 x3 o(x3 )) x 1 x2 o(x2 )
3
3!
2
原式=lim
x0
=lim 2
x0
1 x2 o(x2)
3!
x2
x2
1
2
.
5
(18)(本题满分 12 分)
1
nx
设un (x) e
【答案】 S(x) 1 e x
x
n(n 1)
e x
e
e 1
, x 1
n1
(n 1,2,
) ，求级数un(x) 的收敛域及和函数.
n1
(1 x) ln(1 x)
x, x
(0,1)
.
【解析】
S (x) u (x) e nx n(n 1) x n1 , 收敛域(0,1], S (x) e
S (x) 1
xn1 x ln(1 x) [ ln(1 x) x]
n1
nx
n1
1
1
n
n1
n1
x
n1 n(n 1)
xn1
n1 n
(1 x)ln(1 x) x,
x (0,1)
n1 n 1
2
e x
1 e x , x (0,1]
S2 (1) lim S2 (x) 1
x1
e x
S(x) 1 ex
, x 1
e
e 1
(1 x) ln(1 x)
x, x
(0,1)
(19)(本题满分 12 分)
已知曲线C :
x2 2 y2 z 6
4x 2 y z 30
，求C 上的点到 xoy 坐标面距离的最大值.
【答案】66
【解析】设拉格朗日函数 L x, y, z,, z 2 x 2 2 y 2 z 6 (4x 2 y z 30)
L 2x 4u 0
x
Ly 4 y 2u 0
L 2z u 0
z
x2 2 y2 z 6
4x 2y z 30
解得驻点： (4,1,12),(8, 2, 66)
C 上的点(8, 2, 66) 到 xoy 面距离最大为 66.
(20)(本题满分 12 分)
设 D R2 是有界单连通闭区域， I(D)
(4 x 2 y 2 )dxdy 取得最大值的积分区域记为 D .
1
D
x2 4 y2
，其中D1 是 D1 的正向边界.
(xex2 4 y2 y)dx (4 yex2 4 y2 x)dy
(1) 求 I(D1) 的值.
(2) 计算 D1
【答案】 .
【解析】（1）由二重积分的几何意义知： I (D) (4 x 2 y 2)d，当且仅当4 x2 y2 在 D 上
大于 0 时， I(D) 达到最大，故 D：x2 y2 4 且 I(D )=
0
(2)补 D2 : x 4y r （ r 很小），取 D 的方向为顺时针方向，
(xe x2 4 y2 y)dx (4ye x2 4 y2 x)dy
d(4 r )rdr 8.
0
2
D
2
2
2
1
1
2
2
2
=
D1
x2 4 y2
6
(xex2 4 y2 y)dx (4 yex2 4 y2 x)dy
(xex2 4 y2 y)dx (4 yex2 4 y2 x)dy
x2 4 y2
1 er 2
r 2
D2
ydx xdy 1
r
2
D2
D2
x2 4 y2
2d .
D2
xdx 4ydy
D1D2
1 er 2
r 2
(21)(本题满分 12 分)
1
a
已知 A 1
a
1 1
1
1 .
a
(1) 求正交矩阵 P ,使得 PT AP 为对角矩阵；
(2) 求正定矩阵C ,使得C 2 (a 3)E A.
【答案】(1) P
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
0
1
6
1
6
2
6
5
3
；(2)C 1
1
1
1 .
3
5
3
1
5
3
1
3
【解析】
(1)由 E A
a
1
1 a
1
1
得1 a 2,2 3 a 1
1
1
a
(a 1)2(a 2) 0
1 1 1 0 1
2
1r
2 0 0 0
0 1 1 的特征向量为 1 ，
1
1
1
当1 a 2 时
2
((a 2)E A) 1
1
当2 3 a 1 所
1 1
((a 1)E A) 1 1
1
1
1
1
1 1 1 1
0 的特征向量为 1 , 1 ，
1 r
0 0
0
1 0 0
2
1
1
2
6
1
1
1
0
2
3
a 1
a 2
，则 PT AP
，
a 1
1
3
1
3
1
3
1 ,
1
2 ,
2
令 P
3
3
6
2
6
1
(2) PTC 2P PT (a 3)E A)P ((a 3)E
2
0
4
4
7
1
T CP
2
，
2
PT CPPTCP
1
故C P
2
4
1
P
4
5
3
PT 1
2
1
1
1
1 .
3
5
3
5
3
1
3
Y , 令 Z Y
X
.
(1) 求 X 的概率密度；
(2) 求 Z 的概率密度.
(3) 求 E X
Y
.
(22)(本题满分 12 分)
在区间(0, 2) 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为 X ,较长的一段长度记为
1, 0 x 1
【答案】(1) X
f (x) 0,其他 ；(2)
2
fZ (z) (FZ (z)) (z 1)2
, z 1
.(3) 1 2 ln 2 .
0, 其他
【解析】(1)由题知： X
1, 0 x 1
；
0, 其他
f (x)
2 X
(2) 由Y 2 X ，即 Z
，先求 Z 的分布函数：
F (z) PZ z P 2 X z P 2 1 z
X
Z
X
X
当 z 1 时， FZ(z) 0 ；
当 z 1 时，
2
FZ (z) P
1 z 1 P X
2
2
X
2
2
fZ (z) (FZ(z)) (z 1)
0, 其他
(3) E X E X 1 x
0 2 x
2 X
Y
1 z11dx 1
z 1
0
2
z 1
；
, z 1
；
1dx 1 2 ln 2 .
8
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