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2009年上海高考文科数学试题及答案.doc
2009 年上海高考历史试题及答案
考生注意：
1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上
条形码。
2． 本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。
1．函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_____________.
2．已知集合 A={x|x≤1},B={x|≥a},且 A∪B=R，
则实数 a 的取值范围是__________________.
3. 若行列式
5 x
4
1
x 3
7
8 9
中，元素 4 的代数余子式大于 0，则 x 满足的条
件是__________________.
4.某算法的程序框如右图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式
是________________.
5.如图，若正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面边长为 2， 高为 4，
则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是___________________(结果
用反三角函数值表示).
6. 若 球 O1 、 O2 表 示 面 积 之 比
S
1
S
2
4
， 则 它 们 的 半 径 之 比
R =_____________.
1
R
2
7.已知实数 x、y 满足
x
2
x
2
y
y
3
x
则目标函数 z=x-2y 的最小值是___________.
8.若等腰直角三角形的直角边长为 2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体
体积是
。
9 ． 过 点 A （1 ，0 ） 作 倾 斜 角 为
4
MN =
。
的 直 线 ， 与 抛 物 线 2
y
x 交 于 M N、 两 点 ， 则
2
10.函数
( )
f x
2cos
2
x
sin 2
x
的最小值是
。
11.若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿
者中男女生均不少于 1 名的概率是
（结果用最简分数表示）。
12.已知 1
F、F 是椭圆
2
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
的两个焦点， p 为椭圆 C 上的一点，且
0)
b
PF
1
PF
2
。若
PF F
1 2
的面积为 9，则b
.
13.已知函数 ( )
f x
sin
x
tan
x
。项数为 27 的等差数列{ }na 满足
na
2 2
,
,
且公差
(
f a
d ,若 1
0
)
(
f a
2
)
...
(
f a
27
) 0
，则当 k=
时， (
f a 。
) 0.
k
14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为 1，两街道相交的点称为格
点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，
4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点
为发行站，使 5 个零售点沿
街道发行站之间路程的和最短。
二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分。
l
15．已知直线 1
: (
k
3)
x
(4
)
k y
1 0,
l
与
2
: 2(
k
3)
x
2
y
3 0,
平行，则 K 得值是
［答］（
）
（A） 1 或 3
（B）1 或 5
（C）3 或 5
（D）1 或 2
16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长
为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是
［答］（
）
17．点 P（4，－2）与圆 2
x
2
y
上任一点连续的中点轨迹方程是
4
[答]（ ）
（A）
(
x
2
2)
(
y
2
1)
1
（B）
(
x
2
2)
(
y
2
1)
4
（C）
(
x
2
4)
(
y
2
2)
4
（D）
(
x
2
2)
(
y
2
1)
1
18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体
感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”. 根据过去 10 天甲、乙、
丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
[答]（ ）
（A）甲地：总体均为 3，中位数为 4 . （B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 .
（C）丙地：中位数为 2，众数为 3 .
（D）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 .
三．解答题（本大题满分 78 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分 14 分）
已知复数 z
（a、b R ）(I 是虚数单位)是方程 2 4
x
a bi
x
的根 . 复数
5 0
w u
（u R ）满足
3
i
w z
2 5
，求 u 的取值范围
20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 .
已知ΔABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量
n
p
2)
(
b
，
2,
a
( , )
m a b
，
B
(sin ,sin )
A
若 m
// n
，求证：ΔABC 为等腰三角形；
（1） 若 m
，边长 c = 2，角 C =
⊥ p
3
，求ΔABC 的面积
21．（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 10 分 .有时
可用函数
( )
f x
0.1 15ln
4.4 ,
x
4
x
a
a x
,
x
6,
6
描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数（
x N ）， ( )
f x 表示
*
对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关
（1）证明：当 x 7 时，掌握程度的增长量 f（x+1）- f(x)总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,
(127,133］.当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科.
22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3
小题满分 8 分.
已知双曲线 C 的中心是原点，右焦点为 F
3 0， ，一条渐近线 m: x+ 2
y ,设过点
0
A ( 3 2,0)
的直线 l 的方向向量 (1, )
k
v
e
。
（1） 求双曲线 C 的方程；
（2） 若过原点的直线 //a l ，且 a 与 l 的距离为 6 ，求 K 的值；
（3） 证明：当
k
2
2
时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 6 .
23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3
小题满分 8 分.
已知 na 是公差为 d 的等差数列， nb 是公比为 q 的等比数列
（1）若
na
3
n
1
，是否存在
,m n N ，有
*
a
a
m
m
1
？请说明理由；
a
k
（2）若
nb
aq
n
（a、q 为常数，且 aq 0）对任意 m 存在 k，有
b b
m
m
1
，试求 a、q
b
k
满足的充要条件；
（3）若
a
n
2
n
1,
b
n
试确定所有的 p,使数列 nb 中存在某个连续 p 项的和式数列中
3n
na 的一项，请证明.
一、填空题
1. 3
1x
5 arctan 5
9. 2 6
13.14
二、选择题
题号
代号
三、解答题
上海 （数学文）参考答案
2.ɑ≤1
6.2
10. 1
2
14（3，3）
3.
x
7.-9
11.
8
3
5
7
4.
y
x x
1
2 ,
2,
x
x
1
8.
8
3
12.3
15
C
16
B
17
A
18
D
x
19.解：原方程的根为 1,2
2
i
Q 、
a b R
2
,
z
i
Q
w z
2
u
(
u
6
3 )
i
(2
i
)
(
u
2)
2
4
2 5
20 题。证明：（1）
Q
uv v
,
//
m n
a
sin
A b
sin ,
B
即
a
a
2
R
，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， a
b
b
2
R
b
ABC
为等腰三角形
uv uv
m p
解（2）由题意可知 //
a b
ab
0,
即
(
a b
2)
(
b a
2) 0
由余弦定理可知，
4
2
a
2
b
ab
(
a b
)
2
3
ab
(
即
ab
)
2
3
ab
4 0
ab
舍去
ab
1)
S
sin
C
1
2
4 sin
3
3
4(
1
2
ab
21 题。证明（1）当 7
x 时，
(
f x
1)
( )
f x
0.4
3)(
x
(
x
4)
而当 7
x 时，函数 (
y
x
3)(
x
单调递增，且 (
4)
x
3)(
x
4) 0
故函数 (
f x
1)
( )
f x
单调递减
当 7
x 时，掌握程度的增长量 (
f x
1)
( )
f x
总是下降
(2)有题意可知 0.1 15ln
a
6
a
0.85
整理得
a
a
解得
a
e
6
0.05
e
0.05
0.05
e
6
1
20.50 6 123.0,123.0 (121,127]
…….13 分
由此可知，该学科是乙学科……………..14 分
22
22．【解】（1）设双曲线C 的方程为 2
y
x
(
0)
2
，解额
3
2 双曲线C 的方程为
2
x
2
2
y
1
（2）直线 :
l kx
y
3 2
k
，直线 :
a kx
0
y
0
由题意，得
| 3 2 |
k
2
1
k
6
，解得
k
2
2
（3）【证法一】设过原点且平行于l 的直线 :
b kx
y
0
则直线l 与b 的距离
d
3 2 |
k
2
k
1
| ,
当
k
2
2
时，
d
6
又双曲线C 的渐近线为 x
双曲线C 的右支在直线b 的右下方，
y
2
0
双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于 6 。
故在双曲线C 的右支上不存在点 Q ，使之到直线 l 的距离为 6
【证法二】假设双曲线C 右支上存在点 0
Q x y 到直线l 的距离为 6 ，
0
)
(
,
则
|
kx
0
2
x
0
2
y
0
1
k
2
y
0
k
3 2
2
2
6 (1)
(2)
由（1）得
y
0
kx
0 3 2
k
6
1
k
2
设
t
3 2
k
6
1
2
，
k
当
k
2
2
时，
t
3 2
k
6
1
k
2
；
0
t
3 2
k
6
1
k
2
6
2
2
2
k
1
1
3
k
2
k
0
2
(1 2 )
k
2
x
0
4
ktx
0
2(
t
2
1) 0
y
将 0
kx
0
代入（2）得
t
k
2 ,
2
t
0
，
1 2
k
2
0,
4
kt
0,
2(
t
2
1) 0
方程 (*) 不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线C 的右支上不存在点 Q ，使之到直线 l 的距离为 6
23．【解】（1）由
a
m
a
m
1
得 6
a
,
k
m
6 3
k
1
，
,
m
整理后，可得
k
m 、 k N ，
不存在 n 、 k N ，使等式成立。
为整数
2
2k
4
3
m
（2）当
1m 时，则
b b
1
2
2
a q
b
k
,
3
k
aq
a
k
q
3,
即
a
c
q ，其中 c 是大于等于 2 的整数
反之当
a
c
q 时，其中 c 是大于等于 2 的整数，则
nb
n c
q
，
显然
b b
m
m
1
q
m c
q
m
1
c
q
2
m
1 2
c
，其中 2
k
b
k
m
1
c
a 、 q 满足的充要条件是
a
c
q ，其中 c 是大于等于 2 的整数
b
（3）设 1
m
b
m
2
b
m p
a
k
当 p 为偶数时， (*) 式左边为偶数，右边为奇数，
当 p 为偶数时， (*) 式不成立。
由 (*) 式得
13
m
p
(1 3 )
1 3
2
k
1
，整理得 13
m
(3
p
1)
4
k
2
当 1p 时，符合题意。
当
3p ， p 为奇数时，
p
3
1 (1 2)
p
1
1
1
0
2
C
C
C
p
p
2
2
1
1
2
2
C
C
p
p
2
1
2
2
C
C
p
p
2 2
C
C
2
p
2
p
2
p
2
2
2
2
C
p
p
2
C
p
1
p
p
2
C
p
C
p
p
2
p
p
2
p
1
p
2
p
由 13
m
(3
p
1)
4
k
，得
2
1
m
3
2
C
2
p
C
2
p
2
2
C
p
p
2
p
2
p
2
k
1
当 p 为奇数时，此时，一定有 m 和 k 使上式一定成立。
当 p 为奇数时，命题都成立。
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