http://www.paper.edu.cn 模糊积分定义的模糊集函数 fµ 的性质 张清芳，李慧敏 中国矿业大学理学院数学系，江苏徐州 (221008) E-mail：zqf0216@163.com ，主要讨论了 的性质及关于集函数µ的一些遗传性，推广了文章“由广义模糊积分定义的 摘 要：本文藉助于广义三角模定义的广义模糊积分定义了一种模糊集函数 fµ 模糊集函数 fµ 模糊测度”中的部分性质。 关键词：模糊测度；可测函数；广义三角模；广义模糊积分；模糊集函数 1．预备知识 定义 1.1[3]. 模糊测度：设 X 是非负集合，℘ 是 X 的子集构成的σ-代数，映射 0, ( ] ) 0 [ µφ = ； : µ ℘→ ∞ 称为模糊测度，若µ满足条件： ( )1FM )2FM 若 A B⊂ ，则 ( ( µ ( )3FM ⊂ ⊂ A n )4FM ( ⊃ ⊃ ； A 2 A 1 ⊂ ⊃ A 2 A n A 1 ) B ) ( A µ≤ ， nA ∈℘，则 ( ) ( A lim µ µ n n →∞ )0nAµ ， nA ∈℘，并且存在 0n ，使得 ( ( µ ( µ ∞ n 1 = ∞ n 1 = 。 A n A n A n ∪ ∩ = = ) ) ) lim n →∞ ； < ∞ ,则 µ称为下半或上半连续模糊测度，如果它分别满足上述条件 ( ) )4FM ， 若 µ是 可 测 空 间 ( )2FM 与 ,X ℘ 上 的 模 糊 测 度 ， 则 )2FM 与 ( )1FM ， ( )1FM ， ( )3FM 或 ( ,X µ℘ 称为模糊测度空间。 , ) ( ( 定义 1.2[4].模糊测度µ称为零可加的（分别地，零可减的），若对于任何 ,E F ∈℘， E F φ=∩ 别地， ( µ ， E F ∈℘∪ ( ∩ µ= E F ) c （分别地， ) ）。 E E F ∈℘ ∩ c ）， ( Fµ = 有 ( µ ) 0 E F ∪ ) ( µ= E ) （分 定义 1.3[4]. 非负单调集函数µ称为 F − 可加的，若 ,A B∀ } ) ∈℘， A B = ∅ { ( B µ µ 定义 1.4[4]. 非负单调集函数µ称为次可加的，若 ,A B∀ ) ∈℘，有 A B A B max ( µ ( µ ( µ ( µ ∩ ∪ ∪ A A B = ≤ + ) ) ) ( ) , ，有 定义 1.5[4]. 非负单调集函数µ称为上自连续的（分别地，下自连续的），若对一切满足 （分别地， nB ∩ A B = ∅ ) ( A B µ n n ( µ→∪ A ) 定义 1.6[3]广义三角模：记 n = ， ( A⊂ ）， 1,2, nBµ → 的 , ) ( ) A B A − → µ n { ] ) ( ( 2 / 0, , ∞ ∞ （分别地， ( µ [ 0, D = ∞ ) ） ，映射 } ) ,0 0 nA B ∈℘，有 S D → ∞ 称为广义 0, : [ ] - 1 - 

x∀ ∈ ∞ ，且存在 ( e∈ ∞ 使得 [ ], S x e 0, ] ) http://www.paper.edu.cn x= ， x∀ ∈ ∞ ，这里的 0, ( ] 2 ； ],0 [ S x = ， 三角模，若其满足条件： [ ( )1 0, 0 e 称为单位元； ] [ [ ] ( )2 S x y S y x , , = y≤ 时， [ ( )3 当 1 y x≤ ， 1 x S x y , 1 { ) ( )4 若 ( D⊂ ，( x y ,n ]2 [ D = ∞ ， S 满足( ) 2 则称为广义反三角模，记为T 。 注 ： [ ] S x y S x y , , [ ] ,T x y x = ∧ ， [ y = + 均为广义反三角模。 n 0, } ) 若 = x y ] 2 1 ] ≤ ,x y D∈ 且 nx kxy 2 2 [ ] S x y , x ， ny ],0 [ T x ； y ，则 [ x= ，且 [ n S x y , ] ] n → [ S x y , x∀ ∈ ∞ ， ] 。 [ 0, ] ,T x ∞ = ∞ ， ( ) 4− 且( )1 ( k > 均 为 广 义 三 角 模 ； )0 [ ,T x y ] = ∨ ， x y 定义 1.7【3】广义模糊积分：设 S 是广义三角模， f 是非负可测函数， ∈℘A ，则 f 在 A ( i ≠ 且 j ) iα > ， iA ∈℘且 0 iAχ 是 iA 的特征函数，而 。此处 ∨ 为取最大值，且规定 { i sup : i φ∈ = 。 0 } fd µ = sup s 0 < ≤ f ( ) Q s A 。 上的广义模糊积分 定义为 ∫ A α α≠ j i s A fdµ∫ = ∑ n αχ= i ( S , α µ ⎡ ⎣ 1 i i A ) ⎤ ⎦ ， ∩ n == ∨ i 1 A i A A i 此处 ( ) Q s 定理 1.1【3】对广义模糊积分有以下等价形式： ( αµ ⎡ ⎣ ( ⎡ αµ ⎣ µ = fd ∫ = S , , A ) − S ∩ A Fα sup 0 ≥ α sup 0 α ≥ sup ( ) f x 0 > { ) ( x X f x ≥ ，以下均同。 xy= ，广义模糊积分就相应的化为( ⎤ ⎦ ) ⎤ ⎦ inf ⎡ ⎣ } α ∩ A Fα S ( ) f x ,inf : x E ∈ ∈℘ x E ∈ , = A Eµ ) ⎦∩ ⎤ ( )S 模糊积分和 其中 { F = ∈ α 注：当 [ E } ( x X f x F : − = ∈ α > ， α = ∧ 和 [ ] S x y x y S x y , , )N 模糊积分。 ] ) ( 2．基本概念和性质 ) , 定义 2.1[5].设( ] 0, [ fµ ℘→ ∞ 定义为： : X µ℘ 为一模糊测度空间， f 是非负µ可测函数，集函数 , ( A ) = ∫ A fd µ ， A∈℘ µ f ) 在不引起歧异的情况下 ( 本文设 +M 表示非负几乎处处有限可测函数的全体， ( f Aµ 简记为 fµ 。 F X 表示( ) ,X ℘ 上模糊测度的 ) 全体。 定理 2.1 集函数 fµ 的基本性质： 1. ( Xχ µ= f µ f A ( ) ) . A - 2 - 

http://www.paper.edu.cn . ) . A ) 2 µ≤ f ( ( B ) = µ ∧ ( f α ) ( A ) ， ) 0 µ χ = ∩ A F α 0α> ，有 ( ( µ f ， A ) 2 2 α ) ( ( ) ] ≥ A A A A µ f µ α ,f ， 1 A ] . ) µ≤ f f M +∈ ，如果 1 f 2 f≤ ，则 ( 2. 设 ∈℘A A µ f 1 ) 3. 设 ,A B ∈℘， f M +∈ ，如果 A B⊆ ，则 ( A µ f ( ) 4. 设 ∈℘A S , αµ = ⎡ ⎤ ⎦ . ⎣ 0,α∈ ∞ ，则 ( ( ) A µ µ ∧ f α µ + ( f 0,α∈ ∞ ，则 ( αµ 5. 设 ∈℘A ) 6. 设 ∈℘A ， [ ， f M +∈ ， [ ) ( ) A + ， f M +∈ ，如果 ( f Aµ f M +∈ ，则 ( µ f 1 ( ) A µ f 1 8. 设 ,A B ∈℘， f M +∈ ，则 ( A B µ f ) ) ( ∩ B µ ≤ f f M +∈ ，如果 ( 9. 设 ∈℘A ,f 1f ， 1 2 ) ( ) ) A f A µ ≤ . f 1 7. 设 ∈℘A ,f ， 1 ) ) ( A ) 0 = ，则对于任意的 ) ( A . ( ) x 与 ( ) A B µ f 1 µ ( µ ( µ f µ f µ f µ f µ f µ f 2f ∪ A A A A A ∨ ∧ ∨ ∧ ≥ ≤ + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) f 1 ∧ f 2 ∨ f 2 ( ( ) f 1 + 2 2 2 2 ( B ) ， x 在 X 上有相同的单调性 3． fµ 关于µ的一些遗传性 对于给定的µ，我们定义 { FM ) µ ( 定理 3.1【2】设( + , : f = ) f M ∈ ( µ χ { } α β } ,X µ℘ 是一σ− 有限模糊测度空间，并满足条件： , ( )Aµ < ∞ 和 ( ( )1 )Bµ < ∞ ⇒ ( A Bµ < ∞ ∀ < α β , 0 < ∞ ∪ ≤ < ) < ) f 0α> ，均有 ( µ ∩ A Fα ) < ∞ ( < ∞ )0 ∩ A Fα ，A∈℘，则对任何 则下列命题是等价的: ) ( )1 f FM µ ∈ ; 0α > ，使 ( ( )2 如果存某个 0 µ 成立； [ ( )3 若 n ∞ = ，则由广义模糊积分定义的 fµ 是一个模糊测度； S lim 1 , ( )4 【4】当 [ ] S x y , 0 y ， f M +∈ ，如果 ( ( fd αµ ⎡ ⎣ ] x = ∧ 时，由模糊积分定义的 fµ 是一个模糊测度。 性质 3.1.设 ∈℘A 证明： ( = ∫ µ f Aµ = ，则 ( ) 0 f Aµ = . [ ] , ,0 sup = α 0 α ≥ 性质 3.2.如果µ是 F − 可加的，则 fµ 也是 F − 可加的。 证明：这里取 [ y S x y , ( ( ∫ ∪ µ ∪ ⎡ α µ ∨ ∧⎣ A B 0 α ≥ ( ( ) ∪ ∩ A F ⎡ α µ ∧⎣ ∨ α 0 α ≥ = ∧ ，对于任意的 ,A B ∈℘ ) B F α ) 0 ∩ A Fα A B ( ] fdµ = ∩ Fα ) = ( f A B sup 0 α ≥ µ ∪ ∩ A = S S ⎤ ⎦ ⎤ ⎦ ⎤ ⎦ ) x = ) ) ) ) A 0= 。 - 3 - 

= = = = ∨ 0 ≥ α ∨ 0 ≥ α ⎡ ⎣ ∧ ∧ { ( α µ { ( ⎡ α µ ⎣ ( ∨ α µ ⎡ ⎣ 0 α ≥ fd ∨ µ ∧ ∫ B { ∫ A A F α ∩ A F α ∩ A F α ∩ ) ) ) fd µ = µ f ∨ ( µ B F α ∩ ∨ ⎤ ⎦ ( ⎡ α µ ⎣ ∧ ) } ⎤ ⎦ ∩ B F α ∨ ∨ 0 α ≥ } ⎤ ⎦ ( A { ) µ∨ f ( α µ ⎡ ⎣ ∧ ( B ) ) } ⎤ ⎦ B F α ∩ http://www.paper.edu.cn } ⎤ ⎦ ) 性质 3.3[1].如果µ是零可加的（分别地，零可减的），则 fµ 也是零可加的（分别地，零 可减的）。 证明：设 ,A B ∈℘， ( f Aµ = ，则由性质 2.2 知，对任意的 ) 0 0α> ∩ ) 0 ( A µ χ = 0α> ， F α 因此，由µ的零可加性，对任何 ) A B ( µ ∪ ∩ F α ( ) ( χ µ = ( A ∩ χ F α ) ∪ ( B ∩ χ F α ) ) = )F ( µ χ ∩ B α 故 µ ∪ ( f A B ) = = ∫ ∪ A B sup 0 α ≥ fd , S = µ ( ( sup ⎡ αµ ⎣ 0 ≥ α ( = ∫ B Fα αµ ⎡ ⎣ ∩ ⎤ ⎦ ) , S B A B ∪ ) fdµ ∩ Fα ) ⎤ ⎦ ( f Bµ= ) 即证得µ是零可加的， fµ 也是零可加的。 推论 3.1.如果µ是零可减的，则 fµ 也是零可减的。 性质 3.4.如果µ是次可加的（分别地，次可减的），则 fµ 也是次可加的（分别地，次可 减的）。 证明：设 ,A B ∈℘，由µ的次可加性， fd = µ µ ∪ ( f A B = ) ) ⎤ ⎦ A B ∫ ∪ sup 0 α ≥ sup 0 α ≥ sup 0 α ≥ fd S S S , , ) S ∪ ∩ ∪ ∩ χ F α χ F α A B ( ⎡ αµ ⎣ ) + sup 0 ≥ α ( ( ⎡ A αµ ⎣ ( ⎡ A αµ χ µ χ ⎣ F α ( ⎡ αµ χ ⎣ F α fd ( ( B ( sup 0 α ≥ µ+ f µ = µ f ∩ ∩ ∩ B A + S F α ) ( ) , , ∩ Fα ) ) ⎤ ⎦ ) ⎤ ⎦ ( , = ≤ ≤ = ∫ A µ + ∫ B ) ) ⎤ ⎦ ( A ) ⎤ ⎦ B ∩ ⎡ αµ χ ⎣ F α B 即证得µ是次可加的， fµ 也是次可加的。次可减类似可证。 推论 3.2.设µ是σ− 有限的且( )1 成立， ) f FM µ ∈ ( ，则当µ是 F − 可加的模糊测度 （分别地，零可加的模糊测度，零可减的模糊测度，次可加的模糊测度，次可减的模糊测度） 时， fµ 也是 F − 可加的模糊测度（分别地，零可加的模糊测度，零可减的模糊测度，次可 - 4 - 

加的模糊测度，次可减的模糊测度）。 证明：由定理 3.1 及性质 3.2，3.3，3.4 直接得证。 性质 3.5.如果µ是上自连续的（分别地，下半连续的），则 fµ 也是上自连续的（分别地， 下半连续的）。 http://www.paper.edu.cn 推论 3.3. 如果µ是自连续的，则 fµ 也是自连续的。 证明：由性质 3.5 直接得证。 推论 3.4. .如果µ是σ− 有限的且当( )1 成立， ) f FM µ ∈ ( ，则当µ是上自连续的模 糊测度（分别地，下自连续的模糊测度，自连续的模糊测度），则 fµ 也是上自连续的模糊测 度（分别地，下自连续的模糊测度，自连续的模糊测度）。 证明：由定理 3.1 及性质 3.5 直接得证。 参考文献 [1] 王淑丽，张洪斌，张建明，模糊积分定义的模糊测度，山西矿业学院学报，1997，No.1 [2] 王文仙，由广义模糊积分定义的模糊测度，安庆师范学院学报(自然科学版)，2000, No.3 [3] 吴从炘，马明,模糊分析学基础,国防工业出版社，1991 年 7 月，第一版 [4] 张广全，模糊测度论,贵州科技出版社.1994 年 9 月，第一版 [5] 宋晓秋，模糊数学原理与方法，中国矿业大学出版社，2004 年 6 月，第二版 The property of the fuzzy set function fµ defined by fuzzy integral College of Science，China University of Mining and Technology，Jiangsu (221008) Zhang Qingfang，Li Huimin Abstract fµ and the hereditary property of the fuzzy set function In this paper, by using of the generalized fuzzy integral defined via the generalized triangle norm, a fµ is defined. Our purpose is concentrated on the property of the fuzzy set fuzzy set function fµ . And the partial properties of function “ON fuzzy measure defined by generalized fuzzy integrals” are extended. Keywords：Fuzzy Measures；Measurable Function；Generalized Triangle Norm；Generalized Fuzzy Integral；Fuzzy Set Function - 5 -