第 26 卷 第 5 期 2004 年 10 月 三峡大学学报（ 自然科学版） J of China Three Gorges Univ.（ Natural Sciences） Vol. 26 No. 5 Oct. 2004 多目标决策中的权重敏感性分析 蒋 艳 向学军 李 宁 （ 三峡大学 电气信息学院，湖北 宜昌 443002） 摘要：作为多目标决策中的一种后最优性分析，参数敏感性分析已经得到越来越多的重视而成为 决策中的一个重要步骤. 通过引入权重最小变化量和敏感性系数等概念，研究了多目标决策中权 重变化导致结果变化的临界条件，给出了方案排序对权重变化的敏感性分析方法，并通过一个实 例来进行说明. 关键词：多目标决策； 权重； 最小变化量； 敏感性系数 中图分类号：N945 文章编号：1672-948X（2004）05-0447-03 文献标识码：A Study on Weights Sensitivity of Multi-Objective Decision-Making （ College of Electrical Engineering & Information Science，China Three Gorges Univ. ，Yichang 443002，China） Jiang Yan Xiang Xuejun Li Ning Abstract As a post-optimization analysis in multi-objective decision-making，analysis of the parameters sensitivity has been paid more and more attention and become an important step of decision-making. In this paper，the critical condition that weights variation result in ranking results change in multi-objective decision-making were studied by in- troducing the concept of the least variance of weights，sensitivity coefficients，etc. . And a weights sensitivity analysis method is proposed. . A numeral example is used to illuminate the approach proposed by this paper. Keywords multi-objective decision-making； weights； least variance； sensitivity coefficients 多目标决策问题的一个重要的步骤是决定其目 标间的相对重要性. 通常是对各目标的属性加权来反 映目标的相对重要性，愈重要的目标加权愈大. 对于 实际的决策问题，决策者并不总是一开始就十分清楚 文献［1］给出了从权重变化而不改变排序结果 变化的角度保证结果稳定的权重变化条件，并给出了 权重稳定区间的概念和求解方法. 本文将以加权和 法［2］为基础，通过引入权重最小变化量、临界值和敏 地知道每个目标应加多大的权，权重的信息通常很难 感性系数等概念，从权重变化导致结果变化的角度讨 获得；而且，决策者常常不止一人，不同的决策者所考 虑的权重不一定相同，这就使得在决策的过程中各属 性的权重可能会不断地被改变. 权重在很大程度上影 响多目标决策问题的求解结果，各属性的权重发生轻 微的变化，其结果可能发生很大的变化. 因此，检验结 果对权重的依赖程度和敏感程度，了解权重变化导致 结果变化的条件是决策者十分关心的问题，也是多目 标决策研究的一个重要内容. 收稿日期：2004-06-21 基金项目：国家博士后基金资助项目（2003033467） 作者简介：蒋 艳（1962 - ），女，副教授，博士 . 论权重变化导致结果变化的条件，提供了一种排序结 果对属性权重的敏感性分析方法. 1 加权和法的偏好决构 对于具有 m 个方案 n 个属性的多属性决策 问 ，属 性 集 为 F = ， 规 范 化 的 属 性 值 矩 阵 为 B = 题，已 知 其 方 案 集 为 A = ｛ai ｛fj 1≤i≤m ｝ ｝ 1≤j≤n 

844 三 峡 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版） 2004 年 10 月 ｝ 1≤i≤m，1≤j≤n ，各属性对应的权重为 wj ，且满足 0 < ｛bi，j wj = 1. 不失一般性，假设所有 wj < 1，（1≤j≤n）和Σ 属性的属性值越大越优，则采用加权和法的评价函数 j = 1 n n ）= Vi = Σ 可表示为 V（ ai ，ak ∈A， 加权和法的偏好结构如式（1）所示. 其中，0表示“ 优 于”，～ 表示“ 无差异于”. wjbij. 对于所有的 ai j = 1 ai0ak 如果 Vi > Vk 如果 Vi = V ai ～ ak k （1） { 2 权重最小变化量的确定 属性权重上的变化可能会导致方案排序的变化， 也有可能不会影响方案现有的排序. 在这里将引入权 重最小变化量的概念来衡量权重的变化程度. 2. 1 定义 定义 1 对于 A 上的任意两个方案，如果属性当 前权重上的变化能够改变这两个方案现有的排序，则 该权重上的变化量是可行的，否则就是不可行的. 定义 2 对于 A 上的所有方案，如果某一属性上 的权重变化都是不可行的，则称该属性是鲁棒的. 即 该属性上权重的任何变化都不影响任何方案现有的 排序. 对于可能引起现有方案排序改变的权重 ，可以 从两种角度来定义最小的权重变化量：最小绝对变化 量和最小相对变化量. 定义 3 对于 ai 的变化量是可行的，则定义 δj，i，k 上当前 权 重 wj ，ak∈A，如果属性 fj 上当前权重 （1≤i < k≤m，1≤j 的 最 小 绝 对 变 化 量， （1≤i < k≤m，1≤j≤n）为属性 fj 增加 的最小相对变化量. 当权重 wj 和 ak 两方案的排序颠倒. wj ≤n）为属性 fj δ'j，i，k = δj，i，k × 100 / wj 上的当前权重 wj 或减少 δj，i，k 2. 2 修改权重的方法 假设改变属性 fh 值时，ai n）能够改变方案对（ ai 修改后的权重，当 fh fh 对（ ai ，ak （1≤h≤n）上的权重 wh ）的优先序. 设 w* 变到 w* ，ak 的权重从 wh h （1≤h≤ 为属性 时，方案 ）的排序刚好颠倒过来，则根据定义 3，有： h （2） 上的当 w* h = wh - δh，i，k 其中 δ（ h，i，k）（1≤i≤k≤m，1≤h≤n）为属性 fh 前权重 wh 变化量. 为了保证修改后的权重仍为正的实数，w* 须满足： 两方案排序颠倒的最小绝对 导致 ai 和 ak 必 h 0 < w* h = wh - δh，i，k < 1 为了保证修改后的权重归一化，即满足Σ n j = 1 （3） w'j = 1，所 有的权重需按下列方法进行规范化处理. 用 w'j 新的规范化权重，则有： 表示 w'j = wj h -1 n w* h + Σ j = 1 wj + Σ j = h +1 wj ，1 ≤ j ≤ n，j ≠ h（4） w'h = w* h h -1 n （5） w* h + Σ wj + Σ wj j = 1 j = h +1 2. 3 最小变化量的确定 对于任意方案对 ai ，则其评价函数的优先关系为 Vi > Vk . 设 V'i 分别表示权重修改后方案 ai ，ak∈A，假设目前的排序是 ai 和 和 ak 的排序颠倒时，V'i 新的评价值，显 和 V'k 应该满 0ak V'k 然，当方案 ai 足 V'i < V'k . 即： 和 ak n n Σ j = 1 w'jbi，j < Σ j = 1 w'jbk，j （6） 结合式（4）、式（5），代入式（2）并整理可得： n n - δh，i，k bi，h + Σ j = 1 wjbi，j < - δh，i，k bk，h + Σ j = 1 （7） wjbk，j 又因为 Vi = Σ n n wjbi，j ，Vk = Σ j = 1 j = 1 Vi - Vk < δh，i，k wjbk，j （ bi，h - bk，h ，则有： ） （8） 由此可得 当 bi，h > bk，h 时，δh，i，k > 时，δh，i，k < 当 bi，h < bk，h 对于权重 w* h = wh - δh，i，k 件满足，必须满足 wh > δh，i，k 还必须满足 wh > δh，i，k > wh - 1. Vi - Vk bi，h - bk，h Vi - Vk bi，h - bk，h （9） （10） h < 1 的条 ，要使得 0 < w* 和 wh < 1 + δh，i，k . 即 δh，i，k 推广到一般情况，对任意的方案对 ai ≤i≤m，1≤k≤m，i≠k），和任意权重 wj 得出在属性 fj 最小绝对变化量 δj，i，k 足： ，ak ∈A（1 （1≤j≤n），可 所需减少（ 或增加）的 （1≤i≤k≤m，1 ≤j≤n）必须满 上的当前权重 wj （11） （12） 当 bi，j > bk，j 时，δj，i，k > 时，δj，i，k < 当 bi，j < bk，j 而且，对于可行的 δj，i，k Vi - Vk bi，j - bk，j Vi - Vk bi，j - bk，j 值，还必须满足条件： wj > δj，i，k > wj - 1 同理可得出权重的最小相对变化量 δ'j，i，k m，1≤j≤n）所需满足的条件： （13） （1≤i≤k≤ 当 bi，j > bk，j 时，δ'j，i，k > 当 bi，j < bk，j 时，δ'j，i，k < Vi - Vk bi，j - bk，j Vi - Vk bi，j - bk，j × × 100 wj 100 wj （14） （15） 

第 26 卷 第 5 期 蒋 艳等 多目标决策中的权重敏感性分析 944 而且，对于可行的 δ'j，i，k 值，也必须满足条件： 感性系数越大的属性越敏感. wj - 1 wj × 100 < δ'j，i，k < 100 （16） 4 算 例 、f2 、f3 、a2 、a3 和 f4 和 a4 考虑一个具有 4 个方案（ a1 ）和 4 个 属性（ f1 ）的决策问题［3］，其规范化的的决 策矩阵和属性的初始权重见表 1 采用加权和法对方 案集进行排序，可以得到 4 个方案的评价函数值见表 1. 不失一般性，假设各属性的值越大越优，则根据加 权和法所得到的方案排序见表 1. 表 1 所给问题的决策矩阵以及方案的当前排序 f1 f2 f3 f4 （ Vi ） 排序 方案 权重 0. 327 7 0. 305 8 0. 287 6 0. 079 0 a1 a2 a3 a4 0. 308 8 0. 289 7 0. 386 7 0. 192 2 0. 316 2 0. 216 3 0. 345 8 0. 175 5 0. 628 8 0. 276 8 0. 450 9 0. 247 3 0. 119 4 0. 057 5 0. 262 1 0. 024 0 0. 117 2 0. 318 4 0. 121 5 0. 144 9 1 2 3 4 和 δ'j，i，k 根据表 1 可计算出 δj，i，k （1≤i < k≤m，i≤ j≤n）的值如表 2 所示. 表 2 中的符号“ - ”表示不可 行的 δj，i，k 值不满足 式（13）或式（16）. 负的 δj，i，k 加，而正的 δj，i，k 值，即相应的 δj，i，k 或 δ'j，i，k 或 δ'j，i，k 值表示权重的增 值表示权重的减少. 或 δ'j，i，k 或 δ'j，i，k 表 2 所以可能的最小绝对变化量 / 最小相对变化量（ δj，i，k / δ'j，i，k ） 方案对 f1 f2 f3 f4 3 方案排序对权重变化的敏感性 对于具有 m 个方案 n 个属性的决策问题，任意 个方案对 上的方案可构成 Σ 个方案对，这 Σ m - 1 m - 1 属性 fj i = 1 i = 1 m - 1 i = 1 个可行或不可行的权重变化量. 在这些 对应着的 Σ 权重变化量中，必定存在一个最小值，使得当属性 fj 上的权重变化达到该最小值时，至少有一个方案对的 排序发生变化. 设 Dj 为属性 fj 的临界值，该临界值对应着权重 1≤i≤k≤m ｛| δ'j，i，k | ｝；再设 Sj 所有可行的最小相对变化量中的最小值，即 Dj Dj = min 数，该敏感性系数对应着临界值 D'j 足 Sj = 1 / Dj 设置为 0. 为属性 fj 的倒数，即 Sj ，当临界值为不可行时，其敏感性系数被 的敏感性系 满足 满 由此可得：对于所有的 1≤j≤n，属性 fj 的临界值 越小，其敏感性系数越大，方案排序对属性权重变化 的敏感程度越高. 因此，方案排序对临界值越小或敏 ） ） ） ） - / - - / - - / - - / - - / - - 0. 062 7 / - 19. 133 4 - 0. 380 7 / - 116. 173 3 ，a2 ，a3 ，a4 ，a3 ，a4 ，a4 （ a1 （ a1 （ a1 （ a2 （ a2 （ a3 - / - 各属性对应 的 权 重 变 化 临 界 值 和 敏 感 性 系 数 见表 3 . 从表 3 中可得：最敏感的属性是 f3 ，相应的 最小临 界 值 为 D3 = 9 . 109 9 ；敏 感 性 系 数 s3 = 0 . 109 8 . 0. 274 5 / 83. 765 6 - / - - / - ） ） 表 3 各属性权重变化的临界值和敏感性系数 f1 f2 f3 f4 0. 149 2 / 48. 790 1 0. 186 6 / 64. 881 8 - 0. 090 2 / - 114. 177 2 0. 202 4 / 70. 375 5 - / - - / - - / - 0. 026 2 / 9. 109 9 0. 025 7 / 32. 531 7 - / - - 0. 589 0 / - 204. 8 - / - - / - 参考文献： ［1］ 蒋 艳，岳 超 源. PROMETHEE Ⅱ 法 的 权 重 稳 定 区 间 ［ J］. 系统工程理论与实践，2001，21（6）：79 ～ 82. ［2］ 岳超源. 决策理论与方法［ M］. 北京：科学出版社，2003. 204 ～ 206. ［3］ 蒋 艳. 多属性决策中参数敏感性研究及应用［ D］. 武 Dj Sj | - 19. 133 4 | 48. 790 1 9. 109 9 32. 531 7 汉：华中科技大学，2002. 0. 052 3 0. 020 5 0. 109 8 0. 030 7 ［ 责任编辑 张 莉］