中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn POD 在大跨度屋面结构风工程中的应用 甘望超，周素华，马魁 武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉（430070 ） E-mail：ganjf2002@sohu.com 摘 要：本征正交分解法（POD）是一种在频域内分析大跨度屋盖风压场的方法，结构表 面的风压场可以分解为依赖时间的主坐标和依赖空间的协方差矩阵本征模态的线性组合。 POD 的主要优点是仅用前几阶本征模态即可较好地重建和预测风压场，因为这些本征模态 包含了结构绝大部分的脉动能量。本征正交分解法在很多领域得到广泛的应用。本文着重讨 论 POD 在大跨度屋盖结构风工程领域中的应用。 关键词：本征正交分解法；大跨度屋盖；风洞试验；风压场重建 ；风压场预测 中图分类号：TU312 文献标识码：A 1 引言 随着经济的发展和科学技术的进步，国内外建造了大量的重大工程建筑结构。强风作用 下结构的风荷载和响应是结构安全性和适用性的控制荷载之一。由于大跨度空间结构形状复 杂，往往横向结构柔度大且重量轻，其风荷载的时空分布比大跨桥梁、高层等结构复杂很多， 模态密集，必须考虑高阶模态响应及模态间的耦合效应，因而风振响应中背景分量较大，有 时甚至超过共振分量。因此这些建筑上的风荷载及其风振响应研究也成为结构风工程中的重 要课题，受到国内外学者的高度重视。 本文提出一种空间—时间分离的分析方法—本征正交分解法。Bienkiewicz 等人[1]，根据 POD 方法分析了平顶低矮房屋的屋面及墙面的脉动风压，并利用本征向量重组屋面的风荷 载，探究了前几阶本征向量的物理意义。Kikuchi 等人[2]将 POD 技术用于高层建筑的脉动风 压分析，说明顺风向和横风向风力仅需用几个土要的本征向量即可得到很好的近似，而扭矩 则需要大约十个本征向量。国内也有一些学者对 POD 方法进行了研究，文献[3] [4]推导了结 构风致振动分析的双模态变换方法，分别对简单体型高层建筑和大跨岸盖做了风洞试验应用 POD 方法进行了脉动风荷载及风振响应分析。本文从瑞利商角度推导 POD 方法，明确了一 些相关变量的物理意义。并且以大跨度屋盖结构为例，利用风洞试验同步测量数据进行重建、 预测分析，介绍了 POD 方法在大跨度屋面结构风压场重建与预测分析的有效性。 2 POD 的基本原理  设    p t 是由风洞试验模型表面全部（N 个）测压孔测得的风压向量 ( ),  , p t N  ( ), T   p t    (1) p t p x y t x y 是第 i 测压孔的脉动风压。现寻找一正交坐标系使脉 ( 其中 ( ) , ) , i i p t 在其各坐标轴上有最大投影。设 n 是正交坐标系第 n 轴上的基向量，  是位于( p t p t ( ), 1   ,  动风压向量   则风压向量在轴上的投影为   i i 2 ) i   na t =  na t ； T   p t  n = T n （n=1，2，3，…，N） (2)     p t -1- 

http://www.paper.edu.cn 中国科技论文在线 将   na t 正则化，有   a t n        p t      1/2 ( )   T n T n (3)   na t 称为主坐标。由于风压可能取正值或负值（即有压力和吸力之分），通常按均方 方法使投影最大化： n    T n a 2 n   t         p t p t     ( )   T n n 1/ 2 T     n  [   R ]      (   T n T n    ) n n 1/ 2   n (4)  ]R =    p t 其中[  T   p t 为脉动风压的空间协方差矩阵，其中元素 R ij  p t p t ( ) i ( ) j 是不同 测压孔之间风压的协方差。上式意义是求解 n 使商式有最大值 n 。这归结为众所周知的 瑞利商（Rayleigh Quotient）问题。根据瑞利商的性质知：式（2-4）的瑞利商在协方差矩阵 [R]的本征向量上取驻值[7]。因此当且仅当 n 满足下列本征值问题时主坐标的均方值 a t 取得驻值，并且各驻值即本征值： 2 n   假设本征向量已正则化，定义下列本征矩阵和主坐标向量： n n n [   R      ] （n=1，2，3，…，N） （5） ,      [ ] [    式（2-3）可写为： 1 2 ,  ,    ]N     a t     a t 1 ，   a t 2  ， ，   a t N T  （6） 由于本征矩阵[  对第 i 测压孔则有： ]R 是正交阵，因而由上式有        a t { ( )} p t ( ) a t { ( )} T      p t ( ) （7） a t ( ) n    n （8） p x y t ( , ) , i i  p t ( ) i N   n 1    a t n x y , n i ( i ) （9） x y , 其中 ( n i i ) 是本征模态 n 在测压孔( x y 处的值。式（2-8）及（2-9）即脉动风压向 i ) , i 量及脉动风压的本征正交分解（POD），其意义是结构表面随时间和空间变化的风压场可以 分解为主坐标   的主坐标   na t 和本征模态（或协方差模态） ( , n x y na t 与空间位置无关，而本征模态 ( , n x y 的组合，其中作为时间随机函数 仅取决于空间位置。 ) ) -2- 

中国科技论文在线 3 风洞试验 http://www.paper.edu.cn 本实验是在汕头大学风洞实验室内进行。所利用的工业风洞 STDX 一 1 是一座具有串置 双试验段的全钢结构的闭口回流低速风洞，主试验段宽 3 米、高 2 米、长 20 米，风速在 3~45 米/秒内连续可调。测压系统采用美国 Scanivalve 公司的 Hyscan-1000 电子扫描阀测压系统。 试验前按国家《建筑结构荷载规范》[8]中的规定在试验段内以二元尖塔、挡板及粗糙元 模拟出所需的地貌类型。试验模型几何外形与建筑原型相似。数据采用频率：312.5，样本 长度 20480。试验模拟 C 类地貌，粗糙度系数为 0.22，模型高度基本风速为 7.5m/s。 4 风压场的重建和预测 4.1 风压场的重建 根据 POD 分解风压时程协方差矩阵所得到本征模态含脉动风压能量的大小，利用前几 阶本征模态（包含大部分脉动风压能量）重建风压场。将本征值按降序排列，一般提取前几 阶本征模态。根据所截取的模态计算模态能量比以及累计能量比，下面定义第 m 阶模态能 量比和前 M 阶模态累积能量比（所含能量累积贡献的度量）。 m  e  m   n N E m  M  n 1  e m  M   n 1  N  m  n n 1  （13） me ：第 m 阶模态能量比 ； mE ：前 M 阶模态累积能量比（所含能量累积贡献的度量） 如果 mE 满足要求即可按照式（9）用前 M 阶本征模态重建风压场 ； 1  n C x y t , ) ( , p M   n 1    a t n x y ( , ) n 式中 M 为截断的本征模态数，N 为本征模态总数，   征模态的值，仅与空间位置相关。 （M

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 本文根据风洞试验同步测量数据得到风压系数协方差相关矩阵作 POD 分析，各阶本征 模态的能量比如表 1 所示。由相关矩阵得到的第一阶本征模态的能量比为 88.99%，前 10 阶 本征模态所占的总能量比为 94.95%。由此可见，POD 进行协方差矩阵分解得到的前几阶本 征模态包含着大部分脉动风压能量。 me mE 5 结论 m 1 2 4 5 6 7 8 9 10 表 1 前 10 阶本征模态能量比分析 3 1.02 88.99 1.97 （%） （%） 88.99 90.96 91.98 0.74 0.52 0.45 0.40 0.31 0.30 0.27 92.72 93.24 93.67 94.07 94.38 94.68 94.95 本文通过结构动力学里面的瑞利商概念推导了 POD 原理，通过风洞试验同步测量的风 压数据，研究了风压场重建、风压场预测的基本方法和应用过程，得到以下结论： (1) 利用风洞试验中得到的测压点处脉动风压系数可以求出已知测压点的空间协方差矩阵， 求解本征值问题得到相应的本征值和本征模态。 (2) 采用少量前若干阶本征模态能重构结构脉动风压场。对于本文的大跨度屋盖，采用前 10 阶本征模态即可较近似地重构屋盖脉动风力场； (3) POD 缩阶技术在重构脉动风力场的应用效果取决于所采用的前若干阶本征模态的累积 能量比，本文大跨度屋盖的前 10 阶本征模态的累积能量比达到 94.95%，因而缩阶技术效果 比较明显。 参考文献 [1] Bienkiewicz B., Tamura Y, Ham H.J., Ueda H，Hibi K. Proper orthogonal decomposition and reconstruction of mufti-channel roof pressure, J. Wind Eng. Ind. Aerodyn. 54/55 (1995) 369-381 [2] Kikuchi H 二 Tamura Y., Ueda H., Hibi K. Dynamic wind pressures acting on a tall building model-proper orthogonal decomposition, J. Wind Eng. Ind. Aerodyn. 69-71 (1997) 631-646 [3] 肖智勇.本征正交分解((POD)方法在高层建筑风荷载及其动态相应中的应用研究. 汕头大学硕士学位论 文.2001.5.20 文.2002.5.28 [4] 陶青秋.本征正交分解(POD)方法在建筑风荷载及其动态响应中的应用研究. 汕头大学硕士学位论 [5] Loeve M. Probability Theory[M].4 th ed. Chapter XI Second Order Properties, 37.5 Orthogonal decompositions, Springer-Verlag New York Inc. 1978. [6] Bienkiewicz B., Tamura Y., Ham H.J., Ueda H., Hibi K. Proper orthogonal decomposition and reconstruction of muti-channel roof pressure, J. Wind Eng. Ind. Aerodyn. 54/55 (1995) 369-381 [7] Meirovith L. Elements of vibration analysis, Chapter 4: Multi-Freedom Systems, McGraw-Hill, Inc. 1975. [8] 建筑结构荷载规范，GB50009-2001，中国建筑工业出版社，2002，北京 -4- 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn Application of Proper Orthogonal Decomposition in wind engineering for large span roof structures School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan Gan Wangchao, Zhou Suhua, Ma Kui (430070) Abstract The proper orthogonal decomposition (POD) is a kind of analysis of wind pressure field of large-span roof in the frequency domain, wind pressure filed of structural surface can be decomposed into a linear combination with principal coordinate depended time and intrinsic modes depended spatial covariance matrix. The main advantage of POD is that the original wind pressure filed can be accurately reconstructed and predicted with a limited number of modes, because these modes contains most of the pulse energy of the structure. The proper orthogonal decomposition method is applied widely in many fields. This paper focuses on applications of POD in wind engineering field for large-span roof structures. Keywords: proper orthogonal decomposition; large span roof; wind tunnel experiment; reconstruction of pressure field; prediction of Pressure Field 第一作者：甘望超，男，1984—，硕士，武汉理工大学土木工程与建筑学院 -5-