hessian矩阵.doc

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引用海赛(Hesse)矩阵

引用海赛(Hesse)矩阵 microfisher 的海赛(Hesse)矩阵海色矩阵在数学中，海色矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：如果 f 所有的二阶导数都存在，那么 f 的海色矩阵即： H(f)ij(x) = DiDjf(x) 其中，即（也有人把海色定义为以上矩阵的行列式）海色矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。混合偏导数和海色矩阵的对称性海色矩阵的混合偏导数是海色矩阵主对角线上的元素。假如他们是连续的，那么求导顺序没有区别，即

上式也可写为在正式写法中，如果 f 函数在区域 D 内连续并处处存在二阶导数，那么 f 的海色矩阵在 D 区域内为对称矩阵。在 R^2→R 的函数的应用给定二阶导数连续的函数，海色矩阵的行列式，可用于分辨 f 的临界点是属于鞍点还是极值。对于 f 的临界点(x0,y0)一点，有，然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海色矩阵可能解答这个问题。  H > 0 ：若，则(x0,y0)是局部极小点；若，则(x0,y0)是局部极大点。  H < 0 ：(x0,y0)是鞍点。  H = 0 ：二阶导数无法判断该临界点的性质，得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。

Hessian 矩阵是多维变量函数的二阶偏导数矩阵，H （i,j)=d^2(f)/(d(xi)d(xj)) 它是对称的。如果是正定的的可用导数=0 的变量组确定它的极小值，负定的确定它的极大值，否则无法确定极值。 1.极值（极大值或极小值）的定义设有定义在区域 D Rn 上的函数 y=f(x)=f(x1,...,xn) . 对于区域 D 的一内点 x0=(x10,...,xn0)，若存在 x0 的一个邻域 UD，使得 f(x)≤f(x0) x∈U 则称 x0 是 f(x)的极大点，f(x0)称为 f(x)的极大值. 相反，如 f(x)≥f(x0) x∈U

则称 x0 是 f(x)的极小点，f(x0)称为 f(x)的极小值. 2.海赛（Hessian）矩阵设函数 y=f(x)=f(x1,...,xn)在点 x0=(x10,...,xn0)的一个邻域内所有二阶偏导数连续，则称下列矩阵 H 为 f(x)在 x0 点的海赛矩阵. 显然海赛矩阵是对称的，从而它的所有特征根均为实数. 3.极值存在的必要条件若 x0 是 f(x)的极值点，如果存在，则进一步设在一个邻域内所有二阶导数连续，H 为在点 x0 的海赛矩阵.则（1）x0 是 f(x)的极小点 H≥0，即 H 的特征根均为非负. （2）x0 是 f(x)的极大点 H≤0，即 H 的特征根为非正.

若在 x0 点有，则称 x0 是 f(x)的临界点，f(x0)为临界值. 4.极值存在的充分条件设 f(x)在 x0 的一个邻域内所有二阶偏导数连续，且 x0 是 f(x)的临界点（即），H 为 f(x)在 x0 点的海赛矩阵，则（1）H>0，即 H 为正定矩阵 x0 是 f(x)的极小点. （2）H<0，即 H 为负定矩阵 x0 是 f(x)的极大点. （3）H 的特征根有正有负 x0 不是 f(x)的极值点. （4）其余情况，则不能判定 x0 是或者不是 f(x)的极值点. 5.二元函数极值存在的充分条件作为 4 的特例。观察二元函数极值存在的充分条件. 设 z=f(x,y)在(x0,y0)的一个邻域内所有二阶偏导数连续，且,

记 . 那么，海赛矩阵. （1）若 A>0，detH=AC-B2>0，则 H 正定，从而(x0,y0)是 f(x,y) 的极小点. （2）若 A<0，detH=AC-B2>0，则 H 负定，从而(x0,y0)是 f(x,y) 的极大点. （3）若 detH=AC-B2<0，则 H 的特征根有正有负，从而(x0,y0) 不是 f(x,y)的极值点. （4）若 detH=AC-B2=0，则不能判定(x0,y0)是否为 f(x,y)的极值点. 6.条件极值求函数（1）， y=f(x)=f(x1,...,xn) x∈DRn 在约束条件：qk(x)=qk(x1,...,xn)=0，k=1,...,m，m

下的极值，称为条件极值问题. 此处，假设雅可比矩阵的秩在 D 内处处为 m，即保证 m 个约束条件是独立的. 直接代入法从约束条件（2）中直接解出 m 个变量，代入到（1）中，将问题化为求 n-m 个变量函数的直接极值问题. 拉格朗日（Lagrange）乘数法引入拉格朗日函数：（3）其中λ1，...，λm 称为拉格朗日乘子，是待定常数. 条件极值问题（1）和（2）可化为求拉格朗日函数（3）的直接极值问题.

（1) 若 x0 为(1)和(2)的条件极值点,则 x0 满足方程组满足上述方程组的点称为条件极值问题的临界点.显然极值点为临界点,而临界点未必一定是极值点. （2)若 x0 是临界点, HL 为拉格朗日函数 L 在 x0 点的海赛矩阵, 则可按 4 中给出的极值存在的充分条件,由 HL 的正定、负定或不定, 判断 x0 是极小点、极大点或不是极值点.

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