孙志忠《计算方法与实习》课后习题答案.pdf-资料库

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计计计算算算方方方法法法习习习题题题解解解答答答 1 绪绪绪论论论 P15 1. 指出下列各数有几位有效数字： x1 = 4.8675, x5 = 96 × 105, x2 = 4.08675, x3 = 0.08675, x4 = 96.4730, x6 = 0.00096 答答答：：：5, 6, 4, 6, 2, 2. 2. 将下列各数舍入至5位有效数字： x1 = 3.25894, x2 = 3.25896, x3 = 4.382000, x4 = 0.000789247. 答答答：：：3.2589, 3.2590, 4.3820, 0.00078925. 3. 若近似数x具有n位有效数字，且表示为 x = ±(a1 + a2 × 10−1 + ··· + an × 10−(n−1)) × 10m, a1 = 0, 证明其相对误差限为 εr ≤ 1 2a1 × 10−(n−1), 并指出近似数x1 = 86.734, x2 = 0.0489的相对误差限分别是多少。答答答：：： x有n位有效数字，x = ±a1.a2a3 ··· an × 10m, ε ≤ 1 1 2a1 2 × 10−(n−1), × 10−(n−1). ∴ εr = ε |x| ≤ ε a1 = x1 = 86.734, n = 5, a1 = 8, x2 = 0.0489, n = 3, a1 = 4, εr ≤ 1 16 εr ≤ 1 8 × 10−4; × 10−2. 4. 求下列各近似数的误差限（其中x1, x2, x3均为第1题所给出的数）： 1

1) x1 + x2 + x3; 2) x1x2; 3) x1/x2. 答答答：：：1). |e(x1 + x2 + x3)| ≤ 1 2 × 10−4 + 1 2). |e(x1x2)| ≈ |x1e(x2) + x2e(x1)| ≤ x1 3). |e( x1 e(x2)| ≤ 1 e(x1) − x1 )| ≈ | 1 2 × 10−5 + 1 2 × 10−5 + x2 2 × 10−4 + x1 1 1 x2 x2 x2 2 x2 2 x2 2 × 10−5 = 6 × 10−5. 1 2 × 10−4 = 2.28675 × 10−4. 2 × 10−5 = 1.3692 × 10−5. 1 5. 证明答答答：：：er = e x∗ , er = e x, er − er = e2 1 + er r = e2 1 − er r . er − er = er − e x∗ = er − e e + x ········· = er − 1 1 + 1 er = e2 1 + er r . 6. 机器数–略。 7. 设y0 = 28, 按递推公式 yn = yn−1 − 1 100 √ 783, n = 1, 2,··· √ 计算到y100, 若取答答答：：：设x∗ = √ 783, x = 27.982, x∗ = x + e. 783 ≈ 27.982 (5位有效数字)，试问计算到y100将有多大误差？ n−1 − 10−2(x + e), n = y∗ y∗ yn = yn−1 − 10−2x, n−1 − yn−1 − 10−2e n−2 − yn−2 − 2 × 10−2e ∴ y∗ n − yn = y∗ = y∗ = ··· = y∗ = −10−2ne, 0 − y − n × 10−2e (y0 = y∗ 0 = 28). n = 100时，|y∗ 注注注：：：此题中，|y∗ n − yn| = e ≤ 1 n − yn| → ∞, 计算过程不稳定。 2 × 10−3. 8. 序列{yn}满足递推关系 yn = 5yn−1 − 2, n = 1, 2,··· 2 课后答案网 www.khdaw.com

√ 若y0 = 答答答：：：设y∗ 3 ≈ 1.73 (3位有效数字), 计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 0 = 3, y0 = 1.73, e0 = y∗ √ 0 − y0 ≤ 1 2 × 10−2, n−1 − 2, y∗ n = 5y∗ yn = 5yn−1 − 2, n−1 − yn−1) = ··· = 5n(y∗ 2 × 10−2 × 510, 该过程不稳定。 1 In = 0 xn 10 + x2 dx n = 0, 1, 2,··· , 10 n − yn = 5(y∗ y∗ 0 − y0) = 5ne0 → ∞. n = 10时，|y∗ n − yn| = 510e0 ≤ 1 9. 推导出求积分的递推公式，并分析这个计算过程是否稳定；若不稳定，试构造一个稳定的递推公式。答答答：：：与例题类似，In = −10In−2 + 1 n−1 ，略。 10. 设f(x) = 8x5 − 0.4x4 + 4x3 − 9x + 1, 用秦九韶法求f(3)。答答答：：：1993.6. 3 课后答案网 www.khdaw.com

2 方方方程程程求求求根根根P47 本章重点：用简单迭代法和牛顿迭代法求给定方程的根，并用有关定理判断所用迭代格式的收敛性。 1. 证明方程1 − x − sin x = 0在[0, 1]中有且只有一个根。使用二分法求误差不大于 1 2 × 10−3的根需要迭代多少次？（不必求根）答答答：：：设f(x) = 1 − x − sin x, f(0) = 1 > 0, f(1) = − sin 1 < 0, f(x) = −1 − cos x < 0, f(x)单调减，∴ f(x)在[0, 1]有且仅有一根。设二分k次，取xk ≈ x∗, |xk − x∗| = 1 2k+1 (1 − 0) ≤ 1 × 10−3, 2 k ≥ 9.965, 所以要二分10次。 2. 用二分法求方程2e−x − sin x = 0在区间[0, 1]内的根，精确到3位有效数字。答答答：：：设f(x) = 2e−x−sin x, f(0) > 0, f(1) = 2 有且仅有一根。设二分k次，同上题计算，需二分10次。计算机计算略, x∗ ≈ 0.921。 e−sin 1 < 0, f(x) = −2e−x−cos x < 0, 所以f(x)在[0, 1]内 3. 用简单迭代法求下列方程的根，并验证收敛性条件，精确至4位有效数字。 1) x3 − x − 1 = 0; 3) 4 − x = tan x, x ∈ [3, 4]; 4) ex − 3x2 = 0. 2) ex − 4x = 0; 答答答：：：以2)为例. 设f(x) = ex − 4x, 则f(x) = ex − 4, f(x) = 0的根为ln 4。当x < ln 4时，f(x) < 0; 当x > ln 4时，f(x) > 0。 f(0) = 1, f(1) < 0, f(ln 4) = 4 − 4 ln 4 < 0, f(2) < 0, f(3) > 0, 方程f(x) = 0存在两个根： 1 ∈ [0, 1], x∗ x∗ 2 ∈ [2, 3]. – 求根x∗ 1: 将方程f(x) = 0在区间[0, 1]改写成同解方程构造迭代格式记ϕ(x) = 1 4 ex，则 x = 1 4 ex, x ∈ [0, 1] xk+1 = 1 4 exk , k = 0, 1, 2,··· ϕ(x) = 1 4 ex > 0. 4 课后答案网 www.khdaw.com

当x ∈ [0, 1]时， ϕ(x) ∈ [ϕ(0), ϕ(1)] = [ |ϕ(x)| ≤ e 1 4 , 4 < 1, 1 4 e] ⊂ [0, 1], 所以此迭代格式对任意的x0 ∈ [0, 1]均收敛。取x0 = 0.5, 迭代得到 2 3 4 1 k 0.412180 xk 1 ≈ 0.3574。所以x∗ – 求根x∗ 2: 0.377523 0.364667 0.360009 0.358336 0.357737 0.357522 0.357446 0.357418 5 6 7 8 9 将方程f(x) = 0在区间[2, 3]改写为同解方程构造迭代格式记ϕ = ln(4x), 则当x ∈ [2, 3]时， x = ln(4x), x ∈ [2, 3], xk+1 = ln(4xk), k = 0, 1, 2,··· ϕ(x) = 1 x > 0. ϕ(x) ∈ [ϕ(2), ϕ(3)] = [ln 8, ln 12] ⊂ [2, 3], 所以此迭代格式对x0 ∈ [2, 3]均收敛。取x0 = 2.5, 迭代得到 |ϕ(x)| ≤ 1 2 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.22033 2.18395 2.16743 2.15984 2.15933 2.15609 2.15459 2.15389 2.15357 2.15342 k xk 所以x∗ 2.30259 2 ≈ 2.153。 6. 求方程x3 − x2 − 1 = 0在x0 = 1.5附近的根，将其改写为如下4种不同的等价形式，构造相应的迭代格式，试分析它们的收敛性。选一种收敛速度最快的迭代格式求方程的根，精确至4位有效数字。 1) x = 1 + 1 x2 ; 2) x = 3√ 1 + x2; √ x3 − 1; 3) x = 4) x = 1√ x−1 . 注注注：：：如果已知根的一个比较好的近似值x0, 即已知根x∗在某点x0附近，则当|ϕ(x0)| < 1时迭代法局部收敛，当|ϕ(x0)| > 1时不收敛。 5 课后答案网 www.khdaw.com

在收敛的情况下，|ϕ(x0)|越小收敛越快。分别计算|ϕ(1.5)|, 得到0.5926, 0.4558, 2.120, 1.414，前两种迭代格式收敛，且第二种收敛最快。答答答：：：2). 迭代格式xk+1 = 3 记ϕ(x) = 3√ 1 + x2, 则 1 + x2 k, k = 0, 1, 2··· , x0 = 1.5. 计算得 |ϕ(1.5)| = 所以迭代格式是局部收敛的。 3 3 ϕ(x) = 1 3 (1 + x2)− 2 3 · 2x, 2 × 1.5 (1 + 1.52)2 = 0.4558, 8. 设ϕ(x) = x + c(x2 − 3)。应如何选取c，才能使迭代格式xk+1 = ϕ(xk)具有局部收敛性？答答答：：：如果迭代格式xk+1 = ϕ(xk) = xk + c(x2 为x∗，则有 k − 3), k = 0, 1, 2,··· 是局部收敛的，设迭代序列的极限值 x∗ = x∗ + c(x∗2 − 3), 3, ϕ(x) = 1 + 2cx. 3或x∗ = −√ √ x∗ = √ 3)| < 1, 即− 1√ 当|ϕ( 当|ϕ(−√ 3)| < 1, 即0 < c < 1√ 3 3 < c < 0时，则迭代格式局部收敛，收敛于 √ 时，则迭代格式局部收敛，收敛于−√ 3. 3. √ 9. 写出用牛顿迭代法求方程xm − a = 0的根 m a的迭代公式（其中a > 0），并计算 5√ 235.4（精确至4位有效数字）。分析在什么范围内取值x0，就可保证牛顿法收敛。 √ 答答答：：：记f(x) = xm − a, x∗ = m a. 计算得 f(m) = mxm−1, f(x) = m(m − 1)xm−2, 牛顿迭代公式为 xk+1 = xk − f(xk) f(xk) 令m = 5, a = 235.4, 则牛顿迭代公式为 = (1 − 1 m )xk + a m x1−m k , k = 0, 1, 2,··· xk+1 = 4 5 xk + 235.4 5 x−4 k , k = 0, 1, 2,··· 取x0 = 3, 计算得 k xk 1 2 3 2.98123 2.98100 2.98100 6 课后答案网 www.khdaw.com

因而 5√ 235.4 ≈ 2.981。收收收敛敛敛性性性分分分析析析: m = 1时，牛顿迭代序列为常序列a，显然收敛。 √ m ≥ 2时, 对任意正数ε(0 < ε n a), 令M(ε) = − f (ε) M(ε) = (1 − 1 m )ε + a m ε1−m = f(ε), 则 1 m √ (ε + ··· + ε + aε1−m) > m a = x∗. 考虑区间[ε, M(ε)], 验证牛顿法大范围收敛定理中的4个条件。 (1) . f(ε) = εm − a < 0, f(M)M m − a > (x∗)m − a ≥ a − a = 0, 所以f(ε) · f(M) < 0. (2) . 当x ∈ [ε, M]时，f(x) = mxm−1 > 0. (3) . 当x ∈ [ε, M]时，f(x) = m(m − 1)xm−2 > 0. (4) . ε − f (ε) f(ε) = M, M − f(M) f(M) = M − f(M) − f(x∗) f(M) = M − f(ξ) f(M) (M − x∗), ξ ∈ (x∗, M) 由f(x)是严格单调増函数，有0 < f(ξ) < f(M), 于是 M − f(M) f(M) ≥ M − (M − x∗) = x∗ > ε. 综上，牛顿法大范围收敛的4个条件均满足，所以对任意x0 ∈ [ε, M(ε)], 牛顿法均收敛。由ε的任意性，对任意x0 ∈ (0, +∞)，牛顿法均收敛。 11. 用割线法求方程x3 − 2x − 5 = 0在x0 = 2附近的根，取x0 = 2, x1 = 2.2, 计算到4位有效数字。答答答：：：记f(x) = x3 − 2x − 5, 则f(x) = (x2 − 2)x − 5, 割线法公式为 xk+1 = xk − f(xk) f(xk) − f(xk−1) (xk − xk−1) = xk − f (xk)−f (xk−1) f(xk) xk−xk−1 , k = 1, 2,··· 迭代5次，x∗ ≈ 2.095。 7 课后答案网 www.khdaw.com

3 线线线性性性方方方程程程组组组数数数值值值解解解法法法P81 本章重点：用列主元高斯消去法解线性方程组，用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解线性方程组并判断迭代格式的收敛性。 3. 用高斯消去法解下列线性方程组：  2x1 − x2 + 3x3 = 1 1) 2) 4x1 + 2x2 + 5x3 = 4 x1 + 2x2 = 7 = 3 −23x1 + 11x2 + x3 = 0 = −1 x1 + 2x2 + 2x3 注：用列主元高斯消去法, 对于n − 1步消元，每一步消元之前均需选主元素。答答答：：： 1). 解为x3 = −6, x2 = −1, x1 = 9.  11x1 − 3x2 − 2x3 2). 11 −3 −2 −23 1 11 2 3 1 0 2 −1  r2↔r1−→  −23  −23 11 1 0 23 −1 47 3 57 23 52 23 − 35 23 0 0 11 1 11 −3 −2 1 2 0 3 2 −1  r3+(− 52 −→ 57 r2) 23 r1, r3+ 1 23 r1  r2+ 11  −23 11 −→ 57 23 0 0  −23 11  0 −1 0 0 57 23 1 47 23 0 − 193 57 223 57  1 23 − 35 52 0 3 23 −1 23 47 r3↔r2−→ 与原方程组同解的三角方程组为  −23x1 + 11x2 + x3 = 0 57 23 x2 + −193 47 23 x3 = −1 57 x3 = 223 57 回代得 x3 = −1.15544, x2 = 0.549222, x1 = 0.212435. 4. 用追赶法求解线性方程组：  2M0 + M1 = −5.5200 5 9 14 M2 = −4.3144 14 M0 + 2M1 + 2 3 5 M3 = −3.2664 5 M1 + 2M2 + 4 3 7 M4 = −2.4287 7 M2 + 2M3 + M3 + 2M4 = −2.1150 8 课后答案网 www.khdaw.com

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