2007 年青海高考文科数学真题及答案
注意事项:
1. 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,总分 150 分,
考试时间 120 分钟.
2. 答题前,考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的
位置上.
3. 选择题的每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上.
4. 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写,字体工整,笔迹
清楚
5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答.超出答题区域或
在其它题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效.
6. 考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题)
本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
参考公式:
如果事件 A B, 互斥,那么
(
P A B
如果事件 A B, 相互独立,那么
(
P A B
(
(
P A P B
)
(
P A
(
P B
)
)
)
)
)
球的表面积公式
2
4π
R
S
其中 R 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
V
3
4 π
R
3
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
( )
P k
n
n
,,,…,
0 1 2
C p
(1
n k
p
k
k
n
)
(
)
k
其中 R 表示球的半径
一、选择题
1.cos330 (
)
A.
1
2
B.
1
2
C.
3
2
D.
3
2
2.设集合
U
{1 2 3 4}
A
,,, ,
{1 2}
B
, ,
{2 4}
, ,则 (
U A B
ð
)
(
)
A.{2}
B.{3}
C.{1 2 4},,
D.{1 4},
3.函数
y
sin
x
的一个单调增区间是(
)
A.
, B.
3
,
C.
,
D.
3 2
,
4.下列四个数中最大的是(
)
A.
(ln 2)
2
B.ln(ln 2)
C.ln 2
D.ln 2
5.不等式
x
x
2
3
0
的解集是(
)
A.( 3 2)
,
B.(2
) ,
C.(
6.在 ABC△
A.
2
3
中,已知 D 是 AB 边上一点,若
1
3
1
3
B.
C.
3)
,
AD
2
(3
,
)
D.(
CA
2)
,
CB
,则(
)
)
(2
,
DB CD
,
D.
1
3
2
3
7.已知三棱锥的侧棱长的底面边长的 2 倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于(
)
A.
3
6
B.
3
4
C.
2
2
D.
3
2
8.已知曲线
y 的一条切线的斜率为
2
x
4
1
2
,则切点的横坐标为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
9.把函数 ex
y 的图像按向量 (2 3)
,a
平移,得到
y
( )
f x
的图像,则 ( )
f x (
)
A.e
x
2
B.e
2x
C. 2ex
D. 2ex
10.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方
法共有(
A.10 种
D.32 种
11.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于(
B.20 种
C.25 种
)
)
A.
1
3
B.
3
3
C.
1
2
D.
3
2
12.设 1
F F, 分别是双曲线
2
2
x
2
y
9
1
的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 1
PF PF
2
0
,
PF PF
则 1
2
(
)
A. 10
B. 2 10
C. 5
D. 2 5
本卷共 10 题,共 90 分
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
第Ⅱ卷(非选择题)
13.一个总体含有 100 个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本,
则指定的某个个体被抽到的概率为
.
14.已知数列的通项
na
5
n
,则其前 n 项和 nS
2
.
15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为 1cm,
那么该棱柱的表面积为
cm 2 .
16.
2
(1 2 ) 1
x
8
1
x
的展开式中常数项为
.(用数字作答)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
设等比数列{ }na 的公比 1q ,前 n 项和为 nS .已知 3
a
,求{ }na 的通项公式.
2
,
5
S
S
4
2
18.(本小题满分 12 分)
在 ABC△
中,已知内角 A
,边
BC
2 3
.设内角 B x ,周长为 y .
y
(1)求函数
的解析式和定义域;
( )
f x
(2)求 y 的最大值.
19.(本小题满分 12 分)
从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A :“取出的 2 件产
品中至多有 1 件是二等品”的概率 (
(1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ;
(2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,求事件 B :“取出的 2 件产品中至少有一
件二等品”的概率 (
) 0.96
)P B .
P A
.
S
中,
20.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 S ABCD
底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD ⊥底面 ABCD E F, ,
分别为 AB SC, 的中点.
(1)证明 EF ∥平面 SAD ;
(2)设
,求二面角 A EF D
的大小.
DC
SD
2
F
C
D
A
E
B
21.(本小题满分 12 分)
在直角坐标系 xOy 中,以O 为圆心的圆与直线
(1)求圆O 的方程;
x
3
y
相切.
4
(2)圆 O 与 x 轴相交于 A B, 两点,圆内的动点 P 使 PA PO PB
PA PB
的取值范围.
, , 成等比数列,求
22.(本小题满分 12 分)
已知函数
( )
f x
1
3
3
ax
2
bx
(2
)
b x
1
在
x
x 处取得极大值,在
1
x
x 处取得极小值,且
2
0
x
1
1
x
2
.
2
(1)证明 0
(2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围。
a ;
参考答案
评分说明:
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主
要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容
和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的
一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3. 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题
1.C
7.A
二、填空题
5.C
11.D
6.A
12.B
4.D
10.D
2.B
8.A
3.C
9.C
13.
1
20
14.
n
25
n
2
15. 2 4 2
三、解答题
17.解:由题设知
a
1
0
S
,
n
n
)
a
1
(1
q
1
q
,
则
2
2
a q
,
1
4
(1
)
q
a
1
1
q
5
2
)
a
1
(1
q
1
q
. ②
由②得
1
q
4
5(1
2
, 2
q
q
)
(
2
4)(
q
1) 0
, (
q
2)(
q
2)(
q
1)(
q
1) 0
,
因为 1q ,解得
q 或
1
q .
2
当
q 时,代入①得 1
1
a ,通项公式
2
na
2 ( 1)n
1
;
1
2
1 ( 2)
2
A
B
,
0
C
,
0
得
0 B
2
.
当
q 时,代入①得 1
2
a ,通项公式
na
n
1
.
18.解:(1) ABC△
的内角和 A B C
,由
应用正弦定理,知
AC
BC
sin
A
sin
B
2 3
sin
sin
x
4sin
x
,
AB
BC
sin
A
sin
C
4sin
2
x
.
因为 y AB BC AC
,
所以
y
4sin
x
4sin
2
x
2 3 0
x
2
3
,
(2)因为
y
4 sin
x
cos
x
1
2
sin
x
2 3
4 3 sin
x
,即 x
所以,当 x
2 3
x
5
,
时, y 取得最大值 6 3 .
19.(1)记 0A 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”,
1A 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”.
A A, 互斥,且
则 0
1
A A
0
,故
A
1
(
)
P A
(
P A
0
A
1
)
(
)
P A
1
1
p
2
(
)
P A
0
2
(1
) C (1
p
2
1
p
p
)
于是
0.96 1 p
.
2
p
解得 1
0.2
,
p
2
0.2
(舍去).
(2)记 0B 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”,
则
B B .
0
若 该 批 产 品 共 100 件 , 由 ( 1 ) 知 其 中 二 等 品 有 100 0.2
件 , 故
20
(
P B
)
0
2
C
80
2
C
100
316
495
.
(
P B
)
(
P B
0
) 1
(
P B
0
) 1
316
495
179
495
20.解法一:
(1)作 FG DC∥ 交 SD 于点G ,则G 为 SD 的中点.
连结
AG FG
∥,
CD
,又CD AB ∥ ,
1
2
2
SD
∥ ,
4
,
DG
为平行四边形.
平面 SAD .
DC ,则
AG∥ ,又 AG 平面 SAD EF ,
故 FG AE AEFG
EF
所以 EF ∥平面 SAD .
(2)不妨设
腰直角三角形.
取 AG 中点 H ,连结 DH ,则 DH
又 AB ⊥ 平面 SAD ,所以 AB DH⊥ ,而 AB AG A
所以 DH ⊥面 AEF .
取 EF 中点 M ,连结 MH ,则 HM EF⊥ .
连结 DM ,则 DM EF⊥ .
故 DMH
为二面角 A EF D
的平面角
AG⊥ .
ADG
2
,△
为等
tan
DMH
DH
HM
2
1
.
2
所以二面角 A EF D
的大小为 arctan 2 .
解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系 D xyz .
设 ( 0 0)
,,, ,, ,则 (
(0 0
A a
B a a
S
b
)
0)
, ,, , ,,
C
(0
a
0)
E a
a
, , , , , ,
2
a b
2 2
F
0
0
EF
a
0
,, .
b
2
取 SD 的中点 0 0
,, ,则
G
b
2
AG
a
0
,, .
b
2
S
H
D
F
G
M
C
A
E
B
z
S
F
G
M
D
E
B
C
y
A
,
A
x
EF AG EF
所以 EF ∥平面 SAD .
, ∥ ,
AG AG
平面 SAD EF ,
平面 SAD ,
(2)不妨设 (1 0 0)
A ,, ,则
B
(11 0)
,,, ,,, ,, , , , , , , .
(0 0 2)
(0 1 0)
C
E
F
0
0
1
S
1
1
2
1
2
EF 中点
M
1 1 1
, , ,
2 2 2
MD
1
2
EF
, , ,
( 1 0 1)
,,,
MD EF
0
, ⊥
MD EF
1
2
1
2
又
EA
0
, , ,
1
2
0
EA EF
0
, ⊥ ,
EA
EF
和 EA
所以向量 MD
的夹角等于二面角 A EF D
的平面角.
MD EA
,
cos
MD EA
MD EA
所以二面角 A EF D
的大小为
arccos
3
3
3
3
.
.
21.解:(1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点O 到直线
x
3
y
的距离,
4
即
r
4
1 3
2
.
得圆O 的方程为 2
x
2
y
.
4
( 0)
A x
(2)不妨设 1
x
,, ,,
1
(
B x
0)
2
x
2
( 2 0)
A
,, , .
(2 0)
B
.由 2
x 即得
4
设 (
P x
y, ,由 PA PO PB
, , 成等比数列,得
)
(
x
2
2)
2
y
(
x
2
2)
2
y
2
x
2
y
,
2
即 2
x
y
PA PB
.
2
( 2
x
,
) (2
y
x
,
y
)
2
2
x
2(
4
y
2
1).
y
由于点 P 在圆 O 内,故
2
2
x
x
2
2
y
y
4
,
2.
由此得 2 1
y .
所以 PA PB
的取值范围为[ 2 0)
, .
22.解:求函数 ( )
f x 的导数
( )
f x
2
ax
2
bx
.
b
2
(Ⅰ)由函数 ( )
f x 在
x
x 处取得极大值,在
1
x
的两个根.
所以
( )
f x
(
a x
x
1
)(
x
x
2
)
x 处取得极小值,知 1
x
2
x, 是 ( ) 0
f x
2
当
x
x 时, ( )
f x 为增函数, ( ) 0
f x
,由
1
x
x
1
,
0
x
x
2
得 0
a .
0
(Ⅱ)在题设下,
0
x
1
1
x
2
等价于
2
(0) 0
f
(1) 0
f
(2) 0
f
即
0
2
b
2
0
2
a
b
4
4
a
b
b
2
b
.
0
化简得
2
0
b
2 0
3
a
b
4
5
2 0
b
a
.
此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线:2
所围成的 ABC△
的内部,其三个顶点分别为:
A
3
b
0
a
,
2 0 4
a
,
b
4 6
, , , , , .
7 7
(2 2)
(4 2)
C
B
z 在这三点的值依次为
所以 z 的取值范围为
,,.
16 6 8
7
16 8
7
, .
b
2
1
O
(2 2)
B ,
A
4 6
,
7 7
2
5
b
2 0
.
(4 2)
C ,
4
a