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二维抛物线方程数值解法(ADI隐式交替法)MATLAB程序.doc
ADI隐式交替法三种解法及误差分析（一般的教材上只说第一种）
理论部分参看孙志忠：偏微分方程数值解法
注意：
1.最好不要直接看程序，中间很多公式很烦人的（一定要小心），我写了两天，终于写对了。
2.中 间 ： 例 如 r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k)) 形 式 写 成 分 形 式 ：
r*u(i-1,m1,k)+r*u(i+1,m1,k)后面会出错，我也不是很清楚为什么，可能由于舍入
误差，或者大数吃掉小数的影响。
3.下面有三个程序
4.具体理论看书，先仔细看书（孙志忠：偏微分方程数值解法）或者网上搜一些理论。
Matlab程序：
1.function [u u0 p e x y t]=ADI1(h1,h2,m1,m2,n)
%ADI解二维抛物线型偏微分方程(P-R交替隐式，截断)
%此程序用的是追赶法解线性方程组
%h1为空间步长，h2为时间步长
%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数
%p为精确解，u为数值解,e为误差
%定义u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数
x=(0:m1)*h1+0;%定义x0,y0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%
y=(0:m2)*h1+0;
t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;
for k=1:n+1
f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));
for j=1:m1+1
u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));
end
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
end
end
end
for i=1:m2+1
end
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
end
end
for k=1:n+1
for j=1:m1+1
u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))];
u0(i,[1
m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t0(k))
exp(0.5*(1+y(i))-t0(k))] ;
u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))];
m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t0(k))
u0([1
exp(0.5*(1+x(j))-t0(k))];
end
end
r=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=2*(1+r);
for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%
for i=2:m2
a=-r*ones(1,m1-1);
c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;
b=r2*ones(1,m1-1);
d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k))+r1*u(i,2,k)+...
h2*f(i,2,k);
for l=2:m1-2
d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k))+r1*u(i,l+1,k)+...
h2*f(i,l+1,k);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))...
+r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,m1,k);
for l=1:m1-2 %开始解线性方程组 消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1);
for l=m1-2:-1:1
%回代过程%
u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);
end
end
for j=2:m1
a=-r*ones(1,m2-1);
c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;
b=r2*ones(1,m2-1);
h2*f(2,j,k);
for l=2:m2-2
h2*f(l+1,j,k);
d(1)=r*u(1,j,k+1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k))+r1*u0(2,j,k)+...
d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k))+r1*u0(l+1,j,k)+...
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k))...
+r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k);
for l=1:m2-2 %开始解线性方程组 消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
u(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1);
for l=m2-2:-1:1
%回代过程%
u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);
end
end
end
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
end
end
end
p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k));
e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k));
%p为精确解
%e为误差
2.function [u p e x y t]=ADI2(h1,h2,m1,m2,n)
%ADI解二维抛物线型偏微分方程(D'Yakonov交替方向隐格式)
%此程序用的是追赶法解线性方程组
%h1为空间步长，h2为时间步长
%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数
%p为精确解，u为数值解,e为误差
%定义u0(i,j,k)=u'(i,j,k)(引入的过渡层),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数
x=(0:m1)*h1+0;
y=(0:m2)*h1+0;
t=(0:n)*h2+0;t0=(0:n)*h2+1/2*h2;%定义t0是为了f(x,y,t)~=0的情况%
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));
%编程时-t0(k)写成了+t0(k),导致错误;
end
end
end
%初始条件
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));
end
end
%边界条件
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
end
end
r=h2/(h1*h1);r4=1+r;r5=r/2;
for k=1:n
for i=2:m2
u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))];
u0(i,[1 m1+1],k)=r4*u(i,[1 m1+1],k+1)-r5*(u(i-1,[1 m1+1],...
k+1)+u(i+1,[1 m1+1],k+1));
end
end
for k=1:n+1
for j=1:m1+1
end
u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))];
end
r1=r-r*r;r2=2*(r-1)*(r-1);r3=r*r/2;
for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%
for i=2:m2
a=-r*ones(1,m1-1);
c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;
b=2*r4*ones(1,m1-1);
d(1)=r*u0(i,1,k)+r1*(u(i-1,2,k)+u(i,1,k)+u(i+1,2,k)+...
u(i,3,k))+r2*u(i,2,k)+r3*(u(i-1,1,k)+...
u(i+1,1,k)+u(i-1,3,k)+u(i+1,3,k))+2*h2*f(i,2,k);
for l=2:m1-2
d(l)=r1*(u(i-1,l+1,k)+u(i,l,k)+u(i+1,l+1,k)+...
u(i,l+2,k))+r2*u(i,l+1,k)+r3*(u(i-1,l,k)+...
u(i+1,l,k)+u(i-1,l+2,k)+u(i+1,l+2,k))+2*h2*f(i,l+1,k);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r1*(u(i-1,m1,k)+u(i,m1-1,k)+...
u(i+1,m1,k)+u(i,m1+1,k))+r2*u(i,m1,k)+...
r3*(u(i-1,m1-1,k)+...
u(i+1,m1-1,k)+u(i-1,m1+1,k)+u(i+1,m1+1,k))+2*h2*f(i,m1,k);
for l=1:m1-2 %开始解线性方程组 消元过程
u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
%回代过程%
u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1);
for l=m1-2:-1:1
end
end
for j=2:m1
a=-r*ones(1,m2-1);
c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;
b=2*r4*ones(1,m2-1);
d(1)=r*u(1,j,k+1)+2*u0(2,j,k);
for l=2:m2-2
d(l)=2*u0(l+1,j,k);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m2-1)=2*u0(m2,j,k)+r*u(m2+1,j,k+1);
for l=1:m2-2 %开始解线性方程组 消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
u(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1);
for l=m2-2:-1:1
%回代过程%
u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);
end
end
end
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
end
end
end
p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k));
e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k));
%p为精确解
%e为误差
3.function [u u0 p e x y t]=ADI5(h1,h2,m1,m2,n)
%ADI解二维抛物线型偏微分方程(P-R交替隐式，未截断)
%此程序用的是追赶法解线性方程组
%h1为空间步长，h2为时间步长
%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数
%p为精确解，u为数值解,e为误差
%定义u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数
x=(0:m1)*h1+0;%定义x0,y0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%
y=(0:m2)*h1+0;
t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;
for k=1:n+1
f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
end
end
end
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));
end
end
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))];
u1(i,[1
m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t0(k))
exp(0.5*(1+y(i))-t0(k))] ;
end
end
r=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=r/4;r3=2*(1+r);
for k=1:n
m1+1],k)=u1(i,[1
m1+1],k)-r2*(u(i-1,[1
m1+1],k+1)+u(i+1,[1
m1+1],k+1)-u(i-1,[1
2*u(i,[1 m1+1],k)-u(i+1,[1 m1+1],k));
for i=2:m2
u0(i,[1
m1+1],k+1)-...
2*u(i,[1
m1+1],k)+...
end
end
for k=1:n+1
for j=1:m1+1
end
u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))];
end
for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%
for i=2:m2
a=-r*ones(1,m1-1);
c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;
b=r3*ones(1,m1-1);
d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k))+r1*u(i,2,k)+...
h2*f(i,2,k);
for l=2:m1-2
d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k))+r1*u(i,l+1,k)+...
h2*f(i,l+1,k);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))...
+r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,m1,k);
for l=1:m1-2 %开始解线性方程组 消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1);
for l=m1-2:-1:1
%回代过程%
u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);
end
end
for j=2:m1
a=-r*ones(1,m2-1);
c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;
b=r3*ones(1,m2-1);
h2*f(2,j,k);
for l=2:m2-2
h2*f(l+1,j,k);
d(1)=r*u(1,j,k+1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k))+r1*u0(2,j,k)+...
d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k))+r1*u0(l+1,j,k)+...
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k))...
+r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k);
for l=1:m2-2 %开始解线性方程组 消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
u(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1);
for l=m2-2:-1:1
%回代过程%
u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);
end
end
end
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
end
end
p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k));
e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k));
end
[up e x y t]=ADI2(0.01,0.001,100,100,1000);surf(x,y,e(:,:,1001))
%p为精确解
%e为误差
t=1的误差曲面
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