牛顿迭代法其原理是通过泰勒展开的方式，将非线性方程线性化以方便求解。 首先是简单的一元非线性方程:设 f(x)为关于 x 的非线性函数，且在给定值 xk-1 附近连续可导， 对其进行泰勒展开，再通过 xk-1 对应函数值和导数求得增量，将增量叠加至估值上，反复 进行直至增量小于某个设定条件，即停止迭代。 %定义函数变量 对应程序： %% 牛顿迭代（一元） syms a f(a) = a^(3/2) + 2^a - 24; %方程式（其待求解为 4） df(a) = diff(f(a),a); %% 牛顿迭代 x(1) = 0; dt(1) = 1; %对其一阶求导 %迭代赋初值 %迭代增量初值，任意值大于迭代停止条件即可 ii = 1; while abs(dt(ii))>1e-3 %牛顿迭代，当增量小于 1E-3 停止迭代 ii = ii + 1; dt(ii) = - f(x(ii-1))/df(x(ii-1)); x(ii) = x(ii-1) + dt(ii); end %% 绘图 figure plot(x) xlabel('\fontname{宋体}\fontsize{10}迭代次数'); ylabel('\fontname{宋体}\fontsize{10}迭代值'); grid on 

对于多元非线性方程组，原理同样基于一元方程，只不过泰勒展开时需要对每个变量求偏微 分。 设多元方程组为 f(x,y,z,u)=v，其中 x,y,z 为待测未知量，u 为输入量（可能为一个也可能为多 个）,v 为输出量。将其进行泰勒展开，化为矩阵的形式得到： 对其求解即为 对于超定方程（譬如 GPS 中的多颗卫星求解 4 个未知量），使用最小二乘法： % 得到的观测量 1（输出量 1） % 在测量点 2(1,2,2)处观测（输入量 2） % 得到的观测量 2（输出量 2） % 在测量点 1(3,2,4)处观测（输入量 1） % 待测值 x,y,z (解为 3,2,1)观测点(输入量)：xn yn zn 对应程序： %% 牛顿迭代（多元） %% 观测方程描述 syms x y z xn yn zn; f(x,y,z,xn,yn,zn) = (x-xn)^2+(y-yn)^2+(z-zn)^2; % 观测方程（此处为三维距离平方） f1(x,y,z) = f(x,y,z,3,2,4); f1_result = f(3,2,1,3,2,4); f2(x,y,z) = f(x,y,z,1,2,2); f2_result = f(3,2,1,1,2,2); f3(x,y,z) = f(x,y,z,7,2,3); f3_result = f(3,2,1,7,2,3); %% 方程描述（打印至主窗口） XX=['观测方程:']; disp(XX) XX = [f1(x,y,z),f1_result;f2(x,y,z),f2_result;f3(x,y,z),f3_result]; disp(XX) XX=['偏微分方程:']; disp(XX) % 在测量点 3(7,2,3)处观测（输入量 3） % 得到的观测量 3（输出量 3） G(x,y,z) = [diff(f1,x),diff(f1,y),diff(f1,z);diff(f2,x),diff(f2,y),diff(f2,z);diff(f3,x),diff(f3,y),diff(f3,z)]; % 求偏微分 disp(G(x,y,z)) %% 牛顿迭代 X(:,1) = [0,0,0]'; dt(1) = 1; ii = 1; while abs(dt(ii))>1e-3 %迭代赋初值 %迭代增量初值，任意值，大于迭代收敛条件 %牛顿迭代，当增量小于 1E-3 停止迭代 ii = ii + 1; B = [f1_result-f1(X(1,ii-1),X(2,ii-1),X(3,ii-1));f2_result-f2(X(1,ii-1),X(2,ii-1),X(3,ii-1));f3_result-f3(X(1,ii-1) ,X(2,ii-1),X(3,ii-1))]; DX = inv(G(X(1,ii-1),X(2,ii-1),X(3,ii-1)))*B; % G*DX=B DX = inv(G)*B X(:,ii) = X(:,ii-1) + DX; % X = X(ii-1) + DX 

dt(ii) = sqrt(DX(1)^2+DX(2)^2+DX(3)^2); %求增量平方和开根号，利用增量判断迭代停止 条件 end %% 绘图 n = 1:ii; figure plot(n,X(1,:),n,X(2,:),n,X(3,:)) xlabel('\fontname{宋体}\fontsize{10}迭代次数'); ylabel('\fontname{宋体}\fontsize{10}迭代结果'); legend('X','Y','Z') grid on