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数学建模影院座位设计问题.doc

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.48M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    影 院 座 位 设 计 摘 要 本文研究了电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角 与仰角这一前提条件，建立了满意程度最大的相关模型，并进行求解。 问题一，首先建立在满足仰角条件情况下的优化模型，接着通过主观臆断分别对视 角和仰角赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后 运用 Matlab 软件求解出当地板线的倾角为 10 时，最佳位置距屏幕的水平距离为 6.8635 米。 问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平 均值模型，再利用 Matlab 软件解得当地板线的倾角为 程度最大。 .15 0543  时，所有观众的平均满意 问题三，在问题二的基础上，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线 形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以 5.2 变 化，增加到 20 后保持不变，第一排抬高 2.1 米。 本文所建立的模型通俗易懂，求解简单明了，对模型进行验证发现与现实生活中的 实际情况十分吻合，因此具有很强的实用性和推广意义。 关键词： 离散加权 平均满意度 优化模型
    一、问题重述 影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘 的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使 人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角不超过 030 ；记影院的屏幕高为 h ，上 边缘距离地面高为 H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角，第一排和最后一排与 屏幕水平距离分别为 ,d D ，观众的平均座高为 c（指眼睛到地面的距离），已知参数 h =1.8. H =5， 4.5, 19 求解以下问题： (1) 地板线的倾角 (2) 地板线的倾角一般超过 020 ，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线 时，求最佳座位的所在位置。 D  ， c =1.1(单位 m)。 d  010 倾角。 (3) 地板线设计成什么形状，可以进一步提高观众的满意程度。 二、问题的分析 电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位 的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角，越大越好，而越小越好，最佳位 置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。 本文通过对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型 满意度函数。 针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数 的最大值，建立离散加权的函数模型并利用 Matlab 数学软件运算求解； 针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大， 即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将 自变量转化为地板线倾角； 针对问题三，即在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意 程度可以进一步提高。 本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文 中将作以下假设。 三、模型假设 1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度； 2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性； 3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性； 4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘； 5.相邻两排座位间的间距相等，取为 0.8 m ； 6.对于同一排座位，观众的满意程度相同； 7.所有观众的座位等高为平均座高； 8.影院的的地板成阶梯状。 1
    四、符号说明  水平视角  仰角  地板线与水平线的倾角  视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 S S 观众对水平视角为的满意程度 观众对仰角为的满意程度 d 第一排离屏幕水平距离 S 平均满意程度 D 最后一排离屏幕水平距离 c ,  c 视角、仰角在综合满意度 iS 中的权重 h 屏幕的高度 l 相邻两排座位间沿地板线方向的间距 H 屏幕上边缘离地面的高度 五、模型的建立与求解 5.1 问题一 每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两 个因素：水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大 越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰， 引起不适，要求不超过 030 。 5.1.1 模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角 以 第 一 排 观 众 的 眼 睛 为 原 点 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 如 图 1 所 示 ： A y h 屏 幕 B hcH  tanx hH  地面 d 视觉线 地板   c O M  x P c tanx dD  图 1 影院座位设计的剖面图 E S N x 其中， AB 为屏幕，MS 为地板线，OE 为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可 ) ， ，屏幕上下点的坐标分别为 ( cHdA   设视觉线OE 上任意一点 P 的坐标为 ( chHdB ， AP 的斜率记为 APk   tan ,( ) xx , BP 的斜率记为 BPk 。 , , 由斜率公式得： ) 2
    k AP  tan   x tan x   (  cH  ) d ， k BP  tan( )   x tan   x chH   ) ( d  则直线 AP 和 BP 的斜率与夹角满足如下关系： tan   k k  BP 1 kk  BP AP AP  ( x  2 d )  ( x tan  ( ) xh d )( xcH    tan   chH  ) 仰角满足条件：  ]30,0[  所以： 0  tan   33  0 tan x   ( x  cH  ) d  33 cH  33  33 d tan  cHx   tan  由公式(1.1) (1.2)得到模型为： max   arctan ( dx  ) 2  ( x tan  ( ) dxh )( xcH    tan   chH  ) 0 dDx     .. ts 33 cH d    33 tan    5.1.2 模型Ⅰ的求解 cHx   tan  10 30 当 仰角为 水平距离为 。 5.1.3 模型Ⅱ的建立：离散加权模型 时，用 Matlab 软件运算求解（程序见附录 1），得最大视角为 ， .15.4  米。即 P 点的坐标为 米2274 .1x 7274 7274 .6  3046 7274 .0, .1( (1.1) (1.2) (1.3) .13 9522  ， ) 为最佳位置。离屏幕的 在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l ，考虑仰角和视角对 （查阅相关资料间距一般取 0.8 米），则在水平方向的间距为 cos 观众的满意度为主要因素。 l 对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到： tan   x tan x   (  cH  ) d ( k  )1 l  ( k  cos )1 l   cos (  tan  cH  ) d tan   (( k  )1 l cos   d ) 2  (( k  )1 l (( )1 l kh  tan cos  cos  ) d   )(( cH  k  )1 l cos  tan (2.1)  ) chH  (2.2) 其中， k  ,3,2,1  , n ， n 为地板线上的座位的总排数，且 n  1]  19 。 5.14[ cos l 一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意的 看法就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题 意，在假设条件下，对于第 k 排座位，建立观众对视角、仰角的满意度函数 ]1[ 如下： 3
    kS   tan tan  k  max tan  tan   min  min kS  1  tan tan  k  max tan  tan   min  min (2.3) (2.4) 表示在给定的情况下最优 式中 满意度， k  , 为第 k 排座位上观众视角和仰角， min, min max, 表示在给定的情况下最差满意度。 k max 视角、仰角在综合满意度 kS 中的权重分别为  c c , ，建立第 k 排座位综合满意 度函数如下： Sc k  c   S k   Sc k  c  (2.5) 根 据 地 板 线 倾 角  10  ， 通 过 计 算 可 以 得 出 .5 4210    .15 8975  ， .4 0451  S k    Sc k  c  .40     9149 Sc k  c  ，主观给定权重 S 6.0 4.0 S k  4.06.0    k  C   ,6.0 C   4.0 ，根据模型的建立，可以得出：  .3 1596 tan  k  .0 5025 tan  k  .0 1357 (2.6) 将式(2.1)和式(2.2)带入公式(2.6)得到优化模型为： ((* )1 cos l kh  tan cH    .3 1596 )1 cos l  max S k  2 ) d   )(( k  cos ) d   cos (    tan  (( k  cH  ) d  .0 1357 )1 l cos  tan  chH  ) (  .0 (( k 5025 )1 l k  cos )1 l  )1 ( k l  0 dDx     33 cH d   .. ts  33 tan     cos )1 ( k l    x  cHx   tan  , k  ,3,2,1  19, 用 Matlab 软件运算求解（程序见附录 2）可得： 4 S ，仰角为 1282 .2x .26 3635 9084   米， 4k 排，最大满意 ,最佳位置离屏幕的水平 ,最大视角为 米8635 .6  .13 。 5.1.4 模型Ⅱ的求解 .25.4 .0 6176 度为  距离为 5.2 问题二 5.2.1 模型Ⅲ的建立 3635 n 要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求 S 的最大值。由模型Ⅱ可知，第 k ，平均满意度 S 的大 排观众的满意度为 S ,则观众平均满意程度函数为： 小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角和视角所决定。所以，要使观众的满意 程度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的 平均满意程度就越大；(2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。 由式(1.1)可知，地板线倾角的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生 改变，且在某一座位(即 x 取某一定值)，在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐 渐增大，见图 2 所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角越大,仰角不超过 k S  n S 1  k 4
    条件的座位所占的比例越大。 α随θ的变化曲线 7.15 化 变 α角 7.1 7.05 7 6.95 6.9 6.85 6.8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 θ角变化 化 变 β角 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 β随θ的变化曲线 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 θ角变化 图 2 视角和仰角随变化的变化曲线 .40 9149  ，不满足仰角的条件，由模型Ⅱ可知第 k 排座位 第一排观众的仰角为 所对应的仰角的正切值： cos )1 l )1 l  ( k   tan  k k (   cos (  tan  cH  ) d , k  ,3,2,1  , n 5.14[ cos l 其中 n 为地板线上的座位的总排数： n  1]  ，随着地板线倾角的变化，相 邻两排座位间的间距l 不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地板线倾 角不超过 20 ，所以 ，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，  n 20 19 即 .15 0543  。 由模型Ⅰ可求出第 k 排座位所对应的水平视角的正切值为： tan   (( k  )1 l cos   2 d )  (( k  )1 l 5.2.2 模型Ⅲ的求解 (( )1 l kh  tan cos  cos  ) d   )(( cH  k  )1 l cos  tan  chH  ) 让地板线倾角在  ]20,0[  内逐一取值,步长为 01.0 ；让 x 在 ]5.14,0[ 内逐一取值,步 长为 0.01。 对一个取定的，判断 x 所在的位置仰角是否超过 30 ，若超过，则该座位的综合满 意度必须同时考虑仰角和视角的取值；否则，只需要考虑视角的取值，把所有座 位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大， 最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时的取值。 1143  当 取 地 板 线 倾 角 为  变 化 时 ， 通 过 计 算 可 以 得 出 8975  .15 ， .5    0    .40 9149  。 S 由模型Ⅱ的(2.5)式得：  k Sc k  c    Sc k  c  6.0  S k  4.0 S k  4.06.0    （3.1） 5
    所以，将式(2.1)和式(2.2)带入公式(3.1)得到平均满意度的优化模型为： n k k S  1 n 20 n  .15   dDx   ( cos )1 k l    max S . ts 19   0    0   x  0543  , k  ,2,1  , n 其中n 取整数 用 Matlab 软件计算（程序见附录 3）可得：最大平均满意度为 .0S 6572 ，对应地 .15 板线的倾角为 5.3 问题三 5.3.1 模型的建立与求解 0543  。 由上两问可知,观众的满意程度与仰角,视角和地板线倾角都有关,而每一座位到 屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角，视角随着的变化 情况。 引理 地板线不管设计成什么形状,各排的间距不变，区别在于各排的高度差如何变化， 若竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点 位于两定点的垂直平分线上时，动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂直平 分线越近，动点与两定点形成的视角越大。 要使每一个座位所对应的视角取最大值,对应的 y 值应在直线上.设计地板线应考虑 以下几个方面：(1)第 k 排座位所在的位置应高于第 1k 排座位所在的高度；(2)前一排 的观众不会挡住后一排观众的视线；(3)视角尽可能大,即眼睛的位置应尽可能分布在垂 直平分线的附近；(4)仰角的座位所占的比例尽可能大。 假设每排座位所在的点构成一条折线，任意相邻两排座位水平间距为l ，第 k 排座 位地板线倾角为 k ，第 k 排座位与第 1k 排座位地板线倾角变化为  。从而可得：  k (0  ，故： )1  k  n  k 1  tan  k  同理可得： ( k  )1 l tan  k  cH  ( k  )1 l (  d )  n  k 1  l tan[( k )1  ]  cH  ( k  )1 l (  d ) tan    (( k  )1 l cos   d ) 2  (( k  )1 l (( k  )1 l cos   d ) 2  ( l cos l tan[( n   k 1  )1 cos (( kh l  tan cos   )1 cos (( kh l  )1 ] k   ) d   )(( cH  ) d   )( lcH  k  )1 l cos  tan  chH  ) cos n   k 1  l tan[( k )1  ]  chH  ) 观众平均满意程度函数为： S  n k S k 1  n 6
    可算出地板线上的座位的总排数为： n  5.14[ cos l 1]  ，则可计算得当 5.2   时， S max  .0 6692 。    但此时 19(  5.2)1  45 ，根据一般习惯，要求地板线倾角  45 得最后一排座位的地板线倾角为 20 )1   进一步的修改。当 时，令 5.2   问题二中所建立的模型。由于 持不变。 ，但此时求 ，这大大超过观众的心理范围，因此文中将对此 ( i 时，即将问题转化为 ，则地板线倾角增加到第 8 排到达 20 ，然后保 )1    20   20   20 。当  ( i  对于这两种情况，分别代入不同的函数，利用 matlab 数学软件求得：满意度函数的 最大值 S max  .0 6643  .0 6572 。 可以通过利用 Matlab 软件来描点，如图 3 所示： 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 图 3 从上图可以看出，报告厅座位的前8 排呈折线状，以 5.2   递增,当倾角增加到  20  时保持不变，且第一排应抬高 2.1 米。 六、模型的评价与推广 6.1 模型的评价 6.1.1 模型的优点: 模型抓住影响观众满意程度的主要因素(仰角和视角),合理构造满意度函数,过程 清晰明了,结果科学合理。 模型具有较好的通用性,实用性强,对现实有很强的指导意义。 6.1.2 模型的不足以及需要改进的地方: 模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同,实际情况并非如此,这就使得我们 的模型对解决实际问题时有一定的局限性。 模型建立的过程中,以观众眼睛所在的点为坐高点,没有考虑前排观众额部对后排 观众的遮挡,需要进一步的考虑在内。 6.2 模型的推广 本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用,所建立的模型可用于 大型场所的座位的设计与安排，以及彩民对中奖率的满意程度等问题上。同时对于已知 剖面来分析物体的形状这一类型问题的处理有很好的参考价值.例如:运用该模型去解 决会议厅、报告厅的布局,灯塔高度的设计等相关的问题。因此具有很强的实用性和推 广性。 7
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