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研究生导师双向选择配对模型.pdf

发布时间：2022-06-06 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.43M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    第 35 卷第 7 期 2005 年 7 月 数学的实践与认识 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y V o l 7　 35　N o Ju ly, 2005　 研究生录取问题的优化模型与评述 韩中庚 (解放军信息工程大学信息工程学院, 河南 郑州　450002) 摘要: 　针对 2004 年首届全国部分高校研究生数学建模竞赛的D 题“研究生录取”问题的评卷情况, 概括地 介绍了这个问题的背景、评卷要点、答卷中存在的问题. 并且给出了这个问题的一种有效的解决方法. 关键词: 　研究生录取; 双向选择; 隶属函数; 满意度; 优化模型 1　研究生录取问题的综合评述 1 1　问题的背景 目前, 随着我国教育体制的改革和实际工作的需要, 各学校研究生的招生规模不断扩 大, 一年一度的研究生招生录取工作已成为有关学校一项重要工作. 由于我国对人才需求 的变化趋势, 报考研究生对广大本科生的吸引力日趋增强, 从而导致了竞争性也日趋激烈, 传统的考试分数定终身的招生录取方法已不适合当前的形势. 为此, 各学校都采取了“初试 + 复试+ 面试”的方法, 尤其是进一步加大了复试和面试成绩在招生录取中的比重. 同时注 意到, 在人才的培养过程中, 虽然基础教育和学历教育不可轻视, 但更应该突出人才的特长 培养和个性发展. 对于学生而言, 一般都各有所长, 为此, 如何针对学生兴趣和特长, 通过研 究生的教育培养出一些综合素质好、综合能力强、有专业特长的专门人才, 研究生的招生录 取工作在人才的选拔和培养过程中都起到重要的作用, 即是把好人才入口关的重要环节. 在研究生的复试和面试过程中, 避免不了会有不同专家的主观意见和偏好, 对学生有不 同的看法和评价, 如何综合专家组各专家的意见做出合理的选择方案, 这是值得研究的一个 问题. 当然“多数原则”是常用的一种方法, 但是, 在这个问题上“多数原则”未必一定是“最 好”的. 怎么选择, 如何兼顾考虑学生和导师两方面的意见和偏好, 确定出“双向选择”方案, 这是要解决的关键问题. 2　评卷的基本要点 1 “研究生录取”问题是一个综合性较强、方法较为灵活、比较开放的问题, 可以使用方法 可能很多, 任何一个子问题都没有绝对的数值答案, 主要是看数据的量化方法、正规化处理 方法、综合指标的确定方法和解决问题方法的合理性, 重在模型的建立和方案的表述. 根据 评卷的情况来看, 也充分体现出了这一特点. 为此, 在评卷过程中给出了如下的评判要点: 问题 (1) 　首先, 综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素, 合理地确定选优指标, 并 择优录取 10 名研究生. 然后, 建立优化模型给出 10 名研究生与 10 名导师之间最佳的双向 选择方案. 即学生可根据自己的专业发展意愿、导师的基本情况和导师对学生专长的期望 要求来选择导师; 导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期 望要求等来选择学生, 使师生双方的“满意度”最大. 注意以下几点: (1) 对 8 名专家给出的面试评分进行合理的量化, 量化方法可用多种方法实现, 但说明 要清楚. 并对 8 名专家的面试评分进行合理地综合给出专家组的综合评分, 即作为学生的
    7 期 复试得分. 韩中庚: 研究生录取问题的优化模型与评述 721 (2) 将 15 个学生的初试分和复试分进行正规 (或归一) 化处理, 利用取加权和等方法得 到综合实力得分 (权值的分配要合理). 并根据 15 个学生的综合实力得分进行排序, 择优录 取 10 名研究生. (3) 类似面试评分的量化方法, 将 10 名导师对学生的期望要求条件和导师的基本条件 进行合理的量化, 并进行正规化处理. (4) 每一名导师根据学生的复试成绩和自己对学生的期望要求, 并考虑到学生申报志 愿的影响, 对每一个学生都应该有一个客观评价, 即“满意度”; 而每一个学生根据自己的实 力 (专家组的评价)、导师的期望要求和导师的基本情况, 并考虑自己的发展志愿, 对每一位 导师都应该有一个客观评价, 即“满意度”. 满意度的定义要合理, 相关因素都要考虑到. (5) 每一位导师和每一个学生之间都有一个相互满意度 (或评价指标) , 并以此为目标 建立优化模型, 求解得到使师生双方“满意度”最大的双向选择方案 (数值结果不做要求). 问题 (2) 　在问题 (1) 的基础上, 加上一对一的约束条件建立优化模型, 从而可以得一名 导师带一名研究生的最佳方案. 问题 (3) 　仿照问题 (1) 的解决方法让 10 名导师综合学生的初试成绩、专家组的面试成 绩和导师对学生的要求条件给出 15 个学生的综合评价得分, 即可以认为是学生的一个客观 实力水平指标值, 按大小排序, 择优录取 10 名研究生. 然后, 在不考虑学生原有的专业志愿 的情况下, 让 10 名导师和 10 名研究生之间做双向选择, 并给出双向选择策略. 注意以下几 点: (1) 一个导师在选择学生时, 主要依据该导师对学生的满意度, 同时还要考虑学生的选 择和其他导师的选择情况. 一个学生在选择导师时, 主要依据该学生对导师的满意度, 同时 还要考虑导师的选择和其他学生的选择情况. (2) 导师和学生之间有一个是否相互选择的问题, 导师和导师之间、学生和学生之间都 有一个利益冲突问题, 即是否在选择中发生两个 (或两个以上的) 人同时选择同一个对象, 为 此可以假设师生双方的选择行为都应该是理智的. (3) 要解决这个问题, 具体方法可能很多, 无论用什么方法都不能给任一个导师或学生 赋有优先权, 所有的导师和学生在做双向选择时的地位都是平等的, 任何有优先权的选择方 案都是不可取的. 将学生和导师分别排序, 然后一一对应的方案, 或按排列顺序依次选择的 方案也是不合理的. 问题 (4) 　这个问题与问题 (3) 相似, 可以利用问题 (1) 的量化方法和问题 (3) 的双向选 择方法完成. 注意以下几点: (1) 根据 10 名导师的基本情况, 每一名导师都存在一个客观的实力水平指标, 主要是 由发表论文数、论文检索数、编 (译) 著作数、科研项目数四项条件确定, 需要对相关数据进行 合理的处理, 并适当考虑 15 名学生对每一位导师评价意见的影响, 综合确定出导师的综合 评价指标及排序选优方案, 选出 5 名导师. (2) 由这 5 名导师仿问题 (3) 的解决方法依据 15 个学生的初试成绩、复试成绩和这 5 名导师对学生的评价综合选优, 确定录取 10 名研究生. 然后让 5 名导师和 10 个学生之间 做双向选择. (3) 在师生双方都是理智的假设下, 建立 5 名导师和 10 个研究生之间的双向选择的优
    821 数　学　的　实　践　与　认　识 35 卷 化模型, 同时完成选择过程, 使得师生双方的总体满意度最大. 问题 (5) 　这是一个完全开放性的问题, 主要看参赛者是提出有创造性的观点. 1 3　存在的问题概述 本题的背景贴近研究生工作的实际, 也是发生在研究生身边的事, 为此大约有 36% 的 参赛队都选择了这个题. 本题相对较为开放灵活, 解决方法可有多种, 如层次分析、加权求 和、模糊评判、模糊识别、整数规划、图论、多人对策方法等等. 初看容易入手, 事实上完整解 决并不容易. 在评卷过程中, 我们发现有些答卷出现了一些不该出现的问题和错误, 在这里 对有代表性几个方面的问题作以概述, 供大家在今后的学习和工作中引以为戒. (1) 在数据的量化与处理上, 有不少的参赛队都犯了较初等的错误, 对初试分和复试分 没有作正规化处理, 即将两个量纲不相同的量作了求和运算, 初试分为 500 分制, 复试分为 100 分制, 甚至是 10 分制也都作了加权和. 值得一提的是: 在数据的比较或运算时, 一定要 注意量纲的一致性, 任何指标数据的加权和都应该是在正规化处理或归一化处理后, 对同级 别的数据进行. ( 2) 在部分答卷中, 在确定双向选择方案的过程中, 没有充分体现出“双向选择”的实 质, 没有建立起实质的数学模型, 主观地给出一种原则, 比如给导师规定先后选择的原则, 或 给学生规定优先权等. 这是不符合“择优录取, 双向选择”的要求的, 这也反映了这些同学对 题意的理解和把握不够准确. (3) 部分答卷在解决问题 (2) 的选择方案中, 一个较多的问题是将导师和学生按某种评 价指标分别排序, 然后按顺序作一对一的分配, 即 1 对 1, 2 对 2, 依次类推. 这显然是不合适 的, 也不符合实际. 还有一类问题是让排在第一的导师优先选择最满意的学生, 排在第二的 导师次选, 依次类推, 排在最后的导师最后选, 即所谓的“优选优, 次选次, 差选差”, 这也是不 合实际的. (4) 关于部分答卷使用了模糊模式识别的方法, 其思想方法应该是很不错的, 但在贴近 度的定义上都存在缺欠和不足. (5) 对于问题 (3) 和问题 (4) , 很多参赛队解决的都是不太好, 一是没有明确的方法, 二 是没有建立起实质性的模型, 主观性强难以服人. 有的队把问题归结为一个对策问题, 思想 方法不错, 但没有给出完整的结果. 2　研究生录取问题的一种解决方法 问题 (1) 　 (1) 学生复试成绩的量化 首先, 由于各专家对每一个学生的五项条件都有一个主观评判结果, 据此可以确定各专 家对每一个学生的五项条件的量化分值. 再综合 8 名专家的评分就可以得到每个学生的量 化得分. 我们注意到, 学生的五项条件都具有一定的模糊性, 评价分为 A , B , C , D 四个等级, 即 构成模糊集U = {u 1, u 2, u 3, u 4}, 不妨设相应的评语集为{很好, 好, 较好, 差}, 对应的数值为 {5, 4, 3, 2}. 根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数 　　f (x ) = (x - 1 + a lnx + b, 　3 ≤ x ≤ 5 ) - 2 ]- 1, 1 ≤ x ≤ 3 (1)
    7 期 其中 , 韩中庚: 研究生录取问题的优化模型与评述 921 8, 即 f (3) = 0 01, 即 f (1) = 0 , a, b 为待定常数. 实际上, 当评价为“很好”时, 则隶属度为 1, 即 f (5) = 1; 当 8; 当评价为“很差”时 (在这里没有此评价) , 8942, a = 5245, 9126, 则专家对学生各单项指标的评价 (评语集) {A , B , C , D } = {很好, 好, 较好, 5245). 根据题目数据可以得到各名专家对每一个学生的 评价为“较好”时, 则隶属度为 0 则认为隶属度为 0 0 f (4) = 0 差} 的量化值为 (1, 0 五项条件的评价指标值. 例如: 专家 1 对应第 1 个学生的评价为 (A , B , A , B , A ) , 3699. 故代入 (1) 式可以得到相应的隶属函数. 经计算得 f (2) = 0 01. 于是, 可以确定出 3915, b = 0 9126, 0 1086, = 0 = 1 8, 0 其指标量化值为 (1, 　0 9126, 　1, 0 9126, 1). 于是, 8 位专家对学生都有相应的评价 矩阵, 记为 R k = ( r (k) j i ) 15×5 (k = 1, 2, …, 8). 由于 8 名专家的地位应该是平等的, 于是综合 8 名专家评价结果可以 得到 15 个学生的五项条件的复试得分为 　　rj i = 8 1 8 ∑ k= 1 j i ( j = 1, 2, …, 15; i = 1, 2, …, 5) r (k) 同样学生的五项条件在综合评价中的地位也应该是同等的, 则 15 个学生的综合复试得 分可表示为 　　B j = 5 1 5 ∑ i= 1 rj i ( j = 1, 2, …, 15) (2) 初试成绩与复试成绩的规范化 为了便于将初试成绩与复试成绩做统一的比较处理, 用极差规范化方法作相应的规范 化处理. 初试得分的规范化: A j - m in 1≤j ≤15 A j 　　A ′j = m ax 1≤j ≤15 A j - m in 1≤j≤15 A j 复试成绩的规范化: = A j - 356 416 - 356 ( j = 1, 2, …, 15) 　　B ′j = ( j = 1, 2, …, 15) B j - m in 1≤j ≤15 B j m ax 1≤j ≤15 B j - m in 1≤j ≤15 B j (3) 由综合成绩确定录取方案 对于不同的学校对待初试和复试成绩的重视程度可能会不同, 在这里用参数 ≤ 1) 表示学校对初试成绩的重视程度的差异, 即取初试成绩和复试成绩的加权和作为学生的 综合成绩, 则学生 j 的综合分数为 (0 < A ′j + (1 - 　　C j = 由实际数据, 对于适当的参数 (0 < 大小排序就可以择优录取 10 名研究生. )B ′j 　 ( j = 1, 2, …, 15) (2) ≤ 1) 可以计算出每一个学生的最后综合得分, 按 (4) 导师对学生的满意度 由于反映学生专长的五项指标和导师对学生专长的期望要求指标都分为四个等级, 并 且都具有模糊性, 即构成模糊指标集U = {u 1, u 2, …, u 5}, 五个指标元素分别为灵活性、创造 性、专业面、表达力、外语. 从心理学的角度来分析, 每一位导师对学生的每一项指标都有一 个“满意度”, 即反映导师对某项指标的要求与学生实际水平差异的程度. 通常认为导师对 学 生某项指标的满意程度可以分为“很不满意、不满意、不太满意、基本满意、比较满意、满 意、很满意”七个等级, 即构成了评语集V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7}, 并赋相应的数值{1, 2,
    031 3, 4, 5, 6, 7}. 数　学　的　实　践　与　认　识 35 卷 注意到, 当学生的某项指标等级与导师相应的要求一致时, 则认为导师基本满意, 即满 意程度为 v 4; 当学生的某项指标等级比导师相应的要求高一级时, 则导师的满意度上升一 级, 即满意程度为 v 5; 当学生的某项指标等级与导师相应的要求低一级时, 则导师的满意度 下降一级, 即满意程度为 v 3, 依次类推. 由此可以计算出每一位导师对每一个学生的各项指 标的满意程度. 实际中, 人们对不满意程度的敏感远远大于对满意程度的敏感, 即导师对学生的满意程 度降低一级可能导致导师极大的抱怨, 但对满意程度增加一级只能引起满意程度的少量的 增长. 根据这样一个事实, 则可以取类似于 (1) 式的近似偏大型柯西分布隶属函数. 实际 上, 当“很满意”时, 则满意度的量化值为 1, 即 f (7) = 1; 当“基本满意”时, 则满意度量化值 为 0 01. 于是, 可 以确定出相应的参数为 8; 当“很不满意”时, 则满意度量化值为 0 01, 即 f (1) = 0 6523. 故 8, 即 f (4) = 0 8413, a = 0 1787, b = 0 4944, = 2 = 0 　　f (x ) = 1 ≤ x ≤ 4 4 ≤ x ≤ 7 4944 (x - 0 8413) - 2 ]- 1, 1 + 2 0 1787lnx + 0 6523, 3499, f (3) = 0 6514, f (5) = 0 经计算得 f (2) = 0 9725, 则导师对学 生各单项指标的满意程度{v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7} 的量化值为 (0 8, 3499, 0 9725, 1). 将已录取的 10 名研究生重新编号, 依次从 1 到 10, 根据题目中关于这 0 10 名研究生的评价数据, 可以分别计算得到每一个导师对每一个研究生的各单项指标的满 意程度的量化值, 分别记为 9399, f (6) = 0 01, 0 9399, 0 6514, 0 (k ) , S (2) 　　 (S (1) 类似地, 第 i 个导师对第 j 个研究生的第 l 项指标的综合满意度为 (k ) , S (3) (k ) , S (4) (k ) , S (5) (k ) ) (k = 1, 2, …, 8; i, j = 1, 2, …, 10) ij ij ij ij ij 　　S ( l) ij = 8 1 8 ∑ k= 1 S ( l) ij (k ) ( i, j = 1, 2, …, 10; l = 1, 2, …, 5) 为此可取第 i 个导师对第 j 个研究生的五项条件的综合评价满意度为 　　S ij = 5 1 5 ∑ l= 1 S ( l) ij 　 ( i, j = 1, 2, …, 10) (3) (4) 于是可得 10 名导师对 10 名研究生的满意度矩阵 S = (S ij) 10×10. (5) 学生对导师的满意度 学生对导师的满意度主要与导师的学术水平有关, 同时考虑到学生所喜好的专业方向, 在评价导师时一定会偏向于自己喜好的导师, 即专业方向也是决定学生选择导师的一个因 素. 因此, 影响学生对导师满意度的有五项指标: 专业方向、发表论文数、被检索数、著作数 和科研项目数. 对专业方向来说, 主要是看是否符合自己发展的专业方向, 符合第一、二志愿的分别为 “满意、基本满意”, 不符合志愿的为“不满意”, 于是评语集为三个等级, 即{满意, 基本满意, 不满意}. 实际中根据人们对待专业志愿的敏感程度的心理变化, 在这里取隶属函数为 x ) , 并要求 f (1) = 1, f (3) = 0, 即符合第一志愿时, 满意度为 1, 不符合任 f (x ) = bln (a - 一个志愿时满意度为 0, 简单计算解得 a = 4, b = 0 x ). 于 是当导师的专业方向符合研究生的第二志愿时的满意度分别为 f (2) = 0 6309, 即得到评语 6309, 0). 这样每一个研究生对每一个导师 集{满意, 基本满意, 不满意} 的量化值为 (1, 0 9102, 即 f (x ) = 0 9102ln (4 -
    7 期 韩中庚: 研究生录取问题的优化模型与评述 131 6309, 不满足志愿取权值为 0. 对于反映导师学术水平的四项指标 t(k) i 都有一个满意度权值w j i ( i, j = 1, 2, …, 10) , 即满足第一志愿取权为 1, 满足第二志愿取权值 为 0 ( i = 1, 2, …, 10; k = 1, 2, 34) 的评语集为五个等 级, 即{很不满意, 不满意, 基本满意, 满意, 很满意}, 类似于上面确定导师对学生的满意度的 方法. 首先确定导师学术水平指标的客观量化值: 记 10 名导师的四项学术指标的平均值为 t 4) ; 最大值为 tm ax = (36, 9, 3, 6) ; 最小值为 tm in = (10, 1, 0, 1) , 等级差 = (21, 4 为 2, 1 t = ( tm ax - 类似地, 可以取近似的偏大型柯西分布隶属函数 4 = (6. 5, 2, 0. 75, 1. 25). tm in) 5, 2 　　f k (x ) = k) - 2 ]- 1, k (x - 1 + a k lnx + bk, 时, 学生为对导师“基本满意”, 则满意度量化值为 0 tm in ≤ x ≤ t < x ≤ tm ax t 　 (k = 1, 2, 34) 实际上, 当 x = t 9; 当某项指标处于最高值时, 学生对导师“很满意”, 则满意度的量化值为 1, 即 f k ( tm ax) = 1; 当 某项指标处于最低值时, 学生对导师“很不满意”, 则满意度量化值为 0 01, 即 f k ( tm in) = 0 01. 简单推导得 9, 即 f k ( t ) = 0 　　 = 891 tm in - 891 - 1 t , = 1 9 1 = 14 0 1 ln tm ax - 6187, a 1 = 0 ln t ( t - ) 2, a = , b = 1 - a ln tm ax 4 = 0 7117; 8415; 4 = 0 3353; 3 = 0 2180, 2331, 2676, 3926, 2 = 0 1 = 9 9515, a 4 = 0 1312, b2 = 0 8891, a 2 = 0 1855, b1 = 0 由具体实际数据可以得到 2 = 1443, 1 8045. 于是, 可以确定出四项指 b3 = 0 标的隶属函数为 f k (x ) (k = 1, 2, 34). 由实际数据可计算出学生对每个导师的各单项指标 的满意度量化值, 即对导师水平的客观评价 T i = ( ti1, ti2, ti3, ti4) ( i = 1, 2, …, 10). 于是, 每一 个学生对每一个导师的四个单项指标的满意度应为导师的客观水平评价值与学生对导师的 满意度权值w j i ( i, j = 1, 2, …, 10) 的乘积, 即 , T (4) 　　T 注意到, 假设导师的四项水平指标在学生对导师的综合评价中有同等的地位, 为此可取 j i ) ( i, j = 1, 2, …, 10) 0520, a 3 = 0 1091, b4 = 0 T i = (T (1) 3 = - 0 j i = w j i , T (2) j i , T (3) j i j i 第 j 个学生对第 i 个导师的综合评价满意度为 　　T j i = 4 1 4 ∑ k= 1 T (k) j i 　 ( i, j = 1, 2, …, 10) (5) 于是可得学生对导师的满意度矩阵 T = (T j i) 10×10. (6) 双方的相互综合满意度 根据上面的讨论, 每一个导师与任一个学生之间都有相应的单方面的满意度, 双方的相 互满意度应有各自的满意度来确定, 在此, 取双方各自满意度的几何平均值为双方相互综合 满意度, 即 T j i ( i, j = 1, 2, …, 10) 　　S T ij = S ij (7) 双向选择模型 最优的双向选择方案应该是使得所有导师和学生的相互综合满意度之和最大, 首先考 虑学生的选择方案. 设决策变量 　　x ij = 1, 　 当考生 j 选择导师 i 时 0, 　 当考生 j 不选择导师 i 时 　 ( i, j = 1, 2, …, 10)
    231 数　学　的　实　践　与　认　识 35 卷 于是问题可以归结为下面的规划问题 10 10 　　m axz = ∑ ∑ i= 1 j= 1 S T ij x ij 　　s. t. 10 i= 1 x ij = 1, 　j = 1, 2, …, 10 ∑ x i2 = x i3 = x i6 = 0, 　 i = 1, 2, 3 x i4 = 0, 　i = 4, 5 x i1 = x i3 = x i7 = x i8 = 0, 　i = 6, 7, 8 x i5 = x i9 = 0, 　i = 9, 10 (6) 该模型为一个线性 0 - 1 规划, 利用 ling o 可以求解, 可以得到学生选择导师方案. 问题 (2) 　 对于问题 (1) 确定录取的研究生和所选报的专业志愿, 要求给出 10 名导师与 10 名研究 生一对一的选择方案, 使双方的满意度最大. 在模型 (6) 中增加一组约束条件∑ = 1, 2, …, 10) 即可, 用 ling o 求解这个 0 - 1 规划就可以得到双向选择方案. j= 1 10 x ij = 1 ( i 问题 (3) 　 (1) 确定导师组对学生的综合评价指标 由于题目中没有给出导师对学生的评分, 在这里让 10 名导师综合 15 名学生的初试成 绩、专家组的面试成绩和他们自己对学生的要求条件给出一个综合评价, 据此确定选优录取 10 名研究生. 然后, 在不考虑学生原有的专业志愿的情况下, 让 10 名导师和 10 名研究生之 间做双向选择. 类似于 (3) 式和 (4) 式的方法, 可以得到第 i 位导师对 j 个学生的第 l 项指标的综合满意 度为 　　S ( l) ij = 8 1 8 ∑ k= 1 S ( l) ij (k ) ( i = 1, 2, …, 10; j = 1, 2, …, 15; l = 1, 2, …, 5) 则第 i 个导师对第 j 个研究生的五项条件的综合评价满意度为 　　S ij = 5 1 5 ∑ l= 1 S ( l) ij 　 ( i = 1, 2, …, 10; j = 1, 2, …, 15) 于是 10 名导师对 15 名学生各自的综合满意度为 　　S j = 10 1 10∑ i= 1 S ij ( j = 1, 2, …, 15) (7) (8) 将其作极差规范化处理, 令 S k S j - m in 1≤k≤15 　　S ′j = m ax 1≤k≤15 S k - m in 1≤k≤15 S k 　 ( j = 1, 2, …, 15) 即得 10 名导师对 15 名学生的综合评价指标向量 S ′= (S ′1, S ′2, …, S ′15). (2) 综合录取方案 综合考虑导师对学生的综合评价指标 S ′j 和学生的综合成绩 C j (即 (2) 式) , 就可以得到 学生的综合实力指标. 事实上, 对于每一个学生都存在一个客观的实力指标值 y j ( j = 1, 2, …, 15). 据此引入绝对偏差函数
    7 期 韩中庚: 研究生录取问题的优化模型与评述 331 15 15 (y j - S ′j) 2 + q2∑ 　　Q (y 1, y 2, …, y 15) = q1∑ 其中 q1, q2 为优先因子, 取 q1 > q2 (不妨取 q1 　　m inQ (y 1, y 2, …, y 15) 　　s. t. y j ≥ 0, j = 1, 2, …, 15 j = 1 j= 1 (y j - C j) 2 q2 ≥ 2). 问题转化为求最优化问题 求解得 Y 10 名研究生. = (y 1 , y 2 , …, y 15) , 即为学生的综合实力指标向量, 据此按大小排序确定录取的 (3) 确定双向选择策略 对于确定录取的 10 名研究生和 10 名导师之间按照各自的喜好和看法来做双向选择, 一种可行的方法是建立多人非合作对策模型. 首先考虑导师选择学生的策略, 设 10 名导师为局中人, 即局中人集合为 I = { i = 1, i 2, …, 10}, 每个局中人的策略集均为 10 名学生, 即 J = { j, 则 i 的赢得为S ij ( i, j = 1, 2, …, 10) (仿 (4) 式可得) , 则有对策模型 j = 1, 2, …, 10}. 如果导师 i 选择学 = {I , J , {S ij}}, j 生 并设 i 选择学生 i 不选择学生 j 时 j 时 　　x ij = 1, 当导师 0, 当导师 于是问题转化为 ∑ 　　m ax∑ 10 10 i= 1 j= 1 S ijx ij 　　s. t. 10 ∑ j= 1 x ij = 1, 　i = 1, 2, …, 10 10 ∑ i= 1 x ij = 1, 　j = 1, 2, …, 10 求解可以得到导师选择学生的策略. 　 ( i, j = 1, 2, …, 10) (9) 同理, 考虑学生选择导师的策略, 设 10 名学生为局中人, 即局中人集合为 J = { j = i = 1, 2, …, 10}. 如果学生 j j i 1, 2, …, 10}, 每个局中人的策略集均为 10 名导师, 即 I = { 选择导师 {T j i}}, 并设 i, 则 j 的赢得为 T j i ( i, j = 1, 2, …, 10) (仿 (5) 式可得) , 则有对策模型 　　y j i = 1, 当学生 0, 当学生 于是问题转化为 j 选择导师 j 不选择导师 i 时 i 时 　 ( i, j = 1, 2, …, 10) 10 10 　　m ax∑ ∑ i= 1 j= 1 T j iy j i 　　s. t. 10 ∑ j= 1 y j i = 1, 　i = 1, 2, …, 10 10 ∑ i= 1 y j i = 1, 　j = 1, 2, …, 10 = {J , I , (10) 求解可以得到学生选择导师的策略. 根据模型 (9) 和模型 (10) 的求解结果, 如果导师选择学生的策略和学生选择导师的策
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