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Contents
Numbers
Types of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Numeric Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Digits in Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Exact and Approximate Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Numerical Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Arbitrary-Precision Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Arbitrary-Precision Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Machine-Precision Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Interval Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Indeterminate and Infinite Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Controlling Numerical Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Algebraic Calculations
Symbolic Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Values for Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Transforming Algebraic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Simplifying Algebraic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Putting Expressions into Different Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Simplifying with Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Picking Out Pieces of Algebraic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Controlling the Display of Large Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Using Symbols to Tag Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Algebraic Manipulation
Structural Operations on Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Finding the Structure of a Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Structural Operations on Rational Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Algebraic Operations on Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Polynomials Modulo Primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Symmetric Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Polynomials over Algebraic Number Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Trigonometric Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Expressions Involving Complex Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Logical and Piecewise Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Using Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Manipulating Equations and Inequalities
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Solving Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
The Representation of Equations and Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Equations in One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Counting and Isolating Polynomial Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Algebraic Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Simultaneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Generic and Non-Generic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Eliminating Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Relational and Logical Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Solving Logical Combinations of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Equations and Inequalities over Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
The Representation of Solution Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Quantifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Minimization and Maximization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Linear Algebra
Constructing Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Getting and Setting Pieces of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Scalars, Vectors and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Operations on Scalars, Vectors and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Multiplying Vectors and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Vector Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Matrix Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Basic Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Solving Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Advanced Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Sparse Arrays: Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Series, Limits and Residues
Sums and Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Making Power Series Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
The Representation of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Operations on Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Operations on Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Composition and Inversion of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Converting Power Series to Normal Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Solving Equations Involving Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Summation of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Solving Recurrence Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Finding Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Padé Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Calculus
Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Total Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Derivatives of Unknown Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
The Representation of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Defining Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Indefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Integrals That Can and Cannot Be Done . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Definite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Integrals over Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Manipulating Integrals in Symbolic Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Integral Transforms and Related Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Generalized Functions and Related Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Numerical Operations on Functions
Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Numerical Mathematics in Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
The Uncertainties of Numerical Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Introduction to Numerical Sums, Products, and Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Numerical Evaluation of Sums and Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Numerical Equation Solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Numerical Solution of Polynomial Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Numerical Root Finding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Introduction to Numerical Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Numerical Solution of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Numerical Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Controlling the Precision of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Monitoring and Selecting Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Functions with Sensitive Dependence on Their Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Numerical Operations on Data
Numerical Operations on Data
Basic Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Descriptive Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Discrete Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Continuous Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Partitioning Data into Clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Using Nearest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Manipulating Numerical Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Curve Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Statistical Model Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Approximate Functions and Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Discrete Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Convolutions and Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Cellular Automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
Mathematical Functions
Naming Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Generic and Nongeneric Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Numerical Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Piecewise Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Pseudorandom Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Integer and Number Theoretic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
Combinatorial Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Elementary Transcendental Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
Functions That Do Not Have Unique Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Mathematical Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Elliptic Integrals and Elliptic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Mathieu and Related Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Working with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
Numbers
Types of Numbers
Four underlying types of numbers are built into Mathematica.
Integer
Rational
Real
Complex
arbitrary-length exact integer
integer/integer in lowest terms
approximate real number, with any specified precision
complex number of the form number + number I
Intrinsic types of numbers in Mathematica.
In[1]:= 12 344ê 2222
Rational numbers always consist of a ratio of two integers, reduced to lowest terms.
Out[1]=
6172
1111
Approximate real numbers are distinguished by the presence of an explicit decimal point.
In[2]:= 5456.
Out[2]= 5456.
An approximate real number can have any number of digits.
In[3]:= 4.54543523454543523453452345234543
Out[3]= 4.5454352345454352345345234523454
In[4]:= 4 + 7ê 8 I
Complex numbers can have integer or rational components.
Out[4]= 4 +
7 Â
8
They can also have approximate real number components.
In[5]:= 4 + 5.6 I
Out[5]= 4 + 5.6 Â
2 Mathematics and Algorithms
123
123.
123.0000000000000
123.+0. I
Several versions of the number 123.
an exact integer
an approximate real number
an approximate real number with a certain precision
a complex number with approximate real number
components
You can distinguish different types of numbers in Mathematica by looking at their heads.
(Although numbers in Mathematica have heads like other expressions, they do not have explicit
elements which you can extract.)
The object 123 is taken to be an exact integer, with head Integer.
The presence of an explicit decimal point makes Mathematica treat 123. as an approximate
real number, with head Real.
Out[7]= Real
Out[6]= Integer
In[6]:= Head@123D
In[7]:= Head@123.D
NumberQ@xD
IntegerQ@xD
EvenQ@xD
OddQ@xD
PrimeQ@xD
Head@xD===type
In[8]:= NumberQ@5.6D
In[9]:= IntegerQ@5.D
test whether x is any kind of number
test whether x is an integer
test whether x is even
test whether x is odd
test whether x is a prime integer
test the type of a number
Tests for different types of numbers.
NumberQ@xD tests for any kind of number.
Out[8]= True
5. is treated as a Real, so IntegerQ gives False.
Out[9]= False
If you use complex numbers extensively, there is one subtlety you should be aware of. When
you enter a number like 123., Mathematica treats it as an approximate real number, but as-
sumes that its imaginary part is exactly zero. Sometimes you may want to enter approximate
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