线性二次型最优控制论文.doc

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书资料大小：2.28M 资料格式：doc 举报版权申诉

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第一章.绪论............4

1.1背景和意义..........................................

1.2主要内容........................................4

1.3内容结构安排.........................................

第二章．最优控制概述………………………..

2.1最优控制简介...........................5

2.2 最优控制已知前提..............5

2.3最优控制问题提法...............5

2.4最优控制问题的解法......................5

第三章.变分法与最优控制.........................6

3.1 泛函与变分.........................................

3.1.1泛函的定义

3.1.2泛函的连续性

3.1.3泛函的形式

3.1.4泛函的变分

3.1.5泛函的极值

3.2欧拉方程

3.3横截条件

3.4变分法在最优控制中的应用

3.4.1概述……………………………...6

3.4.2拉格朗日乘子法

3.4.3波尔扎问题

第四章.极大（小）值原理与最优控制............................7

4.1极大（小）值原理概述...................................

4.2积分型最优控制问题的极大值原理.............7

4. 3复合型最优控制问题的极大值……..7

4.4极大值原理的几种具体形式..................7

4.4.1时不变问题

4.4.2时变问题

4.4.3时不变末值型性能指标末端时刻自由问题..7

4.5极大值原理在最优控制中的应用......................4

4.5.1终端时刻固定，终端状态自由问题..............4

4.5.2终端时刻固定，终端状态受限问题.............4

5.1动态规划概述

5.2最优值原理

5.3离散系统最优控制问题动态规划

5.3.1 一般形式的离散动态规划的基本方程

5.3.2离散系统最优控制问题动态规划举例

5.3.3线性离散系统二次型最优控制问题

5.4连续系统最优控制问题动态规划..............................6

5.4.1一般形式的连续动态规划的基本方程...6

5.4.2哈密顿—雅可比—贝尔曼方程

5.4.3哈密顿—雅可比—贝尔曼定理

5.4.4线性连续系统二次型最优控制问题3.3横截条件

5.5动态规划与变分法和极大值原理

5.5.1动态规划与变分法…………

5.5.2动态规划与极大值原理

6.1线性二次型问题概述

6.2线性二次型问题的提法

6.3 二次型性能指标及其涵义

6.4线性二次型最优控制问题的几种特殊情况

6.4.1状态调节器问题：

6.4.1.1有限时间状态调节器

6.4.1.2无限时间状态调节器

6.4.2输出调节器问题

6.4.3跟踪问题

6.5基于MATLAB的线性二次型最优控制设计

6.5.1有限时间状态调节器问题的最优控制MATLAB仿真

6.5.2无限时间跟踪问题的最优控制MATLAB仿真

6.6.1倒立摆系统与线性二次型.............11

6.6.2倒立摆系统分析......................15

6.6.3 LQR 控制器设计...............16

6.6.4系统仿真.........................................

摘要最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。关键词：最优控制；控制规律；最优性能指标；泛函极值；变分法；极大值原理；动态规划；线性二次型

中南大学信息科学与工程学院自动化系 Abstract The optimal control, also called dynamic optimization or infinite dimension, optimization of modern control theory, the most basic part of the core. It is the the research question: how to control system based on the dynamic center of characteristics, to choose, can control system according to certain technical requirements, and makes the operation performance of the system or the quality of describing a "index" in certain significance to achieve optimal value. The optimal control problem has four points for dynamic systems, controlled, The initial and terminal conditions (state) and, Performance index and allow control. A typical of optimal control problem is described as follows: the state equation and initial conditions are given, and given the objective function. Then a feasible method for the control system of the output state transition to the target state and optimum performance. The optimal performance index and quality in the specific conditions of the optimal value is functional form. Therefore solution of optimal control problem is due to the constraint condition of functional, belongs to the category of variational the maximum principle (minimum principle) and dynamic planning is the optimal control theory, the basic contents and methods. The Pontryagin maximum principle, Behrman dynamic programming and Kaman linear quadratic optimal control is obtained in the constraint condition of the optimal solution of the three powerful tools, used in the most optimal control problem. Especially the linear quadratic optimal control, because its in mathematics and engineering implementation is simple, so it has great practical value. learning. The variational method, Key words: The optimal control, Control rule, optimal performance indicators, Functional, The variational method, The maximum principle, The dynamic planning, The linear quadratic 1

中南大学信息科学与工程学院自动化系目录第一章 .绪论 ............4 1.1 背景和意义 ........................................................ .............4 1.2 主要内容 ........................................4 1.3 内容结构安排 ..................................................5 第二章．最优控制概述 ……………………… .. 2.1 最优控制简介 ...........................5 2.2 最优控制已知前提 ..............5 2.3 最优控制问题提法 ...............5 2.4 最优控制问题的解法 ......................5 第三章 .变分法与最优控制 .........................6 3.1 泛函与变分 ...............................................6 3.1.1 泛函的定义 3.1.2 泛函的连续性 3.1.3 泛函的形式 3.1.4 泛函的变分 3.1.5 泛函的极值 3.2 欧拉方程 3.3 横截条件 3.4 变分法在最优控制中的应用 3.4.1 概述 …………………………… ...6 3.4.2 拉格朗日乘子法 3.4.3 波尔扎问题第四章 . 极大（小）值原理与最优控制 ............................7 4.1 极大（小）值原理概述 ..........................................7 4.2 积分型最优控制问题的极大值原理 .............7 4. 3 复合型最优控制问题的极大值 …… ..7 2

中南大学信息科学与工程学院自动化系 4.4 极大值原理的几种具体形式 ..................7 4.4.1 时不变问题 4.4.2 时变问题 4.4.3 时不变末值型性能指标末端时刻自由问题 ..7 4.5 极大值原理在最优控制中的应用 ......................4 4.5.1 终端时刻固定，终端状态自由问题 ..............4 4.5.2 终端时刻固定，终端状态受限问题 .............4 第五章．动态规划与最优控制 5.1 动态规划概述 5.2 最优值原理 5.3 离散系统最优控制问题动态规划 5.3.1 一般形式的离散动态规划的基本方程 5.3.2 离散系统最优控制问题动态规划举例 5.3.3 线性离散系统二次型最优控制问题 5.4 连续系统最优控制问题动态规划 ..............................6 5.4.1 一般形式的连续动态规划的基本方程 ...6 5.4.2 哈密顿 —雅可比 —贝尔曼方程 5.4.3 哈密顿 —雅可比 —贝尔曼定理 5.4.4 线性连续系统二次型最优控制问题 3.3 横截条件 5.5 动态规划与变分法和极大值原理 5.5.1 动态规划与变分法 ………… 5.5.2 动态规划与极大值原理第六章．线性二次型最优控制问题 6.1 线性二次型问题概述 6.2 线性二次型问题的提法 6.3 二次型性能指标及其涵义 6.4 线性二次型最优控制问题的几种特殊情况 6.4.1 状态调节器问题： 6.4.1.1 有限时间状态调节器 6.4.1.2 无限时间状态调节器 6.4.2 输出调节器问题 6.4.3 跟踪问题 6.5 基于 MATLAB 的线性二次型最优控制设计 3

中南大学信息科学与工程学院自动化系 6.5.1 有限时间状态调节器问题的最优控制 MATLAB 仿真 6.5.2 无限时间跟踪问题的最优控制 MATLAB 仿真 6.6 线性二次型最优控制在倒立摆系统中的应用...........................11 6.6.1 倒立摆系统与线性二次型 .............11 6.6.2 倒立摆系统分析 ......................15 6.6.3 LQR 控制器设计 .............. .16 6.6.4 系统仿真 .................................................... .........21 6.6.5 加权矩阵对系统动态性能的影响………....2 结束语…………………………………...22 致谢...23 参考文献 4

中南大学信息科学与工程学院自动化系第一章绪论 1.1 背景和意义要求将最优控制问题典型解决方法变分法、极值原理和动态规划及其在时间最短控制问题的应用和线性二次型最优控制问题（包括线性二次型实验及仿真结果）作为主要内容。其中有关线性二次型的实验要利用 MATLAB 软件建立数学模型及仿真并作对结果一定的分析。通过理论与实践操作加深对最优控制这门课程的理解，使之能应用于以后的学习和工作。 1.2 主要内容现代控制理论是在经典控制理论基础上逐步发展起来的。其基本内容包括：线性系统的状态空间理论，最优估计与最优滤波、最优控制理论，系统辨识理论、鲁棒控制、自适应控制。它以状态空间法为基础，研究多输入多输出、变参数、非线性、高精度、高效能等控制系统的分析与设计问题。我们这个学期学习的是现代控制理论中一个重要核心部分：最优控制。在上个世纪 50 年代初期，就出现了最短时间控制问题研究的论文，为最优控制理论的应用提供了第一批模型。实际上，任何问题都存在优化问题。优化问题可以分成两大类：参数最优化问题和最优控制问题。参数最优化问题也称为静态最优化问题，它可以被抽象为在各种约束条件下的函数求极值的问题。最优控制问题又称为动态最优化问题，它可以被数学抽象为在各种约束条件下泛函求极值的问题。泛函求极值世纪上就是变分问题。经典变分法只能解决一类简单的最优控制问题，因为它只适于研究不带闭域约束而且数学模型要具有足够的可微性的场合。但实际问题往往具有闭域约束，而且往往不具 5

中南大学信息科学与工程学院自动化系备所需的可微性。这样，就需要探索新的理论和新的方法，以便求解各种实际的最优控制问题。在这些新的方法中，苏联学者庞德里亚金与 20 世纪 50 年代提出的“最大值原理”和美国学者贝尔曼与同一时期提出的“动态规划” 具有特别重要的意义。这两种方法从不同的角度发展了经典变分学，完善了最优控制理论，推动了最优控制理论的实际应用。卡尔曼在 60 年代初提出和解决的线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题，可以构成最优闭环反馈系统，在工程上实用价值很大。 1.3 内容结构安排：从内容上，本文将从两个方面对最优控制进行讨论：一是从理论上阐述对变分法、极大值（极小值）原理、动态规划、线性二次型的认识和理解；二是从实际运用出发，阐述各种最优控制方法的应用，包括应用线性二次型结合 MATLAB 进行有限时间的状态调节器和无限时间跟踪问题的仿真实验结果的分析以及倒立摆的最优控制举例。从结构上，本文将以总——分的方式对最优控制进行讨论：先对最优控制进行基本概述，然后分别对变分法，极大值（极小值）原理，动态规划以及线性二次型最优控制的有关知识一一进行详细阐述。 6

中南大学信息科学与工程学院自动化系第二章．最优控制概述 2.1 最优控制简介最优控制是指系统在被控时间内，所需性能和系统实际性能间的差异的指标为最小，即寻找使性能指标最小的时间函数控制，寻求动态最优。最优控制的概念包含性能指标的选择及在物理条件限制下的系统设计两部分。 2.2.最优控制的已知前提 (1)动态系统状态方程： 1)连续系统： & ( ) xt fxt ut t ( ), ( ), 轾= 犏臌 2)离散系统： xk + ( 1) = fxk uk k [ ( ), ( ), ] (2)初始与终端状态： ( )xt x= 0 0 g xt t x i [ ( ), ] = = i f f  0 0,1,2....  kk n < (3)容许控制域： 7

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