2018年第 33卷 第 4期 2018，33(4)：1682—1686 辨 半#_毂 缸 地球 物 理 学进 展 Progress in Geophysics http：／／／／WWW．progeophys．cn ISSN 1004—2903 CN 1 1．2982／P 彭刘亚 ，任川 ．2018．基于粒子群算法 的瑞雷波频散曲线反演研究．地球物理学进展 ，33(4)：1682-1686，doi：10．6038／pg2018BB0343． PENG Liu—ya。REN Chuan．2018．Inversion of Rayleigh wave dispersion curve using particle swami optimization algorithm．Progress in Geophysics 0 in Chinese)，33(4)：1682-1686，doi：10．6038／pg2018BB0343． 基 于粒 子群 算 法 的瑞 雷波 频 散 曲线 反 演 研 究 Inversion of Rayleigh wave dispersion curve using particle swarm optim ization algorithm 彭刘亚 ，任川 PENG Liu．ya ，REN Chuan 1．安徽省地震局 ，合肥 230031 2．安徽 惠洲地质安全研究院股份有 限公 司，合肥 231202 1．Anhui Earthquake Administration，Hefei 230031，China 2．Anhui Hu&hou Geology Security Institute Company Limited，Hefei 23 1202，China 摘 要 瑞 雷 波 频散 曲 线 反 演 的 本 质 是 对 目标 函 数 求 极 值 的 Abstract The inversion essence of Rayleigh wave dispersion curve 过程．传统的线性局部反 演算 法容 易陷入局部 极小值 ，增加 了 反 演结 果 的不 确 定 性 ．粒 子群 算 法作 为一 种 全 局 非 线 性 优 化 手 段 ，能够保证各搜索空间 内局部寻优 的同时，逼近全局最优 ，保 is a process of seeking for minimum value of objective function． Conventional algorithms are more likely to get stuck in local optimum due to their linear characters ，which results in uncertainty of the inverted velocity．As a global and non—linear method，particle 证 迭 代 反 演 的 收 敛 性 ．建 立 含 软 夹层 型 地 层 模 型 ，正 演 计 算 得 swain optimization has the ability to approach both local and global 到理论频散 曲线 ，采用粒子群算 法反 演得 到的横 波速度 与模 型 optimum at the same time， assuring the iterative convergence． 高度吻合．同时，在理论频散 曲线中加入 10％的高斯 白噪 声，粒 子群算法的反演结果仍 然具有很好 的可靠程 度．通过对 实测频 散 曲线的反演表明 ：粒子群 算法在含软 夹层 型地层的横 波速度 Calculate theoretical dispersion curve by establishing geological model with soft interlayer．Then，invert this curve by particle swarm optimization to obtain shear wave velocity， which has a good accordance with the initial mode1． The inverted results still have 探测 中相对于最小二乘法优 势明显 ，具有很高的应用价值 ． high reliability when Gaussian white noise is involved at the ratio 关 键 词 频 散 曲线 ；反 演 ；粒 子群 算 法 ；全 局 优 化 中 图分 类 号 P631 文献 标 识 码 A doi：10．6038／pg2018BB0343 10％ ． The inversion of observed dispersion CHIVe indicates that， PSO has more considerab le value with higher precision than least square method during shear wave velocity detection with soft interlayer stratum． Keywords dispersion curve；inversion；particle swarm optimization algorithm；global optimization O 引 言 极值和非线性 等特征 ，对初 始模 型依 赖度 较高 的最 小 二乘 法 、拟牛顿法等局部优化算法 ，容易陷入局部最小值 (宋先海 在浅层地 表结构探 测 中 ，瑞雷 波勘 探 由于具有低 成本 、 等 ，2003；付 代光 等 ，2015)，导致反演结果不够精确． 高效 率 、高信噪 比等特点 ，已然成 为最 常用 的工程 勘探手 段 目前 ，频散曲线的反演方法逐 渐由线性 局部 优化算法 向 之一 (杨成林 ，1989；张 晓阳等 ，2016)．其勘探 原理 实质上 是 非线性全局优化算法进化 ，如遗传算法 、神经 网络算 法 、粒子 利用 了瑞 雷波 的频 散特性 ，通过对实测瑞雷面波数据提 取频 散曲线 ，采用一定 的反演方法获得地层的横波速度和厚 度信 群算法等 ．其中 ，粒子群算 法不涉 及遗传 算法 中 的交 叉和变 异运算 ，也不需要提前训练 神经 网络 ，而是依靠 更新 粒子 的 息(李启成等 ，2016)．频 散 曲线 的反演本 质可 以视 为对 目标 位置和速度信 息在 给定 的搜 索空 间 内全局 寻 优 ，搜索 速度 函数求取极小 值过程 ，即寻找最佳 的地层物性参 数组合 (主 快 ．对于频散 曲线反演而言 ，不依赖于初始模 型，可 以提 高反 要为纵波速度 、横波速 度 、密 度和地层 厚度 )，使得 理论值 与 演结果 的可靠性 ．同时 ，需要调 整 的参 数较 少 ，结 构简 单 ，易 实测值之间的误差达到最 小．由于 目标 函数 具有多 参数 、多 于 编程 实 现 ． 收稿 日期 2017—10—12； 修回 日期 2018-07—16． 投稿网址 http：／／www．progeophys．cn 第一作者简介 彭刘亚 ，男 ，1990年生 ，安徽省桐城人 ，2014年毕业于 中国矿业大学 ，硕士 ，现从事浅层地震勘探方 法与理论研究 (E—mail：pengliuya90@gmail．COB) 

2018，33(4) 彭 刘 亚 ，等 ：基 于 粒 子 群 算 法 的瑞 雷 波 频 散 曲 线 反 演 研 究 www．pr。ge。phys．cn) 1683 1 粒 子群 算法 原理 粒 子群 (Particle Swarm Optimization，以下 简 称 PSO)算 法 ，是 由 Kennedy和 Eberhart在 1995年基于鸟群觅食提 出的 差达到最低 ．因此 ，可 以将 反 演 的 目标 函数 作 为适 应 度 函 数 ，即 ： fitness = 一 (3) 一 种全局 寻优 的算 法 (刘财 等 ，2017)．在 PSO算 法 中 ，目标 式 中， (k=1，2，3)为迭代搜索 的横波速度模 型在给定频率 函数 的极值求解 过程可 以看作 粒子在各 搜索 空 间中寻 找最 下对应 的基 阶、2阶 、3阶瑞雷波 波相速 度 ， 为实测 频散点 佳位置 的问题 ，其算法原理 为 ： ① 假设 粒子总 数为 N，目标搜 索空 间维数为 D．随机初 的相速度 ，ll_ll表示 z：范数 ，m为频散点的个数．值得 注意的 是 ，实测频 散曲线的提取 过程 中 ，不 同模式 的频 散点 个数是 始化每个粒 子的位置 X =( ，… ， 。)和飞行 速度 Vi= 不 同的，需要分开计算． ( 1， ，… ， D)； ② 确定合 适的适应 函数 ，计算 每个粒子的适应度值 ； ③ 比较每个粒 子的适应 度值和粒子 自身 的最优位置 P (i=1～N，s=1～D)，若较 好则将 该适应 度值作 为 当前 最优 位置 ，否则保持不变 ； ④ 比较每个粒子 的适应 度值 和群 体最 优位 置 P (S= 建立 四层层状模 型 ，其 中第 二层 为软 弱层 ，各物 性参数 见表 1．由于纵波 速度 和密度对瑞雷波 频散 曲线 的影响较小 (罗银 河等 ，2008；邵广周 等 ，2015)，因此本 次研 究不 考虑 二 者对频散 曲线 的影 响．设定频率范 围为 0～100 Hz，频率 间隔 为 2 Hz，则频 散点个数 为 m=51．利用快 速标量传 递法计算 得到模型 的理论频散 曲线 ，同一频率下对应不 同大小 的相 速 1～D)，若较好则讲该 适应 度 值作 为 当前群 体最 优位 置 ，否 度分别为基 阶、2阶和 3阶模式 ． 则保持不变 ； ⑤ 更新 粒子的速度和位置 ，更新 公式为 f ： ·( +c 。 ‘( 一 )+c2·r2·(P 一 )) … ： + 1 ’ +cz,C >4 ， 式 中， 为 收敛 因子 ，用 于控制 与约束粒 子的飞行 速度 ，保 证 迭代 的收敛 性．c。、c 为 学 习 因子 ，r。、r：为 0～1之 间 的随 机 数 ； ⑥ 确定粒 子飞行速度范 围 [ 。 ， ]和空 间位置 范 围 [X… ，X… ]，约束粒 子飞 行速度 和位 置 的边界值．通常粒 子 飞 行 速 度 取 值 为 搜 索 空 间 范 围 的 10％ ～20％ ； ⑦ 若满足 误差 精 度要 求 或 达 到最 大 迭代 次 数停 止 搜 索 ，输 出最终粒子位置 ，否则返 回步骤②． 从粒子群算 法的流程不难发现 ，PSO算法 对每个粒 子 的 初始位置要求不 高 ，在搜索过程 中通过更新 粒子的飞行 速度 和位置来确定群 体最优位 置 的方 向．同时 ，选 取合适 的 目标 函数作为适应度 函数 来评价每个粒子 的位置 ，作为粒子 群进 化 和 全 局 寻 优 的评 判 准 则 ． 2 理论 模 型反演 试 算 表 1 四层 含 软 夹 层 型 地 层 模 型 参 数 Table 1 Param eters of four-layered stratum with soft interlayer 采 用 粒 子 群 算 法 ，设 置 粒 子 总 数 为 N =200，最 大 迭 代 次 数 Tm =200，学习因子 c =2．8、c：=1．3，约定速度 的搜索 范 围为 100—500 m／s，粒子飞 行速 度范 围为 一20—20 m／s．在 反 演 过 程 中约 定 =2．5 ，密 度 取 1．9 g／cm ．同 时 ，为 方 便 计算 ，采用 1 m等厚薄层划分地层 (邵广 周和李庆春 ，2011)， 则粒子 的搜索空 间维数为 D=10，反演结果见表 2．从表 2中 可 以看 出 ，在 不 考 虑 随 机 噪 声 的情 况 下 ，PSO反 演 结 果 与 模 型高度吻合 ，其 中软夹层 的横波速度与模型完全一致 ． 表 2 PSO 算 法 反 演 结果 与模 型对 比 为 了验 证 粒 子群 算 法 在 瑞 雷 波 频 散 曲 线 反 演 中 的 可 行 Table 2 Inverted results by PSO compared with m odel 模型速度 PSO反演结果／(m ‘s ) 相对误差／％ ／Cm 无 噪声 10％白噪声 无 噪声 10％白噪声 性 ，建 立含软夹层型地质 模 型，利用 凡友 华 的快速标 量传 递 法 (凡 友华和 刘家琦 ，2001)计算 理论频 散曲线 ，并 当作 实测 频散曲线进行反演．研究表 明：当中间层 存在低速软弱层 (如 淤泥质土等 )时 ，频 散 曲线 出现 “之 ”字形 跳跃 现象 ，且 随着 软弱层厚度 的增加和横波速度 的减小 ，“之 ”字形跳跃 现象愈 发明显 (张碧星等 ，2002；邵广周等 ，2015)，高阶模式渐渐 占据 中 ～低频部分 的优势．此时 ，仅依靠基 阶模式反 演获得的横波 速度信息在一定程度上是失 真的．因此 有必要在 反演过 程 中 加入 高阶模式频散 曲线 的约 束 ，即适 当考虑基 阶模式和 高阶 模式 的频散 曲线组合反演 ，从而提高横波速度 的反演精度 (罗 银河 等，2008)．本文中 ，瑞雷波的高阶模式计算到 3阶． 瑞雷波频散 曲线反演 的 目的是 为 了搜 索最 佳横 波速度 模 型 ，使得该模 型对 应的频散 曲线与实测频散 曲线之间 的误 

1684 地 球 物 理 学 进 展 www ． progeophys．ca 由于实测瑞 雷 波数据 受直 达波 、反射 波及 折射 波 等干 扰 ，且频散 曲线提取过 程 中受 提取方 法 、参 数和 人为 因素 的 影响 ，必然会存在一定 的误 差 ，因此有必要 考虑 PSO算 法 的 抗噪能力．在模 型 的理 论频 散 曲线 中加入 10％ 的高斯 白噪 声 ，采用 PSO算法 反演 的结果 与模 型速 度之 间 的误差 虽有 所增加 ，但 吻合程度依然 较高．图 1为最终 反演 结果与 理论 g 模型在深度一速度域下 的对 比，直观表 明 了在无 噪声 和 10％ 高斯 白噪声干扰下 ，PSO反演结 果与 模型 吻合度 均较好．由 于软夹层 的存在 ，速度 发生 突变 ，粒 子在更 新位 置时容 易搜 索空间 的边界位置 ，导致其下伏地层 的反演精度受 到一定程 度 的影 响 ，尤 其 是 在 10％高 斯 白噪 声 干 扰 下 尤 为 明 显 ，但 并 不影响对软夹层 的探测 ，因此反演结果基本可靠． 横波速度(m／s) 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 _s鱼 ＼ 图 2 理论模型频散曲线与 PSO反演结果对 比 (a)无 噪声 ；(b)1O％ 高 斯 白噪声 ． Fig．2 Dispersion curves of theoretical m odel and inverted results by PSO (a)Without noise；(b)With 10％ Gaussian white noise． 对复杂 ，适 应 度 函数 量 化 值 呈 台 阶状 下 降 ，最 终 稳 定 在 10．327．与此 同时 ，由于频 散 曲线 的反 演过程 需要 寻找不 同 的速度模型组合进行正演 ，因此 从反 演方法 上来说 ，对 于高 维全局寻优问题而言 ，PSO算 法在 迭代反演 过程消耗 的时间 相对较长．因此实 际应用 时 ，若 对反 演结果 的精度 无 明显限 制 ，在保证 PSO算法收敛的基础 上 ，可以适 当降低粒 子群规 模和减少迭代次数 ，缩短反演时 间． 图 1 理论模型 与 PSO反演结果对 比 Fig．1 Comparison between theoretical model and inverted results by PSO 3 PSO算法收敛特征分析 4 应用实例 图 2a和 b分别为无 噪声条件 下和 10％高斯 白噪 声下 ， 理论频散 曲线与 PSO反演速度结 果对应 的频散 曲线间 的拟 合关 系．可以看出 ，无论是否存在随机噪声干扰 ，从 频散 曲线 上看 ，最终的反演结果与模 型理论频 散曲线之 间的拟合程度 均较高 ．因此 ，可 以确定 由公式 (3)定义的适应度 函数在 PSO 算 法下是 收敛 的． 图 3为模型反演试算过程 中，适应度 函数 量化值随迭代 次数 的变化 ．在无噪声 条件 下 ，1～10次迭 代 中适应度 函数 量化值无 明显变 化 ，此时粒子位置 更新较慢 ．10～30次迭代 过程 中 ，适应度函数量化值 迅速 降低 ，说 明粒 子位 置接近最 优解 ．此后迭代过程 目标值 变化缓 慢 ，最终适 应度 函数值稳 定在 5．5091．而当频散曲线 中加入 了 10％ 的高斯 白噪声后 ， 某城市地震小区划工程中 ，通常利用钻孔剪切波 波速测 试获取浅层地表 的横波速度信息 ，从而进行场地 土层 反应分 析计算 ，获得地震动参数 ．为验证 PSO算法 在瑞雷波频 散 曲 线反演地层横波速度 中的实际应用效果 ，选取含 软弱土层 的 钻孔为 中心点 ，布置 一条瑞雷 波勘探 排列．采集 仪器 为美 国 Geometrics公 司 的 NZXP，24道 接 收 ，道 间 距 1 m，偏 移 距 10 m，采样间隔 0．25 ms，采样长度 300 ms，检波器频率 4 Hz， 锤击震源 ，去除直达波 、折 射波等 干扰波 后 的瑞 雷波记 录如 图 4a所示．联 合 F-K法和相移法对实测数据提取频散 曲线 ， 如 图 4b中实线所示 ．不难看出 ，实 际瑞雷波频散 曲线 的能量 主要集 中在 30～9O Hz之 间 ，低 频部分是 缺失 的 ，尤 其是 高 阶模式 ，这对反演必然会 带来一 定程 度 的影 响．为说 明 PSO 由于频散 曲线本 身存 在误差 ，因此迭代寻找最优解 的过程相 算法 的优势 ，本次 反演 同样也采用 了最dx__-乘法 ，并将 两种 

2018，33(4) 彭 刘 皿 ，等 ：基 于 粒 子 群算 法 的 瑞 雷 波 频 散 曲线 反 演研 究 (WWW．progeophys．on) 1685 砸l1 面刚 园 迭 代 次数 迭 代 次数 图 3 PSO 反 演算 法 收 敛 特 征 (a)尢 噪 声 ；(b)10％ 高 斯 噪 声 ． Fig．3 Convergent feature of inversion by PSO (a)Without noise：(b)With l0％ Gaussian whitc nnis‘ Distance／m 0 O 25 O 50 O 75 0 l0O O l25 0 l 50 0 l 75 0 兰 200 0 225 0 250 0 275 0 300 0 325 0 350 0 375 0 400 0 Trace number 坝 波 速 』1=￡(m／s) E I ≤ 圆 迭 代 次 数 (a)宴测瑞街波地震 记录 ：(I )宴测频散曲线与 PSO反演结 果列比；(c-)频散 ㈣线反演 j剪切波波速测 试结果对 比；( 1)PSO反演迭代收敛特{ (|1)AI’quired Rayleigh。waVe seismic record；(b)Observed ttispersion‘’III'V{ s and inverted l suhs by PS()：((·)VetI}I-ily ，nil)arisen Fig．4 PSO invm~ion with observed Rayleigh—wave seism ic record between inverted results ant]shear wave velocity tesl；(d)Convergent featun of PSO i~lvelsion 4 实测 数据 与 PSO 反演 结 果 

1686 地 球 物 理 学 进 展 www． progeophys．Cll 2018，33(4) 反演 方 法 的结 果 与剪 切 波波 速 测 试 结 果 对 比． (3)：317-320． 为提 高反演效率 ，结合前 文 中 PSO算 法 的收敛特 征 ，设 置最 大 迭 代 次 数 Tm =100，粒 子 飞 行 速 度 范 围 为 一4O～ 40 m／s，其余参数设置 与模 型反演保 持 一致 ，并 以 1 in薄层 划 分 地层 进行 反演 ，反 演 结 果 见 图 4c．可 以直 观 地 看 出 ，两 种 反演算法对于浅部地层 的反 演结果并 没有 明显 的差异 ，且 反 演结果与剪切波波速测试结果基 本一 致．但 PSO反演对 于软 弱层 淤泥质粉质黏土的反演结果 与波速测试结 果十分吻合 ， 而最小二乘法反演 结果则 有 明显失真 ，误 差较 大 ，说 明 PSO 算法在软夹层 探测中相对最 小二乘 法具有更高 的可靠程度 ． 图 4d为本次 PSO反演过程 中 ，目标 适应度 函数值 随迭代 次 数的变化 ，可 以发 现迭代 次数 为 40时 ，基 本收敛 到位 ，适 应 度函数值 基本 稳定在 20左右．从 图 4b中 PSO反演频散点 与 实测频散 曲线的拟合程 度也 可 以看 出 ，收敛程 度较 高 ，反 演 结 果 比较 可 信 ． 5 结 论 5．1 理论模型频散曲线的反演试算 结果表明 PSO算法不 依 赖于初始模型 ，且具 有一定 的抗 噪能力 ，反演 结果 与模型 吻 合度较高 ，可 以作为瑞雷波频散 曲线的反演手段． Shao G Z，Li Q c，Wu H．2015．Dispersion curves and mode energy distribution of Rayleigh wave based on wavefield numerical simulation[J]．Oil Geophysical Prospecting(in Chinese)，50(2)： 306．315． Song X H， Xiao B X， Huang R R ，et a1． 2003． The inversion of dispersion curves using serf-adaptively iterative damping least square method by combining equal thinner layers with weighting matrix[J]． Geophysical＆ Geochemical Exploration (in Chinese)，27(3)： 212．216． Yang C L． 1989． The principle and application of Rayleigh wave exploration method[J]．Geophysical＆ Geochemical Exploration(in Chinese)，13(6)：465-468． Zhang B X，Lu L Y ，Bao G S．2002．A study on zigzag dispersion eurves in Rayleigh wave exploration[J]．Chinese Journal ot Geophysics(in Chinese)，5(2)：263—274，doi：10．332l／j．issn：0001-5733． 2002．02．O13． Zhang B X，Xiao B X ，Yang W J，et a1． 2000． Mechanism of zigzag dispersion curves in Rayleigh exploration and its inversion study[J]． Chinese Journal of Geophysics (in Chinese)，43(4)：557-567， doi：10．3321／j．issn：0001-5733．2000．04．017． Zhang X Y，Du W F，Lu Y X．2016．The application of particle swarm optimization in the inversion of Rayleigh wave dispersion CHIVe[J]． Joumal of Liaoning Technical University (Natural Science) (in Chinese)，35(12)：1527—1532， doi： 10．1 1956／j．issn．1008— 0562．2016．】2．027． 5．2 实测频散 曲线受采集因素 、处理 方法 的影 响 ，存在一 定 的误差 ，且低频能量 缺失 ，不可 避免地 降低 了反演结 果 的精 附 中文参 考文献 确性． 凡友华 ，刘家琦．2001．层状介质 中瑞雷面波 的频散研究 【J]．哈尔 5．3 实测频散 曲线 的 PSO反演结 果与剪切 波波 速测 试结果 滨 工业 大学 学 报 ，33(5)：577-581． 基 本 吻 合 ，且 对 软 弱 层 的探 测 能 力 基 本 不 受 各 种 影 响 因 素 的 付 代 光 ，刘 江 平 ，周 黎 明 ，等 ．2015．基 于 贝 叶 斯 理 论 的 软 夹 层 多 模 制约 ，反演结果相对 于最小二乘法有 明显改善． 式瑞 雷波频散 曲线反 演研究 [J]．岩土工 程学报 ，37(2)：321— 5．4 由于迭代过程 时间较长 ，本次 PSO算 法 中的主要参 数 设 置 均 采 用 常 用 经 验 值 ，并 未 进 行 多 次 试 验 ，还 需 要 进 一 步 探索研究 ，提高反演效率 ． 致 谢 感谢 审稿 专 家提 出的 修 改 意 见 和 编 辑 部 老 师 的 大 力 支持 ! References Fan Y H．Liu J Q．2001．Research on the dispersion of Rayleigh waves in muhilayered mediaI J 1．Joumal of Harbin Institute of Technology (in Chinese)，33(5)：577-581． Fu D G ， Liu J P， Zhou L M ， et a1． 2015． Inversion of multimode Rayleigh-wave dispersion curves of soft interlayer based on Bayesian theory[J]． Chinese Joumal of Geotechnical Engineering (in Chinese)，37(2)：321-329，doi：10．11779／CJGE201502016． ¨ Q C，Yan X D，Sun Y C，et a1．2016．Measurement of superstratum wave velocity with reflection wave on dip section l J I．Progress in Geophysics(in Chinese)，31(5)：2124-2127，doi：10．6038／ pg20160532． Liu C，Qiao H Q，Guo Z Q，et a1．2017．Shale pore structure inversion and shear wave velocity prediction based on particle swarln optimization(PSO)algorithm[J]．Progress in Geophysics(in Chinese)，32(2)：6894595，doi：10．6038／pg20170232． 329，doi：10．1 1779／CJGE201502016． 李 启 成 ，闫 晓 丹 ，孙 颖 川 ，等 ．2016．利 用 瑞 利 面 波 进 行 岩 性 分 层 [J]． 地 球 物 理 学 进 展 ，31(5)：2124—2127，doi：10．6038／ pg20160532． 刘财 ，乔汉青 ，郭智 奇，等．2017．基于粒子群算法 的页岩孔 隙结构 反 演 及 横波 速 度 预 测 [J]．地 球 物 理 学 进 展 ，32(2)：689-695， doi：10．6038／pg20170232． 罗银河 ，夏江海 ，刘 江平 ，等 ．2008．基阶与高 阶瑞 利波联合 反演研 究 [J]．地 球 物 理 学 报 ，51(1)：242-249，doi：10．3321／j．issn： 0001．5733．2008．01．030． 邵 广 周 ，李 庆 春 ．2011．基 于 细 化 分 层 法 探 讨 面 波 频 散 曲 线 反 演 参 数 的 简 化 [J]．地 球科 学 与环 境 学 报 ，33(3)：317-320． 邵广周 ，李庆春 ，吴华．2015．基于波场数值模拟的瑞利波频散 曲线 特 征及 各 模式 能 量 分 布 [J]．石 油地 球 物 理勘 探 ，50(2)：306—3l5． 宋先海 ，肖柏勋 ，黄荣荣 ，等 ．2003．用等厚薄层 权重 自适应 迭代阻 尼最小二乘 法反演瑞 雷波频散 曲线 [J]．物探 与化探 ，27(3)： 212-216． 杨 成 林 ．1989．瑞 雷 波 法 勘 探 原 理 及 其 应 用 [J] 物 探 与 化 探 ，13 (6)：465-468． 张碧星 ，鲁来玉 ，鲍光淑．2002．瑞利 波勘探 中“之 ”字形频 散 曲线 研究 [J]．地球 物 理学 报 ，45(2)：263-274，doi：10．3321／j． issn：0001．5733．2002．02．013． Luo Y H ，Xia J H ，Liu J P，et a1．2008．Joint inversion offundamentat 张碧星 ，肖柏勋 ，杨文杰 ，等．2000．瑞利波勘探 中“之”形频散 曲线 and higher mode Rayleigh waves[J]．Chinese Journal of Geophysics (in Chinese)，51(1)：242-249，doi：10．3321／j．issn：0001-5733． 2008．01．030． Shao G Z，Li Q C．201 1．Study on parameter simplifying in dispersion curves inversion of SUl~flee wave based on subdividing layer method 的形成机理及反演研究 [J]．地球 物理学 报 ，43(4)：557-567， doi：10．3321／j．issn：0001-5733．2000．04．017． 张晓阳 ，杜文凤 ，卢勇旭 ．2016．粒子群算法在面波频散曲线反演中 的应 用 [J]．辽 宁 工 程 技 术 大 学 学 报 (自然 科 学 版 )，35(12)： I J j．Journai of Earth Sciences and Environment(in Chinese)，33 1527．1532．doi：10．11956／j．issn．1008-0562．2016．12．027．