2009 年河北高考理科数学试题及答案
第Ⅰ卷
考生注意:
1.答题前,考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、
填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效
..........
3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
参考公式:
如果事件 A B, 互斥,那么
(
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
球的表面积公式
S
2
4π
R
如果事件 A B, 相互独立,那么
其中 R 表示球的半径
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么
球的体积公式
V
3
4 π
R
3
n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
其中 R 表示球的半径
一、选择题
(1)设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A B,则集合 (
u A BI 中
)
的元素共有(A)
(A)3 个
(B)4 个
(C)5 个
(D)6 个
C A B
(
U
) {3,5,8}
故选 A。也可用摩根
解:
A B
{3,4,5,7,8,9}
,
A B
{4,7,9}
律: (
C A B
U
)
(
)
C A
U
(
C B
U
)
(2)已知
Z
1 i
+
=2+i,则复数 z=(B )
(A)-1+3i
(B)1-3i
(C)3+i
(D)3-i
解: (1
) (2
z
i
1 3
i
) 1 3 ,
i
z
i
故选 B。
(3) 不等式
X
X
(A){x
0
1
x
(C)
x
1
x
1
1
x x
0
<1 的解集为( D )
1
(B)
(D)
x
0
x
1
x x
0
解:验 x=-1 即可。
2
2
x
a
2
2
y
b
(4)设双曲线
率等于( C )
(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心
1
(A) 3
(B)2
(C) 5
(D) 6
解:设切点 0
(
P x y ,则切线的斜率为
)
,
0
'
y
|
x x
0
2
x
0
y
.由题意有 0
x
0
又
x
0
2
y
0
2
x
0
1
解得:
2
x
0
1,
b
a
2,
e
1 (
b
a
2
)
5
.
(5) 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中
各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有(
D
)
(A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种
解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 1
C C C
5
1
3
2
6
225
种选法
(2) 乙组中选出一名女生有 2
C C C
5
1
6
1
2
120
种选法.故共有 345 种选法.选 D
(6)设 a 、b 、 c 是单位向量,且 a ·b =0,则
a c
的最小值为 (
b c
D
)
(A) 2
,
,a b c
解:
(B) 2 2
a c
是单位向量
a b
| 1
c
|
|
2 cos
(C) 1
b c
,
a b c
1 |
(D)1
2
(
)
a b
c c
a b
1
2
故选 D.
(7)已知三棱柱
ABC A B C
1 1
1
的侧棱与底面边长都相等, 1A 在底面
ABC 上的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 1CC 所成的角的余弦值
为( D )
2
A
B
1
A
1
C
C
1
D
B
(A)
3
4
(B)
5
4
(C)
7
4
(D)
3
4
解:设 BC 的中点为 D,连结 1A D,AD,易知
1A AB
即为异面直线 AB 与 1CC 所成的角,
由三角余弦定理,易知
c
os
cos
A AD
1
co
s
DAB
AD AD
A A AB
1
3
4
.故选 D
(8)如果函数
y
=3
cos 2
x
+ 的图像关于点
,0 中心对称,那么|
| 的最小值为
(C)
4
3
3
4
3
(A)
6
(B)
4
(D)
2
解: 函数
y
=3
cos 2
x
+ 的图像关于点
,0 中心对称
42
3
k
2
k
(9) 已知直线 y=x+1 与曲线 y
ln(
)
k Z
由此易得 min
13 (
6
x a
相切,则α的值为(
)
|
|
(A)1
(B)2
(C) -1
6
.故选 A
B
)
(D)-2
解:设切点 0
y
(
P x y ,则 0
)
,
0
x
0
1,
y
0
ln
(
x
0
a
)
,又
'
y
|
x x
0
1
a
x
0
1
a
y
1
x
0
0
0,
x
1
a
.故答案选 B
0
2
(10)已知二面角 l 为 60o ,动点 P、Q 分别在面α、β内,P 到β的距离为 3 ,
Q 到α的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为
( C )
(A)
(B)2
(C) 2 3
(D)4
解:如图分别作
QA
于
,
A AC l C PB
于
,
B
于
,
PD l D
于 ,连 ,
CQ BD
则
ACQ
PBD
60 ,
AQ
2 3,
BP
,
3
AC PD
2
又
PQ
2
AQ AP
2
12
2
AP
2 3
Q
C
B
A
D
P
当且仅当
AP ,即 A
0
P
点 与点 重合时取最小值。故答案选 C。
(11)函数 ( )
f x 的定义域为 R,若 (
f x 与 (
1)
f x 都是奇函数,则(
1)
D
)
(A)
( )
f x 是偶函数 (B)
( )
f x 是奇函数 (C)
( )
f x
(
f x
2)
(D)
(
f x 是奇
3)
函数
解: (
f x 与 (
f x 都是奇函数, (
f
1)
1)
1)
x
(
f x
1),
f
(
x
1)
(
f x
1)
,
函数 ( )
f x 关于点 (1,0) ,及点 ( 1,0)
对称,函数 ( )
f x 是周期
T
2[1 ( 1)] 4
的周期
1 4)
x
(
f
(
f x
, (
1 4)
f
x
3)
(
f x
,即 (
3)
f x 是奇函数。故
3)
函数.
选 D
12.已知椭圆
2
xC
:
2
2
y
1
的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A l ,线段 AF 交C 于点 B ,
FA
3
FB
若
,则|
|AF
=(
A
)
(A).
2
(B). 2
(C). 3
(D). 3
解:过点 B 作 BM l 于 M,并设右准线l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意
FA
3
FB
,
故
|
BM .又由椭圆的第二定义,得
|
2
3
|
|
BF
2 2
3
2
2
3
第 II 卷
AF
|
|
2
.故选 A
二、填空题:
13.
x
y
10
的展开式中, 7
3
x y 的系数与 3
x y 的系数之和等于
7
。
解:
3
C
10
(
7
C
10
)
3
2
C
10
240
14. 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 9
S
72
a
,则 2
a
4
a
9
=
。
解:
na
是等差数列,由 9
S
72
,得
S
9
9 ,
a
5
a
5
8
a
2
a
4
a
9
(
a
2
a
9
)
a
4
(
a
5
a
6
)
a
4
3
a
5
24
.
15. 直 三 棱 柱
ABC A B C
1 1
1
的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若
BAC
120
,则此球的表面积等于
。
AB AC AA
1
2
,
解:在 ABC
中
AB AC
2
,
BAC
120
,可得
BC
2 3
,由正弦定理,可得 ABC
外接圆半径 r=2,设此圆圆心为O ,球心为O ,在 RT OBO
中,易得球半径
R ,
5
故此球的表面积为
4
R
2
.
20
,则函数
x
y
tan 2 tan
x
3
x
的最大值为
。
x
t
,
t
1
,
16. 若
4
解:令 tan
2
4
y
tan 2 tan
x
3
x
x
2
4
2 tan
1 tan
2
x
x
2
t
1
4
t
2
2
1
2
t
1
4
t
2
1
2
(
1
2
t
2
)
2
1
4
1
4
8
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效
............)
在 ABC
中 , 内 角 A、 B、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知 2
a
2
c
, 且
2
b
sin cos
A
C
3cos
A
sin ,
C
求 b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) 2
a
2
c
2
b
,左
侧 是 二 次 的 右 侧 是 一 次 的 , 学 生 总 感 觉 用 余 弦 定 理 不 好 处 理 , 而 对 已 知 条 件 (2)
sin cos
A
C
3cos
A
sin ,
C
过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解 法 一 : 在 ABC
中 sin cos
A
C
3cos
A
sin ,
C
则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理
有:
a
2
a
2
c
2
b
2
ab
2
b
3
2
a
2
c
2
bc
化简 并整理 得: 2
a
c
2(
,
2
c
)
2
b
.又由 已知
.解得 4
b
或
b
0(
舍).
2
a
2
c
2
b
4b b
2
解法二:
由余弦定理得:
2
a
2
c
2
b
2
bc
cos
A
.
2
a
2
c
2
b
,
b 。
0
又
所以
又
2 cos
A
b
c
sin cos
C
A
sin cos
C
A
2
3cos
cos
A
A
sin
sin
C
C
,
4cos
A
sin
C
…………………………………①
sin(
A C
)
4cos
A
sin
C
,
即sin
4cos
B
sinbB
A
sin
C
C
,
由正弦定理得sin
c
4 cos
c
b
b 。
故
由①,②解得 4
A
………………………②
评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提
高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不再
考的知识和方法了解就行,不必强化训练。
18.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
.............
中,底面 ABCD 为矩形, SD 底面
如图,四棱锥 S ABCD
ABCD ,
AD
2
,
DC SD
, 点 M 在 侧 棱 SC 上 ,
2
=60°
ABM
(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点
(II)求二面角 S AM B
的大小。
解法一:
(I)
作 ME ∥CD 交 SD 于点 E,则 ME ∥ AB , ME 平面 SAD
连接 AE,则四边形 ABME 为直角梯形
作 MF
AB
,垂足为 F,则 AFME 为矩形
设 ME x ,则 SE x ,
AE
2
ED AD
2
(2
x
2
)
2
MF AE
(2
2
x
)
2,
FB
2
x
由
MF FB
tan 60 ,
。 得
(2
x
)
2
2
3(2
x
)
解得 1x
即
1ME ,从而
1
2
所以 M 为侧棱 SC 的中点
ME
(Ⅱ)
MB
2
BC MC
DC
2
,又
2
ABM
60 ,
AB
2
,所以 ABM
为等边三角形,
又由(Ⅰ)知 M 为 SC 中点
SM
2,
SA
6,
AM
,故 2
SA
2
2
SM AM
2 ,
SMA
90
取 AM 中点 G,连结 BG,取 SA 中点 H,连结 GH,则
为二面角 S AM B
的平面角
BG AM GH AM
,
,由此知 BGH
连接 BH ,在 BGH
中,
BG
3
2
AM
3,
GH
1
2
SM
2
2
,
BH
AB
2
AH
2
22
2
所以
cos
BGH
BG GH
2
2
BG GH
2
BH
2
6
3
二面角 S AM B
的大小为
arccos(
6
3
)
解法二:
以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系 D-xyz
设 ( 2,0,0)
A
,则 ( 2,2,0),
B
C
(0,2,0),
S
(0,0,2)
(Ⅰ)设
M
(0,
MB
( 2,
1
2
2
)
,
1
MC
( 0)
,则
SM
2
),
1
2
1
,
又
AB
(0,2,0),
MB AB
,
60
故
MB AB MB
|
|
|
AB
| cos60
即
4
1
( 2)
2
2
)
(
1
2
2
2
)
(
1
解得 1 ,即 SM MC
所以 M 为侧棱 SC 的中点
(II)
由 (0,1,1),
M
( 2,0,0)
A
,得 AM 的中点
G
(
2 1 1
,
2 2
2
,
)
又
GB
(
2 3
2
2
,
,
1
2
),
MS
(0, 1,1),
AM
(
2,1,1)
GB AM
0,
MS AM
0
所以
因此
GB AM MS
,
AM
,GB MS 等于二面角 S AM B
的平面角
cos
GB MS
,
|
GB MS
GB MS
|
|
|
6
3
所以二面角 S AM B
的大小为
arccos(
6
3
)
总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半
壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。
19.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
.............
甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假
设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前
2 局中,甲、乙各胜 1 局。
(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(II)设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求得分布列及数学期望。
分析:本题较常规,比 08 年的概率统计题要容易。
需提醒的是:认真审题是前提,部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分,这是很
可惜的,主要原因在于没读懂题。
另外,还要注意表述,这也是考生较薄弱的环节。
解:记 iA 表示事件:第 i 局甲获胜,i=3,4,5
jB 表示事件:第 j 局乙获胜,j=3,4