2008 年内蒙古高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 10 页.
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.
3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
参考公式:
如果事件 A B, 互斥,那么
(
P B
球的表面积公式
(
P A B
(
)
P A
4π
R
S
)
)
2
如果事件 A B, 相互独立,那么
其中 R 表示球的半径
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
V
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
( )
P k
k
k
C p
k
n
(1
p
)
n k
(
k
0 1 2
n
,,, ,
)
3
4 π
R
3
其中 R 表示球的半径
一、选择题
1.若 sin
0 且 tan
A.第一象限角
0 是,则是(
B. 第二象限角
)
C. 第三象限角
D. 第四象限角
2.设集合
M m
{
| 3
Z
m
2}
,
N
| 1
{
n
Z
≤ ≤
n
3}
则,
M N
(
)
A.
0 1,
B.
1 0 1
,,
C.
0 1 2,,
D.
1 0 1 2
,,,
3.原点到直线
x
2
y
5
0
的距离为(
)
A.1
B. 3
C.2
D. 5
4.函数
的图像关于(
)
x
( )
f x
1
x
A. y 轴对称
C. 坐标原点对称
B. 直线
D. 直线
x
y
对称
y 对称
x
5.若
x
(
e
1
1)
a
,,
ln
x b
,
2ln
x
c
,
3
ln
x
,则(
)
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A. a
写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:
充要条件①
充要条件②
(写出你认为正确的两个充要条件)
;
.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
A ,
中,
cos
在 ABC△
(Ⅰ)求sin C 的值;
(Ⅱ)设
5
13
cos
B .
3
5
BC ,求 ABC△
5
的面积.
18.(本小题满分 12 分)
等差数列 na 中, 4
a 且 3
a
10
a, , 成等比数列,求数列 na 前 20 项的和 20S .
a
6
10
19.(本小题满分 12 分)
甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料知,甲击
中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.6,0.3,0.1,乙击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为
0.4,0.4,0.2.
设甲、乙的射击相互独立.
(Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率;
(Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.
20.(本小题满分 12 分)
如图,正四棱柱
ABCD A B C D
1
1 1
1
(Ⅰ)证明: 1AC 平面 BED ;
AA
中, 1
2
AB
,点 E 在 1CC 上且
4
EC
1
3
EC
.
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D1
A1
C1
B1
E
C
D
(Ⅱ)求二面角 1A DE B
的大小.
21.(本小题满分 12 分)
设 a R ,函数
)(
xf
3
ax
3
x
2
.
(Ⅰ)若 2x
是函数
y
)(xf
的极值点,求 a 的值;
( )
f x
,
x
[0 2]
, ,在 0x 处取得最大值,求 a 的取值范围.
(Ⅱ)若函数 ( )
g x
( )
f x
22.(本小题满分 12 分)
设椭圆中心在坐标原点, (2 0)
B,, , 是它的两个顶点,直线
(0 1)
A
y
kkx
(
)0
与 AB相交
于点 D,与椭圆相交于 E、F两点.
(Ⅰ)若
ED
DF
6
,求 k 的值;
(Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.
参考答案和评分参考
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;
如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题不给中间分.
3.D
9.A
2.B
8.B
4.C
10.B
一、选择题
1.C
7.A
二、填空题
13.2
16.两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边
形.
5.C
11.B
6.D
12.C
14.420
15.2
第 4 页 共 10 页
注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分.
三、解答题
17.解:
由
cos
B ,得
B .············································································ 2 分
(Ⅰ)由
所以
sin
C
A ,
12
13
sin
5
13
sin
A ,得
4
5
sin cos
A B
A
)
sin(
cos
3
5
B
(Ⅱ)由正弦定理得
AC
B
BC
sin
sin
A
所以 ABC△
的面积
S
1
2
BC AC
18.解:
设数列 na 的公差为 d ,则
a
3
a
4
d
10
,
d
a
6
a
4
2
d
10 2
d
,
cos
sin
A
45
5
12
13
C
sin
13
3
B
.······································5 分
16
65
.··········································· 8 分
5
1
2
13 16
65
3
.······················ 10 分
8
3
a
10
a
4
6
d
10 6
d
.·················································································3 分
a
由 3
a, , 成等比数列得
a
6
10
a a
3 10
a ,
2
6
即
(10
d
)(10 6 )
d
(10 2 )
d
2
,
0
解得
,
整理得 2
10
d
0
10
d
d 或 1
d .························································································7 分
S
d 时, 20
.······································································· 9 分
420
a
200
当
0
当 1
a
d 时, 1
S
于是 20
20
a
1
a
4 3
d
20 19
2
19.解:
10 3 1 7
,
d
20 7 190 330
.·············································· 12 分
A A, 分别表示甲击中 9 环,10 环,
记 1
2
2
B B, 分别表示乙击中 8 环,9 环,
1
A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数,
B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数,
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C C, 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中的环数.
1
2
(Ⅰ)
A A B
1
1
A B
2
1
A B
2
2
,····························································· 2 分
(
)
P A
(
P A B
1
1
A B
2
1
A B
2
2
)
(
P A B
1
1
)
(
P A B
1
2
)
(
P A B
2
2
)
(
(
P A P B
1
)
)
(
(
P A P B
1
)
)
(
(
P A P B
2
)
)
2
0.3 0.4 0.1 0.4 0.1 0.4 0.2
2
1
B C C
1
2
(Ⅱ)
,······················································································· 8 分
.······························································ 6 分
(
P C
1
)
C P A
[
(
2
3
2
)] [1
(
P A
)] 3 0.2
2
(1 0.2) 0.096
,
(
P C
2
)
[
(
)]
P A
3
3
0.2
0.008
,
(
P B
)
(
P C C
1
)
2
(
P C
1
)
(
P C
2
20.解法一:
) 0.096 0.008 0.104
.···························· 12 分
AB ,
2
依题设,
(Ⅰ)连结 AC 交 BD 于点 F ,则 BD AC
CE .
1
.
由三垂线定理知,
BD AC
1
.········································································· 3 分
在平面 1ACA 内,连结 EF 交 1AC 于点G ,
2 2
,
D1
A1
C1
B1
AA
AC
由于 1
FC CE
△
A AC
1
Rt
故
∽ △
Rt
FCE
,
1AAC
CFE
,
CFE
与
1FCA
互余.
于是 1AC EF
.
D
A
F
E
H
G
C
B
1AC 与平面 BED 内两条相交直线 BD EF, 都垂直,
所以 1AC 平面 BED .···················································································6 分
(Ⅱ)作GH DE
,垂足为 H ,连结 1A H .由三垂线定理知 1A H DE
,
故 1A HG
是二面角 1A DE B
的平面角.························································ 8 分
EF
2
CF
CE
2
,
3
第 6 页 共 10 页
CG
CE CF
EF
2
3
,
EG
2
CE CG
2
3
3
.
EG
EF
,
1
3
GH
1
3
EF FD
DE
2
15
.
又
AC
1
2
AA
1
2
AC
2 6
AG AC CG
, 1
1
5 6
3
.
tan
A HG
1
5 5
.
AG
1
HG
所以二面角 1A DE B
的大小为 arctan 5 5 .·················································· 12 分
解法二:
以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,
建立如图所示直角坐标系 D xyz .
依题设,
B
(2 2 0)
,,, ,,, ,,, ,, .
C
(0 2 0)
E
(0 2 1)
(2 0 4)
A
1
z
D1
A1
D
A
x
C1
B1
E
C
y
B
DE
DB
,,,
(0 2 1)
AC
,, , 1
(2 2 0)
( 2 2
DA
,, ,
1
4)
(2 0 4)
,, .······························ 3 分
AC DB
(Ⅰ)因为 1
AC DE
, 1
0
0
,
.
, 1AC DE
故 1AC BD
又 DB DE D
所以 1AC 平面 DBE .··················································································· 6 分
,
n
(Ⅱ)设向量 (
x
z
, ,
1DA
DE
,
.
n
n
y
)
是平面 1DA E 的法向量,则
故 2
y
z , 2
0
x
4
z
.
0
令 1y ,则
z , 4
x , (4 1
,,
n
2
2)
.······················································ 9 分
1AC
,n
等于二面角 1A DE B
的平面角,
cos
n
AC
,
1
AC
1
AC
1
n
n
14
42
.
第 7 页 共 10 页
所以二面角 1A DE B
的大小为
arccos
14
42
.··················································12 分
21.解:
(Ⅰ)
( ) 3
f x
ax
2
6
x
3 (
x ax
.
2)
因为 2
x 是函数
y
( )
f x
的极值点,所以 (2) 0
,即 6(2
f
a
2) 0
,因此 1a .
经验证,当 1a 时, 2
x 是函数
y
( )
f x
的极值点.········································· 4 分
(Ⅱ)由题设,
( )
g x
3
ax
2
3
x
3
ax
2
6
x
2
(
ax x
3) 3 (
x x
.
2)
当 ( )g x 在区间[0 2], 上的最大值为 (0)g 时,
g
(0)
g≥ ,
(2)
即0
a ≥
20
24
.
故得
a ≤ .·································································································9 分
6
5
a ≤ 时,对任意 [0 2]
26
5
2
x
6
5
(
x x
3) 3 (
x x
10)
2)
x
x , ,
x
5)(
x
2)
反之,当
( )
g x
≤
3 (2
x
5
3 (2
x
5
0≤ ,
而 (0) 0
,故 ( )g x 在区间[0 2], 上的最大值为 (0)g .
g
综上, a 的取值范围为
6
, .·····································································12 分
5
22.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为
2
x
4
2
y
,
1
直线 AB EF, 的方程分别为 2
y
x
,
2
y
(
kx k
.······································ 2 分
0)
如图,设
(
D x
x
, , , , , ,其中 1
0
(
E x
1
(
F x
kx
0
kx
1
kx
)
)
)
2
2
x
且 1
x, 满足方程
2
(1 4 )
k
2
x
,
4
2
x ,
2
y
B
O
F
D
x
A
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E