2010年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2010 年北京高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页、第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。第Ⅰ卷（选择题共 140 分）一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）集合 P   x Z { 0   x 3}, M x Z x   { 2  ，则 P MI 9} = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3} （2）在等比数列 na 中， 1 1 a  ，公比 q  .若 1 ma  a a a a a 1 2 3 4 5 ，则 m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8 名学生和 2 位第师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为 2 （A） 8 9A A 8 2 （B） 8 9A C 8 2 （C） 8 7A A 8 2 （D） 8 7A C 8 （5）极坐标方程（p-1）（  ）=（p  0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线（6）a、b 为非零向量。“ a b ”是“函数 ( ) f x  ( xa b  ) (  xb a  ) 为一次函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（7）设不等式组 x   3   5  11 0 y    3 0 x y    3 y 9 x    0 区域 D 上的点，则 a 的取值范围是表示的平面区域为 D，若指数函数 y= xa 的图像上存在（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3,  ] (8)如图，正方体 ABCD- 1 1 A B C D 的棱长为 2，动点 E、F 在棱 1 1A B 上，动点 P， 1 1 Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1， 1A E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体 PEＦＱ的体积（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。www.@ks@5u.com 第 II 卷（共 110 分）（9）在复平面内，复数 2 i 1 i （10）在△ABC 中，若 b = 1，c = 3 ，对应的点的坐标为。   ，则 a = C 2  3 。（11）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知 a＝。若要从身高在[ 120 , 130）， [130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在[140 ， 150]内的学生中选取的人数应为。（12）如图， O 的弦 ED，CB 的延长线交于点 A。若 BD  AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则 DE＝；CE＝。

（13）已知双曲线 2 2 x a  2 2 y b  的离心率为 2，焦点与椭圆 1 2 2   25 9   的焦点相同，那么双 1 曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。（14）（14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的轨迹方程是 y  ( ) f x ，则 ( ) f x 的最小正周期为； y  ( ) f x 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为。说明：“正方形 PABC沿轴滚动”包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点 A为中心顺时针旋转，当顶点 B落在 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形 PABC可以沿 轴负方向滚动。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 www.@ks@5u.com （15）（本小题共 13 分）www.@ks@5u.com 已知函数 (x)  2cos 2 x  sin 2 x  4cos x 。 f  ( ) 3 （Ⅰ）求 f  的值；（Ⅱ）求 (x) f 的最大值和最小值。（16）（本小题共 14 分）如图，正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ， CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面 BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面 BDE；（Ⅲ）求二面角 A-BE-D的大小。

(17)(本小题共 13 分) www.@ks@5u.com 某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 4 5 ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p ， q ( p ＞ q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ p 0 6 125 1 a 2 d 3 24 125 (Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求 p ， q 的值； (Ⅲ)求数学期望 E ξ。 (18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x + 2 x x ( k ≥0)。 2 (Ⅰ)当 k =2 时，求曲线 y = f ( x )在点(1， f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。（19）（本小题共 14 分）www.@ks@5u.com 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1  . 3 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程； (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。（20）（本小题共 13 分）已知集合 S n  { X X |  ( , x x 1 2 , x …， n ), x 1  {0,1}, i  1,2, … , }( n n  2) 对于 A  ( , a a 1 2 , … ， a ,)n B  ( , b b 1 2 , … ,)n b S n ，定义 A 与 B 的差为 A B   (| a 1  b 1 |,| a 2  b 2 |, … n b | |); a n  a 1 | b 1 | A 与 B 之间的距离为 ( d A B , )  i 1 

（Ⅰ）证明： , A B C S   , ,n 有 A B S   n ，且 ( d A C B C   , )  ( d A B , ) ; （Ⅱ）证明： , A B C S d A B d A C d B C   ), ), ( ( ( , , , , , n ) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P nS ，P 中有 m(m≥2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 (P). d 证明： d （P）≤ mn m  1) 2( . （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）www.@ks@5u.com （1）B （5）C （2）C （6）B （3）C （7）A （4）A （8）D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）www.@ks@5u.com （9）（-1,1）（11）0.030 3 （10）1 （12）5 2 7 （13）（ 4 ，0） 3 x y  0 （14）4 1 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）www.@ks@5u.com 解：（I）（15）www.@ks@5u.com（共 13 分）  3 (1 cos 2  3 2(2cos  ( ) 3 ( ) f x 1)    2cos （II） sin 4cos     x f 2 2 2      1 3  3 4 ) 4cos x x  9 4 = 3cos 2 x  = 3(cos x   1  , x R 4cos 22 ) 3 x 7 3 因为 cos x  [ 1,1] ，所以，当 cos x   时， ( ) f x 取最大值 6 ；当 1 cos x  时， ( ) f x 取最小值 2 3  7 3 （16）（共 14 分）www.@ks@5u.com 证明：（I）设 AC 与 BD 交与点 G。因为 EF//AG，且 EF=1，AG= 1 2 AC=1. 所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF//平面 EG，因为 EG  平面 BDE，AF  平面 BDE，

所以 AF//平面 BDE. （II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直，且 CE  AC，所以 CE  平面 ABCD. 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C- xyz . 则 C（0，0，0），A（ 2 ， 2 ，0），B（0， 2 ，0）.  CF  ( 所以 2 2 , 2 2  BE  ,1) ， (0,  2,1) ，  ( DE   2,0,1) .   CF BE     ,CF DE 0 1 1 0 所以  所以CF BE 所以CF  BDE. .   CF DE      1 0 1 0  , (III) 由（II）知，  CF  ( 2 2 , 2 2 ,1) 是平面 BDE 的一个法向量. 设平面 ABE 的法向量 ( , , ) x y z  n  n BA    n BE   0 . 0 ， ,则即 ( , x y z ( , x y z , ) ( 2,0,0) 0  , ) (0, 2,1) 0        所以 0, x  且 z  2 , y 令 1, y  则 z  2 . 所以 (0,1, 2) n  .    从而 cos  , n CF  3 n CF   2 || n CF 因为二面角 A BE D  为锐角，所以二面角 A BE D  的大小为    | | 。  6 . （17）（共 13 分）www.@ks@5u.com 解：事件 iA 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i =1,2,3，由题意知 ( P A  ， ) 1 4 5 2( P A ) p ， 3( P A ) q （I）由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ 0 ”是对立的，所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 1 P  (  0) 1   6 125  119 125 ，

P (  0)  P (  3)  ( P A A A 3 1 2 )  ( P A A A 3 1 2 )  q )  6 125 1 5 4 5 (1  p pq   )(1 24 125 （II）由题意知整理得 pq  由 p q ，可得（III）由题意知 a P  ( )  ( P A A A 3 2 )  ( P A A A 3 1 2 )  p )(1  q )  p (1  q )  (1  ) p q 1 1 5 1 1 5 ， 6 125 p  ， 1 p q  2 5 ( P A A A 3 q  .  2 1) 3 5  = 4 5  (1 37 125 (  b P   2) 1   P (   0)  P (    1) P (   3) = 58 125 0   E  P (   0) 1   P (    1) 2 ( P   2) 3 ( P    3) = 9 5 （18）（共 13 分）www.@ks@5u.com 解：（I）当 2 k  时， ( ) f x  ln(1  由于 (1) f  ln 2 ， f '(1)  ，所以曲线 y  ( ) f x 在点 (1, y  ln 2  即 3 x 2 y  ( x  1) 3 2 2ln 2 3 0   1  1 x 1 2   x 2 f ) x x  '( ) x   ， x 3 2 (1)) f 处的切线方程为（II） 1) f  '( ) x    k x k  时， '( ) x ( x kx 1 f 当 0 ， ( 1, ) x    . x  .   1 x f 所以，在区间 ( 1,0)  上， '( ) 0 x  ；在区间 (0, ) 上， '( ) 0 x  . f 故 ( ) f x 得单调递增区间是 ( 1,0)  ，单调递减区间是 (0, ) . 当 0 1k  时，由 f '( ) x  1) ( x kx 1    k x  0 ，得 1 x  ， 2 x 0  k 1  k  0

所以，在区间 ( 1,0)  和 k , 1(  k f '( ) 0 x   上， '( ) 0 x  ；在区间 ) f 1(0, )k  k 上，故 ( ) f x 得单调递增区间是 ( 1,0)  和 k 1(  k ,  ，单调递减区间是 ) 1(0,  k )k . 当 1k  时， f '( ) x  2 x  x 1 故 ( ) f x 得单调递增区间是 ( 1, )   .    ( k x kx 1 x 和 (0, )k  '( ) x 1 ( 1,   k 当 1k  时， f 所以没在区间 f '( ) 0 x  1)  0 x ，得 1  k 1  k ) 上， '( ) 0 x  ；在区间 f ,0) 上， 0 x  .   ( 1,0) 1( ， 2 k  k 故 ( ) f x 得单调递增区间是  k （19）（共 14 分）www.@ks@5u.com ( 1,  1 )k 和 (0, ) ，单调递减区间是 k 1(  k ,0) （I）解：因为点 B 与 A( 1,1) 关于原点O 对称，所以点 B 得坐标为 (1, 1) . 设点 P 的坐标为 ( , x y )  由题意得 y  x  化简得 2 x 1 y  1 x  23 y  1 1  1 3   . 1)   4( x 故动点 P 的轨迹方程为 2 x  23 y  4( x   1) （II）解法一：设点 P 的坐标为 0 ( x y ，点 M ，N 得坐标分别为 (3, ) , 0 )My ,(3, )Ny . 则直线 AP 的方程为 y 1   0 y x 0   1 1 ( x  1) ，直线 BP 的方程为 y 1   0 y x 0   1 1 ( x  1) 令 3 x  得 y M  4 y 3  0 x 0 x  0 1  ， y N  2 y  0 x 0 x  0 1  3 . 于是 PMN  得面积 S  PMN  1 | 2 y M  y N | (3  x ) 0  | x 0  | y 0 x 0 | (3  2 1|  2 x 0 ) 又直线 AB 的方程为 x y  ，| 0 AB  | 2 2 ，

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