2012年辽宁高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2012 年辽宁高考理科数学试题及答案注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)已知全集 U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合 A=｛0,1,3,5,8｝，集合 B=｛2,4,5,6,8｝，则 ) ( AC U  ( BC U ) 为 (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B 【解析一】因为全集 U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合 A=｛0,1,3,5,8｝，集合 B=｛2,4,5,6,8｝，所以 AC U    ,9,7,6,4,2 BC U   9,7,3,1,0 ，所以 ) ( AC U  ( BC U ) 为{7,9}。故选 B 【解析二】集合 ) ( AC U  ( BC U ) 为即为在全集 U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选 B 【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。采用解析二能够更快地得到答案。  (2)复数 2 i  2 i  4 (A) 3 i 5 5 【答案】A (B) 3 5 4 i 5 (C) 41 i 5 (D) 31 i 5 【解析】 2 2   i i  (2 (2   i i )(2 )(2   i i ) )  3 4 i  5   3 5 4 5 i ，故选 A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。 (3)已知两个非零向量 a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是 (A) a∥b (B) a⊥b

(C){0,1,3} 【答案】B (D)a+b=ab 【解析一】由|a+b|=|ab|，平方可得 a b=0, 所以 a⊥b，故选 B 【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量 a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以 a⊥b，故选 B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。 (4)已知命题 p：  x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2 x1)≥0，则  p是 (A)  x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2 x1)≤0 (B)  x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2 x1)≤0 (C)  x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2 x1)<0 (D)  x1，x2R，(f(x2) f(x1))(x2 x1)<0 【答案】C 【解析】命题 p为全称命题，所以其否定  p应是特称命题，又(f(x2) f(x1))(x2 x1)≥0 否定为 (f(x2) f(x1))(x2 x1)<0，故选 C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题。 (5)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【答案】C 【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有 3!种排法，三个家庭共有 3! 3! 3!    (3!) 3 种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。因此不同的坐法种数为 4 (3!) ，答案为 C 【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。 (6)在等差数列{an}中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【答案】B 【解析】在等差数列中，  a 1  a 11  a 4  a 8    16, s 11  a 11 ) 11 (  a 1 2  88 ，答案为 B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。

(7)已知sin (A)  1   cos  ， (0，π)，则 tan= 2 (B)  2 2 (C) 2 2 (D) 1 【答案】A 【解析一】 sin       2, 2 sin(    ) 4   2, sin(    4 ) 1     (0 ， ),     ,  tan    1 ，故选 A cos 3  4 cos 【解析二】  sin      2,   2, sin 2    1,     ), 2   (0,  (0,2 ), 2     ,  tan    1 ，故选 A 2  (sin 3  2 cos )   3  4 ,    【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。 (8)设变量 x，y 满足 x   0   0  10  y  15  y x y , 20 则 x 3 2  的最大值为 y (A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D 【解析】画出可行域，根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y最大，最大值为 55，故选 D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。 (9)执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值是 (A)  1 (C) 3 2 【答案】D (B) 2 3 (D) 4 【解析】根据程序框图可计算得  1; s   1, i  2; s  2 3 , i  3; s  s  4, i 3 , 2 i  4; s  4, i  由此可知 S 的值呈周期出现，其周期为 4， 5, 输出时 9i  因此输出的值与 1i  时相同，故选 D

【点评】本题主要考查程序框图中的循环结构、数列的周期性以及运算求解能力，属于中档题。此类题目需要通过计算确定出周期（如果数值较少也可直接算出结果），再根据周期确定最后的结果。 (10)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，领边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32cm2 的概率为 (A) 1 6 【答案】C (B) 1 3 (C) 2 3 (D) 4 5 【解析】设线段 AC 的长为 x cm，则线段 CB 的长为(12 x )cm,那么矩形的面积为 (12 x x ) cm2，  ，解得 4 ) 32  x 或 x 8 。又0 x  ，所以该矩形面积小于 32cm2 的概率为 2 3 12 ，由 (12 x x 故选 C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。 (11)设函数 f(x) ( x R 满足 f( x )=f(x)，f(x)=f(2  x)，且当 [0,1] x  ) 时，f(x)=x3.又函数 )x |，则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 1 3 , 2 2 (C)7 (B)6  [ ] 上的零点个数为 (D)8 g(x)=|xcos( (A)5 【答案】B 【解析】因为当 [0,1] x  时，f(x)=x3. 所以当 [1,2]  时，(2 - ) x  [0,1] ，f(x)=f(2 x)=(2 x)3，当 x  ] 时，g(x)=xcos( )x ；当 x  [ 时，g(x)= xcos ( )x ，注意到函数 f(x)、 g(x) 都是偶函数，且 f(0)= g(0)， f(1)= g(1)， 1 ) ( 2 象，函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外，分别在区间 1 2 g ) ( 0  ，作出函数 f(x)、 g(x)的大致图 3 2 [  、0, 、 ,1 、, 上各有一个零 ,0] [ ] [ 1 2 1 2 3 ] [1 ] 2 点，共有 6 个零点，故选 B 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大。 (12)若 [0, x   ，则下列不等式恒成立的是 ) 1[0, 2 x 1 3 2 2 g , ]

(A) 1xe   x 2 x (C) cos 21 1 x x 2 【答案】C (B) 1 1  x 1   (D) ln(1  x )  x  x 1 2 21 x 8 1 4 2 x 【解析】设 ( ) f x  cos x (1   1 2 2 x )  cos x 1   1 2 2 x ，则 ( ) g x  ( ) f x   sin x  x , 为增函数，所以 ( ) g x  ( ) f x ≥ g (0) 0,   所以 ( ) g x   cos x 同理 ( ) f x ≥ f (0) 0   ， )  ≥ ，所以当 [0, 1 0 x   时， ( ) g x 21 x 2 ) 0 ≥ ，即 (1   cos cos x 21 1 x x 2 ，故选 C 【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第第Ⅱ卷 22 题~第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 (13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。【答案】38 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为 4、3、1，圆柱的底面直径为 2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为 2(3 4 4 1 3 1) 2        1 1 2      38 【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积。

(14)已知等比数列｛an｝为递增数列，且 2 a 5  a 10 ,2( a n  a n  2 ) 5  a n 1  ，则数列｛an｝的通项公式 an =______________。【答案】 2n 【解析】 2 a 5    a 10 , ( a q 1 4 2 )  9 a q 1 ,     q a , a 1 n q ,n  2( a n  a n  2 ) 5  a n 1  , 2 (1  a n  2 q ) 5  a q n , 2(1   2 q ) 5 , q  解得 q  2 或 q  1 2 ( 舍去），   a n n 2 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。 (15)已知 P，Q为抛物线 2 x y 上两点，点 P，Q的横坐标分别为 4， 2，过 P、Q分别作抛物线 2 的切线，两切线交于 A，则点 A的纵坐标为__________。【答案】 4 【解析】因为点 P，Q的横坐标分别为 4，  2，代人抛物线方程得 P，Q的纵坐标分别为 8,2. 由 2 x  2 , y 则 y  21 x 2 ,   y  所以过点 P，Q的抛物线的切线的斜率分别为 4， 2，所以过点 x , P，Q的抛物线的切线方程分别为 y  4 x  8, y   2 x 纵坐标为 4  联立方程组解得 1, y 2, x   故点 A的 4, 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。 (16)已知正三棱锥 P  ABC，点 P，A，B，C都在半径为 3 的求面上，若 PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面 ABC的距离为________。【答案】 3 3 【解析】因为在正三棱锥 P  ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面 ABC的距离为球的半径减去正三棱锥 P  ABC在面 ABC上的高。已知球的半径为 3 ，所以正方体的棱长为 2，可求得正三棱锥 P  ABC在面 ABC上的高为

2 3 3 ，所以球心到截面 ABC的距离为 3  2 3 3  3 3 【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 中，角 A、B、C的对边分别为 a，b，c。角 A，B，C成等差数列。在 ABC (Ⅰ)求cos B 的值； (Ⅱ)边 a，b，c成等比数列，求sin sinA C 的值。【答案及解析】【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。 (18)(本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 ABC A B C  / / / ， BAC  90  ， AB AC   AA /, 点 M，N分别为 /A B 和 / /B C 的中点。 (Ⅰ)证明： MN ∥平面 / / A ACC ;

(Ⅱ)若二面角 /A MN C  为直二面角，求的值。  【答案及解析】

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