多目标测试函数.doc-资料库

常用的多目标优化问题的测试函数无约束系列: 主要来自参考文献： Zitzler E, Deb K, Thiele L. Comparison of multi-objective evolutionary algorithms: Empirical study [J]. Evolutionary Computation, 2000, 8(2): 173-195. （1）ZDT1 ( ) 1 9   g x ) min ( f x 1 1 ( ) min f x 2           s.t. 0   x i  1,   f g 1 x 1 (1 g  m  2 i  1,2,...,30  x m i  ( i ) 1) m  30, 目前已知的Pareto前端的特征：凸的（2）ZDT2 ) min ( f x 1 1 ( ) min f x 2          s.t. 0   x i  1, ( ) 1 9   g x 2 )  f g 1 x 1  (1 g  m  2 i  1,2,...,30  x m i  ( i 1) m  30, 目前已知的Pareto前端的特征：凹的（3）ZDT3 ) min ( f x 1 1 ( ) min f x 2          s.t. 0   x i  1, ( ) 1 9   g x  f g 1 x 1 (1 g  m  2 i  1,2,...,30  x m i  ( i 1)  f g 1  sin(10 f  1 ) ） m  30, 目前已知的Pareto前端的特征：非连续的 ) min ( f x 1 1 ( ) min f x 2   x 1 (1 g  f g 1        s.t. 0  m ）  2 i  i  （4）ZDT4 ( ) 1 10 （   g x m 1)   ( 2 x i  10cos(4 x  )) i  x 1 1, 5    x i  5, 2,3,...,9 m  10, 目前已知的Pareto前端的特征：凸的

（5）ZDT6          min ( f x 1 1 ( ) min f x 2 ) 1 exp( 4 )sin (6   (1 g  x  1  f g 1 ) 6 x  1 ) ( ) 1 9((   g x  1)) 0.25 ) 2   m  2 i  1,2,...,10 x m i ( .t. 0 s  x i  1, i  m  10, 目前已知的Pareto前端的特征：凹的（6）SCH  min ( ) f x 1  min ( ) f x  2  5 s.t. 10   2  x    x ( x 2 2)  5 10 目前已知的Pareto前端的特征：凸的（7）FON       x min   xf 1 1  exp(  min   i 2 f   x  ,4,4 i 1  exp(   3,2,1 3  i 1  3  i 1  ( x i  2 ))3/1 ( x i  2 ))3/1 特征：最优Pareto前端是非凸的（8）DTLZ1 (1  ( )) g x (1  x 2 )(1  ( )) g x   x 1 x x 1 2 1 2 1 2 1 2  min ( ) f x  1   min ( ) f x  2  min ( ) f x  3   ( ) 100(10   s.t. 0     g x 1, i (1 x i     x 1 )(1  ( )) g x  m  i 3  ( x i  2 0.5)  cos(20 (  x i  0.5))) 1,2,...,12 m  12, 目前已知的Pareto前端的特征：凸的 min ( ) f x 1 cos( x 1 )cos( ( ) f x 2 cos( x 1 )sin( )(1 )(1  ( )) g x  ( )) g x x 2  2  2 ( )) g x x 2 （9）DTLZ2 ( ) f x 3  sin( x 1 )(1  min min            s.t. 0    2  2  2  i   m  3 i  1, i  ( ) g x  ( x 2 0.5)  x i  1,2,...,12

m  12, 目前已知的Pareto前端的特征：凸的（10）DTLZ3 （11）DTLZ4 （12）DTLZ5 （13）DTLZ5                                               min min min )( xg 2 )( xf 1 )( x f )( x f 3 [| 100    x  0.. ts  x i  ,1 )) ( cos( 1( x xg   1 1( cos( ( )) xg x   1 1( )) cos( ( xg x   1  2 | ( )5.0 x    x x  ,2,1   n i , i i )2/ )2/ )2/ cos( cos( sin( sin( 20 x  2 x  2 x  1 ( x  )2/ )2/ )2/  i ]))5.0  cos( x  1  cos( x  1  cos( x  1 )2/ )2/ )2/ cos( sin( sin(  x  2  x  2  x  1 )2/ )2/ )2/ 1(  1(  1(  )5.0  )) ( xg ( )) xg )) ( xg 2 2 )( xf  1 )( x f  )( x f   ( x x x  x   3 i i i ,1 i  ,2,1  , n min min min )( xg  0.. ts min min min 2 )( xf  1 )( x f  )( x f  9 x | | 3 x 1 x 2 1(   xi  x x ( ( fhxg )) , f 2 1 , g ) 1)( xg  ( fh 1 , f 2 , g )  3 0.. ts  x i  ,1 i i 2 f    1   1 i  ,2,1    sin( 3 f  )) i 1( g , n min min min 2 )( xf  1 )( x f  )( x f  9 x | | 3 x 1 x 2 1(   xi  x x ( ( fhxg )) , f 2 1 , g ) 1)( xg  ( fh 1 , f 2 , g )  3 0.. ts  x i  ,1 i i 2 f    1   1 i  ,2,1    sin( 3 f  )) i 1( g , n       （14）DEB min )( xf 1  x 1 min f 2 )( x  1(  10 x 2       1,0x   1)        x 1 10 x 2 2    x 1 10 x 2 1  1  8 sin( x  1 )    

(  10 exp(  )2.0 2 x i  x i 1  2 ) 8.0 ( x i  sin5 x i 3 ) m 1   i 1  m  i 1  （15）KUR min )( xf 1  min f 2 )( x        5,5x  约束系列：主要来自参考文献： [1] Deb k, Thiele L, Laumanns M, et al. Scalable multi-objective optimization test problems//Congress on Evolutionary Computation. Piscataway: IEEE Press, 2002: 825-830. [2] Deb k. Multi-objective genetic algorithms: Problem difficulties and construction of test problem. Evolutionary Computation, 1999, 7(3): 205-230. min f j （1）DTLZ7            .. ts 0  (2) Belegundu 函数： 3,2,1 j f  2,1 ( x )] 01  j  | jn 3 |  1 |3/ j j | f , 3 f j n       )( x  )( xg |( i j  4)( f x x i n | )1  3 ,01)( x 2 [min )(2 x 3 , ,1 j j i i  3 , ,2,1 n i     i 2 ) min ( , x y f x y    1 2 min ( , ) x f x y y   2 . . - -1 0 x s t y   - 7 0 y x   )( xg 3 x        )( xf i ,1 其中 0   x 5 0   y 3 (3) Binh(2)函数：        2 2 4 4 min ( , ) y x f x y   1 2 ) ( , 5) ( ( min x f x y    2 2 2 25 0 5) . . ( y s t x     2 2 3) ( - ( -8) y x    y  5) 2 7.7 0  其中 15   , x y  30 (4) Srinivas 函数：        2 2) min ( , ) ( x f x y   1 ) 9 ( , min ( x f x y y   2 2 2 . . 225 0 y s t x    10 0 3 y x    2  1)  2 ( y  2 1) 

(5) Tanaka 函数：          其中 20   , x y  20 min ( , ) f x y 1 ( , min ) f x y 2   x y . . - s t x 2  2 y 1 0.1*cos(16arctan ) 0    x y ( x - 1 2 2 )  ( y - 1 2 2 )   1 2 0 其中 0  ,x y  pi (6) Jimenez 函数： ) 5 max ( , 3 y x f x y   1 8 2 ) ( , max x f x y y   2 4 -100 0 . . y s t x   2 -150 0 3 x y   200 -5 -3 0 x y  0 75- 2 -8 y  x           (7) Obayashi 函数：其中 , x y  0      max ( , ) f x y 1 ( , max ) f x y 2 2 2 . . x y s t     0 x y 其中 0  , x y  1 ( x 2 2  )1 min min .. ts [  )( xf 1 )( x f 2 )( xe  1 )( xe  2 ]20,20 (2 x  1 ( 9 x   1 2 2 x x  1 2 3 x x  1 2 2 )2   2 )1 x  2 225  10   0 min min .. ts )( xf 1 )( f x 2   x 1 x 2 )( xe 1  2 x 1  2 x 2 (8) SRN (9) TNK        ix          ix cos1.01  16    )5.0 arctan x 1 x 2    0 2  5.0  ( x 1  2 )5.0  ( x 2  )( xe 2 ] ,0[ 

)2  2  ( x 4  2 )4  ( x 5 2  )1 2 x  2 5 ( x  3 x )1  2 6 (10) OSY              0 min min .. ts  x 1 2 4 2 x  2  2  2 ( x  (25 )2 )( xf x  1 1 2 )( x x f x x    3 2 2 1 )( 0 2 x xe x    1 2 1 )( 6 0 x xe x    1 2 2 )( 2 0 x xe x    1 3 )( 3 2 0 x x xe    2 1 4 2 )( (4 )3 0 x x xe     3 4 5 2 )( )3 ( 0 4 xe x     6 5 , 1,10 0,5 , x x x     x 6 , x 2 3 5 2 6 x 4  6 (11) CONSTR min min         1.0 .. ts  )( xf 1  f 2 )( x  x 1 1  x 1 x 2 x  x 1 9 6  2 9 x x   1 2 0,1 x   2 1  5 特征：线性约束，最优 Pareto-前端连续． (12) CTP1 min min .. ts      )( xf 1 )( x f 2 )( xe  j   f x 1 )( exp( xg )( x a  2 j /)( xf  1 exp(  )) ( xg )) ( xfb j 1  ,0 j  ,2,1  , J (13) CTP2~CTP7 min min .. ts          )( xf 1  x 1 f 2 )( x )( xe a   sin(  1)( )( xf    xg 1 )( xg  )( )( ) cos( f x e   2 (sin( )( )( b f x  2      sin( ))) e )( ) xf  1 ) cos(   )( xf 1 CTP2:   ,2.0 a  ,2.0 b  ,10 c  ,1 d  ,6 e  1 CTP3:   ,2.0 a  ,1.0 b  ,10 c  ,1 d  ,5.0 e  1 CTP4:   ,2.0 a  ,75.0 b  ,10 c  ,1 d  ,5.0 e  1 CTP5: ,2c 其他参数可与 CTP2，CTP3，CTP4 等相同 CTP6:   ,1.0 a  ,40 b  ,5.0 c  ,1 d  ,2 e  2- CTP7:   05.0 , a  ,40 b  ,5 c  ,1 d  ,6 e  0

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