2010 年宁夏高考理科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)-(24)
题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上
的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,
非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。
5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题
号涂黑。
参考公式:
样本数据
s
1 [(
n
xx ,
1
,
2
nx
的标准差
x
1
2
x
)
(
x
2
x
)
(
x
n
x
2
) ]
2
其中 x 为样本平均数
柱体体积公式
k.Com]
V Sh
其中 S 为底面面积, h 为高
锥体体积公式
V
1
3
Sh
其中 S 为底面面积, h 为高
球的表面积,体积公式[来源:Z。xx。
S
R
4
2
V
R
4
3
3
其中 R为球的半径
第 I 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
(1)已知集合 {|
A
x
| 2,
x R
}
},
B
{ |
x
x
4,
,则 A B
x Z
}
(A)(0,2)
(B)[0,2]
(C){0,2]
(D){0,1,2}
(2)已知复数
z
3
(1
A.
1
4
y
(3)曲线
x
(A)y=2x+1
x
i
3 )
i
1
2
B.
, z 是 z 的共轭复数,则 z
z =
2
C.1
D.2
在点(-1,-1)处的切线方程为
2
(B)y=2x-1
C y=-2x-3
D.y=-2x-2
(4)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 ,- 2 ),角速
度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为
(5)已知命题
1p :函数 2
y
2x
在 R 为增函数,
x
2p :函数 2
y
x
在 R 为减函数,
x
2
则在命题 1q : 1
p
p , 2q : 1
p
2
p , 3q :
2
1
p
题是
和 4q :
p
2
p
1
中,真命
p
2
(A) 1q , 3q
(B) 2q , 3q
(C) 1q , 4q
(D) 2q , 4q
(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需
再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X的数学期望为
(A)100
(B)200
(C)300
(D)400
(7)如果执行右面的框图,输入
5N ,则输出的数等于
(A)
(B)
(C)
(D)
5
4
4
5
6
5
5
6
(8)设偶函数 ( )
f x 满足
( )
f x
3
x
8(
x
,则{ |
0)
x f x
(
2) 0}
(A) { |
x x
2
或
x
4}
(B) { |
x x
0
或
x
4}
(C) { |
x x
0
或
x
6}
(D) { |
x x
2
或
x
2}
(9)若
cos
,是第三象限的角,则
4
5
(A)
1
2
(B)
1
2
(C) 2
(D) -2
1 tan
1 tan
2
2
(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面
积为
(A)
2a
(B)
a
2
(C)
11
3
2
a
(D)
2
5 a
7
3
x
1
2
| lg |,0
x
(11)已知函数
( )
f x
abc 的取值范围是
x
10,
6,
x
10.
若 ,
,a b c 互不相等,且 ( )
f a
( )
f b
( ),
f c
则
(A) (1,10)
(B) (5,6)
(C) (10,12)
(D) (20,24)
(12)已知双曲线 E 的中心为原点, (3,0)
P
是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B
两点,且 AB 的中点为 ( 12, 15)
N
,则 E 的方程式为
(A)
(C)
2
x
3
2
x
6
2
y
6
2
y
3
1
1
(B)
(D)
2
x
4
2
x
5
2
y
5
2
y
4
1
1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都
必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13)设
y
( )
f x
为区间[0,1] 上的连续函数,且恒有 0
( ) 1
f x
,可以用随机模拟方法
近似计算积分
1
0
( )
f x dx
,先产生两组(每组 N 个)区间[0,1] 上的均匀随机数 1
,
x x
2
,
x… 和
N
,
y y
1
2
,
y… , 由 此 得 到 N 个 点 1
,
x y
1
(
N
)(
i
1,2,
…, , 再 数 出 其 中 满 足
N
)
1,2,
…, 的点数 1N ,那么由随机模拟方案可得积分
N
)
y
1
1(
f x
)(
i
为
。
1
0
( )
f x dx
的近似值
(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种)
(15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为____
(16)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=
则 BAC=_______
1
2
DC, ADB=120°,AD=2,若△ADC 的面积为3
3 ,
三,解答题:解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤
(17)(本小题满分 12 分)
设数列 na 满足
a
1
2,
a
n
1
a
n
2
3 2 n
1
(1) 求数列 na 的通项公式;
b
(2) 令 n
na ,求数列的前 n 项和 nS
n
(18)(本小题满分 12 分)
如 图 , 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 为 等 腰 梯 形 ,
AB CD,AC BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高 ,E
为 AD 中点
(1) 证明:PE BC
(2) 若 APB= ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值
(19)(本小题 12 分)
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老
年人,结果如下:
是否需要志愿
性别
需要
不需要
男
40
160
女
30
270
(1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2) 能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
(3) 根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人,需要志愿帮助的
老年人的比例?说明理由
附:
(20)(本小题满分 12 分)
,F F 分别是椭圆
设 1
2
E
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
b
的左、右焦点,过 1F 斜率为 1 的直线i 与
0)
E 相交于 ,A B 两点,且 2
AF AB BF 成等差数列。
,
,
2
(1)求 E 的离心率;
(2) 设点 (0, 1)
满足 PA
p
PB
,求 E 的方程
(21)(本小题满分 12 分)
设函数
( )
f x
e
1x
。
x ax
2
(1) 若 0
a ,求 ( )
f x 的单调区间;
(2) 若当 0
x 时 ( ) 0
f x ,求 a 的取值范围
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记
分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图,已经圆上的弧
,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:
(Ⅰ)∠ACE=∠BCD;
(Ⅱ)BC2=BF×CD。
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知直线 C1
x 1 t cos
y
sin
t
(t 为参数),C2
x
y
cos
sin
(为参数),
(Ⅰ)当=
3
时,求 C1 与 C2 的交点坐标;
(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当变化时,求 P 点的轨迹的
参数方程,并指出它是什么曲线。
(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选项
设函数 ( )
f x
2
x
4
l
1
(Ⅰ)画出函数
y
( )
f x
的图像
(Ⅱ)若不等式 ( )
f x ≤ ax 的解集非空,求 a 的取值范围。
参考答案
一、 选择题
(1)D (2)A (3)A
(4)C
(5)C
(6)B
(7)D (8)B (9)A
(10)B
(11)C
(12)B
二、填空题
(13) 1N
N
(
x
(15)
(14)三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分)
2
3)
2
y
2
(16)60°
三、解答题
(17)解:
(Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,
a
n
1
[(
a
n
1
a
n
)
(
a
n
a
n
1
)
(
a
2
a
1
)]
a
1
2) 2
3(2
2
n
1
2
2
n
3
2(
1) 1
2 n
。
而 1
a
2,
所以数列{ na }的通项公式为
na
12 n
2
。
(Ⅱ)由
b
n
na
n
n
2
12 n
知
nS
1 2 2 2
3
3 2
5
n
1
2
2 n
①
从而
2
2
nS
1 2
3
2 2
5
3 2
7
n
1
2
2 n
②
①-②得
2
(1 2 )
nS
1[(3
n
9
即
nS
(18)解:
2 2
3
5
2
2
2
n
1
n
2
2
n
1
。
1)2
2
n
1
2]
以 H 为原点, ,
HA HB HP 分别为 ,
x y z 轴,线段 HA 的长为单位长, 建立空间直角坐
,
,