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2005江苏考研数学二真题及答案.doc
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把
(A) . （B）
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（19）（本题满分12分）
（21）（本题满分9分）
（23）（本题满分9分）
参考答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把
【详解】 当x=3时，有，得
(A) . （B）
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（19）（本题满分12分）
（21）（本题满分9分）
【详解】 对矩阵作初等行变换，有
（23）（本题满分9分）
2005 江苏考研数学二真题及答案
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1）设
y
1(
sin
xx
)
，则 |xdy =______ .
（2） 曲线
1(
y
3
2
)
x
x
的斜渐近线方程为______ .
（3）
1
0
xdx
2
1)
2
x
2(
x
______ .
（4） 微分方程
yx
2
y
x
ln
x
满足
y
)1(
（5）当
0x
时，
x
)(
2
kx
与
)(
x
1
x
k= ______ .
（6）设
,
3
,
2
1
均为 3 维列向量，记矩阵
的解为______ .
1
9
arcsin
x
cos
x
是等价无穷小，则
1 A
3
(
,
,
2
)
，
B
(
3
9
3
4
2
,
,
3
3
1
1
2
1
2
2
)
，
如果
1A ，那么 B
.
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）设函数
)(
xf
lim
n
n
1
x
3
n
，则 f(x)在
(
,
)
内
(A) 处处可导.
(C) 恰有两个不可导点.
(B) 恰有一个不可导点.
(D) 至少有三个不可导点.
[
]
（8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，
则必有
"
M 表示“M 的充分必要条件是 N”，
N
"
(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.
F(x)是周期函数 f(x)是周期函数.
(C)
(D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数.
[
]
（9）设函数 y=y(x)由参数方程
确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴
，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b 为
[
]
- 1 -
x
y
2
,2
t
t
1ln(
)
t
(B)
(A)
交点的横坐标是
1
32ln
.
8
32ln8
)
,{(
xyx
D
（10）设区域
(C)
.
1
8
32ln
.
(D)
2
2
y
,4
x
32ln8
.
,0
}0
y
常数，则
)(
xfa
)(
xf
)(
yfb
)(
yf
D
d
(A)
ab
.
(B)
[
]
ab
2
.
（11）设函数
,(
yxu
)
(
x
y
)
(
x
y
)
具有一阶导数，则必有
(C)
(
ba
)
.
(D)
ba
2
.
yx
yx
)(
t
dt
, 其中函数具有二阶导数，
(A)
u
2
2
x
u
2
2
y
. （B）
u
2
2
x
u
2
2
y
.
(C)
2
u
yx
u
2
2
y
.
(D)
2
u
yx
u
2
2
x
.
（12）设函数
)(
xf
1
x
1
x
1
e
,
则
(A)
x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点.
（B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点.
[
]
x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点.
(C)
(D) x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点.
[
]
（13）设
1, 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为
2
1, ，则 1 ，
2
(
A
1
2
)
线性无关的充分必要条件是
(A)
1
0
.
(B)
2
0
.
(C)
1
0
.
(D)
2
0
.
[
]
（14）设 A 为 n（ 2n ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B,
*, BA
*
分别为
A,B 的伴随矩阵，则
(A) 交换 *A 的第 1 列与第 2 列得 *B .
(B) 交换 *A 的第 1 行与第 2 行得 *B .
(C) 交换 *A 的第 1 列与第 2 列得 *B
.
(D) 交换 *A 的第 1 行与第 2 行得 *B
.
]
三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
[
（15）（本题满分 11 分）
设函数 f(x)连续，且
f
)0(
0
，求极限
x
0
x
lim
0
x
（16）（本题满分 11 分）
x
x
(
0
t
)
f
)(
t
dt
(
xf
t
)
dt
.
- 2 -
如图， 1C 和 2C 分别是
y
1
2
1(
xe
)
和
y 的图象，过点(0,1)的曲线 3C 是一单调
xe
增函数的图象. 过 2C 上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 xl 和 yl . 记
1,CC
2
与
xl 所 围 图 形 的 面 积 为
)(1 xS
；
2,CC
3
与 yl 所 围 图 形 的 面 积 为
(2 yS
).
如 果 总 有
)(
xS
1
)(
yS
2
，求曲线 3C 的方程
(y
x
).
（17）（本题满分 11 分）
如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 1l 与 2l 分别是曲线 C 在
点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
3
0
2
(
x
)
fx
)(
x
.
dx
（18）（本题满分 12 分）
用变量代换
x
cos
t
0(
)
t
化简微分方程
1(
2
x
)
y
yx
y
0
，并求其满足
y
,1
y
x
0
x
0
2
的特解.
（19）（本题满分 12 分）
已知函数 f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I）存在
),1,0(
使得
1)(f
；
（II）存在两个不同的点
,
)1,0(
，使得
f
（20）（本题满分 10 分）
)(
f
(
.1)
已知函数 z=f(x,y) 的全微分
dz
2
xdx
2
ydy
，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y)在椭圆域
D
,{(
)
xyx
2
2
y
4
}1
上的最大值和最小值.
（21）（本题满分 9 分）
y
计算二重积分
x
2
D
12
d
，其中
D
,{(
yx
0)
x
0,1
y
}1
.
（22）（本题满分 9 分）
确 定 常 数 a, 使 向 量 组
1
Ta
,),1,1(
2
,1(
Ta
,)1,
3
)1,1,(
a
T
可 由 向 量 组
1
Ta
,),1,1(
,2(
a
2
T
,)4,
,2(
3
Taa ),
线性表示，但向量组
,
3
1
,
2
组
,
3
,
2
1
线性表示.
（23）（本题满分 9 分）
不能由向量
- 3 -
已知 3 阶矩阵 A 的第一行是
,(
,
cbacba
),
,
,
不全为零，矩阵
B
321
642
63
k
（k 为常数），
且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0 的通解.
参考答案
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1）设
y
1(
sin
xx
)
，则
dy
=
dx
.
x
【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或
取对数后转化为隐函数求导.
【详解】 方法一：
y
1(
sin
xx
)
=
xe
1ln(
sin
，于是
x
)
y
e
x
1ln(
sin
x
)
[ln(
1
sin
x
)
x
cos
x
sin
x
1
]
，
从而
dy
x
=
y
(
)
dx
.
dx
方法二： 两边取对数，
ln
y
x
1ln(
sin
x
)
，对 x 求导，得
1
y
y
1ln(
sin
x
)
cos
x
x
sin
1
x
，
于是
y
1(
sin
x
x
)
1
[ln(
sin
x
)
x
cos
x
sin
]
x
1
，故
dy
x
=
y
(
)
dx
.
dx
（2） 曲线
1(
y
3
2
)
x
x
的斜渐近线方程为
y
3 x
2
.
【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
【详解】 因为 a=
lim
x
)(
xf
x
lim
x
3
2
1(
)
x
xx
,1
1(
x
)
3
2
x
3
2
x
3
2
，
lim
x
b
lim
x
)(
xf
ax
3 x
2
.
于是所求斜渐近线方程为
（3）
1
0
xdx
2
1)
2
x
2(
x
y
4
.
- 4 -
【分析】 作三角代换求积分即可.
【详解】 令
x
xdx
2
1)
1
0
2(
x
sin
t
，则
2
0
sin
t
sin
cos
2
)
t
t
cos
t
2(
dt
2
x
=
2
0
d
t
2
cos
cos
1
t
arctan(cos
t
)
2
0
.
4
（4） 微分方程
yx
2
y
x
ln
x
满足
y
)1(
1
9
的解为
y
1
3
x
ln
x
1
9
.
x
.
【分析】直接套用一阶线性微分方程
y
)(
)(
xQyxP
的通解公式：
e
y
)(
xP
dx
[
)(
exQ
)(
xP
dx
dx
C
]
，
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】 原方程等价为
y
2
y
x
ln
x
，
于是通解为
2
x
dx
y
e
2
x
dx
ln[
ex
dx
C
]
[1
x
2
2
x
ln
xdx
C
]
=
1
3
x
ln
x
1
9
Cx
得 C=0，故所求解为
y
1
2
x
由
y
)1(
1
9
，
（5）当
0x
时，
x
)(
2
kx
k=
3
4
.
x
x
ln
1
3
)(
x
1
9
1
.
x
x
arcsin
x
cos
x
是等价无穷小，则
与
【分析】 题设相当于已知
lim
x
0
)(
x
)(
x
1
，由此确定 k 即可.
【详解】 由题设，
lim
0
x
)(
x
)(
x
lim
0
x
1
x
arcsin
kx
x
2
cos
x
=
lim 2
kx
0
x
=
1
k2
lim
0
x
arcsin
x
1(
x
arcsin
x
x
1
cos
arcsin
x
1
cos
x
2
x
x
)
x
cos
x
3
4
k
1
，得
3k
4
.
（6）设
,
3
,
2
1
均为 3 维列向量，记矩阵
- 5 -
1 A
3
(
,
,
2
)
，
B
(
3
9
3
4
2
,
,
2
1
3
2
1
3
1
2
)
，
如果
1A ，那么 B
2
.
【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即
可.
【详解】 由题设，有
B
(
3
9
3
4
2
,
,
2
1
2
1
3
2
1
3
)
=
(
1
3
,
,
2
于是有
B
A
111
321
941
)
111
321
941
，
21
.2
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）设函数
)(
xf
lim
n
n
1
x
3
n
，则 f(x)在
(
,
)
内
(A) 处处可导.
(C) 恰 有 两 个 不 可 导 点 .
(B) 恰有一个不可导点.
(D) 至 少 有 三 个 不 可 导 点 .
[
]
C
【分析】 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形.
【详解】 当
1x 时，
)(
xf
当
1x 时，
)(
xf
n
n
lim
n
lim
n
1
x
3
n
1
；
111
；
当
1x 时，
)(
xf
3
x
lim
n
1(
x
3
n
1
n
)1
x
3
.
即
)(
xf
x
,1
3
x
3
,
,
,1
x
1
x
.1
x
,1
可见 f(x)仅在 x= 1 时不可导，故应选(C).
"
（8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，
则必有
M 表示“M 的充分必要条件是 N”，
N
"
(B) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.
(C)
(D)
]
F(x)是周期函数 f(x)是周期函数.
F(x) 是 单 调 函 数 f(x) 是 单 调 函 数 .
[
A
【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
- 6 -
【详解】 方法一：任一原函数可表示为
)(
xF
x
0
f
)(
t
Cdt
，且
)(
xF
(
xf
).
当 F(x)为偶函数时，有
xF
(
)
)(
xF
，于是
F
(
)1()
)(
xF
x
，即
f
(
x
)
)(
xf
，
也即
f
(
x
)
)(
xf
函数，从而
)(
xF
x
0
，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 x
f
为偶函数，可见(A)为正确选项.
Cdt
)(
t
0
f
)(
t
dt
为偶
方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)=
2
1 x , 排
2
除(D); 故应选(A).
（9）设函数 y=y(x)由参数方程
x
y
2
,2
t
t
1ln(
)
t
确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x
轴交点的横坐标是
(A)
(C)
1
8
32ln
.
32ln8
.
1
8
(B)
32ln
.
(D)
32ln8
.
[
A
]
【分析】 先由 x=3 确定 t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可
得所需的横坐标.
【详解】 当 x=3 时，有
2
t
2
t
3
，得
t
,1
t
3
（舍去，此时 y 无意义），于是
dy
dx
1
1
2
t
t
2
t
1
t
1
1
8
，可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为：
y
2ln
(8
x
)3
，
令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为：
（10）设区域
D
,{(
)
xyx
2
2
y
,4
1
8
x
为常数，则
)(
xfa
)(
xf
)(
yfb
)(
yf
D
d
(A)
ab
.
(B)
[
D
]
ab
2
.
32ln
, 故应(A).
,0
y
}0
，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b
(C)
(
ba
)
.
(D)
ba
2
.
【分析】 由于未知 f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考
虑用轮换对称性.
【详解】 由轮换对称性，有
)(
xfa
)(
xf
)(
yfb
)(
yf
D
d
)(
yfa
)(
yf
)(
xfb
)(
xf
D
d
- 7 -
1
2
[
D
)(
xfa
)(
xf
)(
yfb
)(
yf
)(
yfa
)(
yf
)(
xfb
)(
xf
]
d
ba
2
D
d
ba
2
1
4
2
2
ba
.
应选(D).
2
yx
yx
=
=
（11）设函数
)
具有一阶导数，则必有
,(
yxu
(
x
y
)
(
x
y
)
)(
t
dt
, 其中函数具有二阶导数，
(A)
u
2
2
x
u
2
2
y
. （B）
u
2
2
x
u
2
2
y
.
(C)
2
u
yx
u
2
2
y
.
(D)
2
u
yx
u
2
2
x
.
【分析】 先分别求出
u
2
2
x
、
u
2
2
y
、
2
u
yx
，再比较答案即可.
[
B
]
【详解】 因为
u
x
u
y
x
(
x
(
y
)
y
)
x
(
x
(
y
)
(
x
y
)
(
x
y
)
，
y
)
(
x
y
)
(
x
y
)
，
于是
u
2
2
x
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
，
2
u
yx
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
，
u
2
2
y
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
，
可见有
u
2
2
x
u
2
2
y
，应选(B).
（12）设函数
)(
xf
1
x
1
x
1
e
,
则
(B)
x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点.
（B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点.
x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点.
(C)
(E) x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点.
[
D
]
【分析】 显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限.
【详解】 由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.
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