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Sage 教程 Release 4.3 Sage 开发组 January 08, 2010

CONTENTS 1 简介 1.1 安装 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 使用 Sage 的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sage 的长期目标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 导览 2.1 赋值，等式和算术运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 获取帮助 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 函数，缩进和计数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 基本的代数和微积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 绘图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 函数的一些常见问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 基本的环 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 线性代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 有限群，阿贝尔群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 数论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Some more advanced mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 交互命令行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 你的 Sage 会话 (session) 3.2 记录输入和输出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 粘贴忽略提示符 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 查看命令执行的时间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 错误和异常 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 反向查找和 Tab 补全 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 集成帮助系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 保存和读取个人的对象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 保存和读取完整的会话 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Notebook 界面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 5 7 7 9 11 15 22 25 29 31 35 40 42 45 55 55 57 58 59 61 62 63 65 67 68 i

71 71 73 73 74 77 77 78 79 80 81 84 85 85 86 88 91 91 91 93 95 95 97 97 99 99 101 103 105 4 接口 4.1 GP/PARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 GAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 编程 5.1 读取和附加 Sage 文件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 创建编译代码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 独立的 Python/Sage 脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 数据类型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 列表，元素和序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 字典 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 迭代器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 循环，函数，控制语句和比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 性能分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 分布式计算 6.1 概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 快速入门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 文件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 后记 7.1 为什么选择 Python? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 我想做点贡献。怎么做？. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 如何引用 Sage？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 附录 8.1 二元数学运算符优先级 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 参考文献 10 Indices and tables Bibliography ii

Sage 教程, Release 4.3 Sage 是免费、开源的数学软件，可用于代数、几何、数论、密码学、数值计算以及其他相关领域的教学和科研。Sage 的开发模型和所用到的技术强调开放、社区、合作以及协同工作：我们是造汽车，而不是重新发明轮子。Sage 的总体目标是成为一个实用的、免费的、开源的数学软件以代替 Maple，Mathematica， Magma 和 MATLAB。本教程是在几个小时内熟悉 Sage 最好的办法。你可以阅读 HTML 或者 PDF 版本，或者在 Sage notebook 中（点击 Help ，再点击 Tutorial ）边阅读边使用。本文档基于 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 License 协议发布。 CONTENTS 1

Sage 教程, Release 4.3 2 CONTENTS

CHAPTER ONE 简介阅读本教程的全部内容最多只需要 3、4 个小时。你可以阅读 HTML 或 PDF 版本，或者在 Sage notebook 中点击 Help ，再点击 Tutorial ，边阅读边使用 Sage。虽然 Sage 主要是用 Python 实现的，但是不懂 Python 也可以阅读本教程。如果你想要学习一下 Python （一种非常有趣的语言），网上有很多关于 Python 的优秀资源，比如 [PyT] 和 [Dive] 。如果你只是想快速的尝试一下 Sage，阅读本教程就对了。比如： sage: 2 + 2 4 sage: factor(-2007) -1 * 3ˆ2 * 223 sage: A = matrix(4,4, range(16)); A 2 3] 1 [ 0 5 6 7] [ 4 9 10 11] [ 8 [12 13 14 15] sage: factor(A.charpoly()) xˆ2 * (xˆ2 - 30*x - 80) sage: m = matrix(ZZ,2, range(4)) sage: m[0,0] = m[0,0] - 3 sage: m 1] [-3 [ 2 3] sage: E = EllipticCurve([1,2,3,4,5]); sage: E Elliptic Curve defined by yˆ2 + x*y + 3*y = xˆ3 + 2*xˆ2 + 4*x + 5 over Rational Field sage: E.anlist(10) 3

Sage 教程, Release 4.3 [0, 1, 1, 0, -1, -3, 0, -1, -3, -3, -3] sage: E.rank() 1 sage: k = 1/(sqrt(3)*I + 3/4 + sqrt(73)*5/9); k 1/(I*sqrt(3) + 5/9*sqrt(73) + 3/4) sage: N(k) 0.165495678130644 - 0.0521492082074256*I sage: N(k,30) 0.16549568 - 0.052149208*I sage: latex(k) \frac{1}{I \, \sqrt{3} + \frac{5}{9} \, \sqrt{73} + \frac{3}{4}} # 30 "bits" 1.1 安装如果你没有安装 Sage，只是想试几个命令，可以使用在线的 Sage notebook：http://www.sagenb.org 。要在自己的电脑上安装 Sage，请参考 Sage 主页 [Sage] 上的 Sage 安装指南。这里我们只强调两点： 1. Sage 的安装包是“内置电池”的。也就是说，虽然 Sage 用到了 Python，IPython，PARI，GAP， Singular，Maxima，NTL，GMP 等等一些软件，但是你不需要单独安装这些软件，因为它们已经包含在 Sage 的发行版里了。然而，要使用 Sage 的一些特定的功能，比如 Macaulay 或者 KASH，你必须安装相关的 Sage 可选包或者已经单独安装了这些软件。Macaulay 和 KASH 都是 Sage 的扩展包（输入 sage -optional 可以得到可选扩展包列表，或者在 Sage 网站上浏览“下载”页）。 2. 安装编译好的二进制版本（可在 Sage 网站找到）可能比安装源码版更容易、更快。只需要解压缩之后运行 sage 即可。 1.2 使用 Sage 的方法使用 Sage 的方法有好几种。 • Notebook 图形界面：参见参考手册中关于 Notebook 的章节，以及下面的 Notebook 界面； • 交互命令行：参见交互命令行； • 程序：在 Sage 中编写解释型或者编译型的程序（参见读取和附加 Sage 文件和创建编译代码）； • 脚本：在独立的 Python 脚本中调用 Sage 库文件（参见独立的 Python/Sage 脚本）。 4 Chapter 1. 简介

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