数学物理方法习题及答案.pdf-资料库

1．写出下列复数的实部，虚部，模和幅角：（1）1 3i+ ；（2）1 cos − siniα + α ， 0 2α π ≤ < ；（3） sini e ， x 为实数；（4） ize ； x （5） ze ；（6） 4 1− ；（7） 1 i+ ；（8） 1 1 + − i i 的实函数。；（9） 1 ie + ；（10） ( ) xe ϕ ， ( )xϕ 是实变数 x i （1）Re 1= ，Im 3= ， Am = 2 Re + 2 Im 2 = ， Arg = arctan ⎛ ⎜ ⎝ Im Re ⎞ + ⎟ ⎠ 2 k π = kπ 2 π 3 + ；（2）Re 1 cosα = − ，Im sinα= Am ， = ( 1 cos − )2 α + 2 sin α = 2 2cos − α = 2sin α 2 ， tan Arg ( ) = sin α 1 cos − α = = cot α 2 ，所以 Arg = π α − 2 + 2 k π ； 2sin α α 2 2 2sin cos α 2 kπ+ ， 2 2 （3） Am 1= ， Arg = x sin Re = cos sin x ( ) ， Im sin sin x = ( ) ；（4）z e = + ， iz x iy = e− + y ix ，Am ye−= ，Arg = x kπ+ 2 ，Re ye −= cos x ，Im −= sinye x ；（5） Am xe= ， Arg = y kπ+ 2 ， Re = xe cos y ， Im = sinxe y ；（6） 4 1 − = i e ⎡ ⎣ ( ) π π + n 2 ni 1 2 + π 4 = e 1 4 ⎤ ⎦ ，( n = 0，1，2，3)， Am 1= ， Arg n= 2 + 4 1 kπ π + 2 ， Re = cos ⎛ ⎜ ⎝ 2 n + 4 1 ⎞ π ⎟ ⎠ ， Im sin = ⎛ ⎜ ⎝ 2 n + 4 1 ⎞ π ⎟ ⎠ ；（7） 1 + = i 4 e 2 i π + 4 ⎛ ⎜ ⎝ 2 ⎞ n π ⎟ ⎠ 2 i π + 8 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ n π ⎟ ⎠ 4 = e 2 ，( n = 0，1)， Am 4 2= ，Arg = π 8 + Re = 4 2 cos ⎛ ⎜ ⎝ nπ ⎞ π + ⎟ 8 ⎠ ) ( 1 = − n 4 2 cos π 8 ， Im ) 4 ( 1 = − n 2 sin π 8 ； n π π + 2 k ，（8） Re = 1 1 + − i i = ⎡ ⎢ ⎣ ( )1 n− 2 ， − ( π i e 2 e 2 ( Im = 4 2 + ) n π i π 4 )1 n− 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ n π 2 2 + 2 π i e = i e = π ⎛ +⎜ 4 ⎝ ⎞ n π ⎟ ⎠ ，( n = 0，1)，Am 1= ，Arg = π + 4 ； n π π k 2 + ，（9） Am e= ， Arg 1 2kπ = + ， Re e= cos1 ， Im e= sin1 ；（10） Am 1= ， Arg = ϕ ( ) x π+ 2 k ， Re ( xϕ= cos ⎡ ⎣ ) ⎤ ⎦ ， Im sin ( ) xϕ= ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ；

2．把下列关系用几何图形表示出来：（1 ） ( arg 1 + 2 2 z = ， z < ， z π ) 3 i 1 2 − − = ， ( arg π 3 ) z z ( < arg π 4 均为常数；（6） z > ；（2 ） Re z > ， 1 Im < 1 2 ( 0 arg 1 < − < ；（3 ） ( z 2 arg 1 z π ) 4 ( 0 arg 1 < ， < ) z− 0 z π ) 4 + < ， = ， 2 i π ) 2 1 + − = ；（ 4 ） < ；（5） arg z α < < 与 Re z β γ < < 的公共区域，α，β，γ，δ δ z i− < ，1 1 < − < ；（7） z a − = − ， a ， b 为常数；（8） z b 2 z i − + − = ，其中 a ， b ， c ，为常数，且 c z a z b c > − ；（9） a b z + Re z < ；（10） 1 0 arg < z i −⎛ ⎞ ⎟+⎝ ⎜ z i ⎠ < π 4 。（1）（2）（3） ( arg 1 − z ) = ( arg 1 = ⇔ 1 0 x− > 且 0 y = ，即 1x < ， 0 y = ； 0 − − x iy ) π 3 ( i y − ( arg 1 + z ) = ( arg 1 + + x iy ) arg ( z ) 1 + − = i arg x 1 + + ⎡ ⎣ y 1 = x 0 = ⇔ + > 且 xπ = ⇔ + = 2 ) 1 ⎤ ⎦ 1 0 ( 3 1 + ； x ) 且 1 0 y − > 。

( 0 arg 1 < + z ) = ( arg 1 ⎡ ⎣ + x ) + π 4 < arg ( z i 1 2 − − ) = arg ( ⎡ ⎣ x π 4 0 iy ⎤ ⎦ π 4 ( i y iy ⎤ ⎦ ) 1 − + （4） ( 0 arg 1 < − z ) = ( arg 1 ⎡ ⎣ − x ) − 1 < ⇔ < − < − 0 y x ； 1 < ⇔ < < + y x ； − 2 ) ⎤ ⎦ < ⇔ < − < − < 0 1 2 x y π 3 3 ( x − ) 1 ；（5）（6）（7）（8）（9） z + Re z = 2 x + 2 y + < ，化简得 1 x x < 1 1 ( 2 − y )2 。

（10） z z − + i i = ( x i y + ( x i y + − + ) 1 ) 1 = x 2 + x 2 y + 2 ( ix 1 2 − − ) 2 y 1 + ，所以 0 arg < z i −⎛ ⎞ ⎟+⎝ ⎜ z i ⎠ < π 4 ⇔ 0 2 < − x < 2 x + 2 y 1 − ，即 0 x < 且( x + )2 1 + 2 y > 。 2 3．已知一复数 z ，画出iz ， z− ， z ， 1 z ， 1 z ，并指出它们之间的几何关系。把 z 写成 ie ϕρ ，则 iz = ( i e ϕ πρ + )2 ，即把 z 逆时针旋转 90 度。 z − = i ( ) e ϕ πρ + ，即把 z 逆时针旋转 180 度。 z = e ϕρ − i ，即 z 关于实轴的对称点。 1 z = ϕ 1 ie ρ ，即 z 关于单位圆的对称点。 1 z = 1 ρ ie − ϕ ，即 z 关于单位圆的对称点。 4．若 z = ，试证明 1 az b + bz a + 2 = ( ( az b + bz a + ) ) )( az b az b + )( bz a bz a + + + = 1 ， a ，b 为任意复数。 = 2 2 a b + + abz abz abz abz + + + + 2 2 b a = 1 ，所以 az b + bz a + = 1 。

5．证明下列各式： 1 （1） 1 − + − ≤ z z z arg z ； z （2）若 1 = z 2 = ，则 z 3 arg z 3 z 3 − − z 2 z 1 = 1 2 arg z 2 z 1 。（1）先证 z z 1 − ≤ arg z 。记 z e ϕρ= i ， z z 1 − = i ϕ e 1 − = 2 2cos − ϕ = 2 sin z 1 − = − z z + z 1 − ≤ − z z + z 1 − = z 1 − + z ϕ 2 z z ≤ ϕ = arg z 。 1 − ≤ z 1 − + z arg z 。（2）如图， 1z ， 2z ， 3z 在同一圆周上， = α arg z 3 z 3 − − z 2 z 1 ， β= arg z 2 z 1 。由于同弧所对圆周角是圆心角的一半，所以 α β= ，即 1 2 arg z 3 z 3 − − z 2 z 1 = 1 2 arg z 2 z 1 。 6．用复数 z 表示曲线上的变点。（1）写出经过点 a 且与复数b 所代表的矢量平行的直线方程；（2）写出以 d 和 d− 为焦点，长轴长 2a 的椭圆方程（ a d> ）。（1）矢量 z a− 与矢量b 平行，所以 z a = 。（2）由椭圆定义得 − = ， k 为实数； a z d − + + z d kb 2 7．用复数运算法则推出：（1）平面直角坐标平移公式；（2）平面直角坐标旋转公式。

（1）设坐标系 x O y′ ′ ′ 的原点O′ 在坐标系 xOy 中的坐标是( 标是( ,x y ，在 x O y′ ′ ′ 系中坐标( ) ,x y′ ) ′ 。如上面左图，令OP z= ) 0 ,x y 。 P 点在 xOy 系中的坐 0 ′ ，O P z ′= ， OO z ′ = 。 0 则 z ′ = − ，即 z z 0 x ′ iy ′+ = − x x 0 + ( i y − ，由此得 y 0 ) x ′ = − ， x x 0 y ′ = − 。 y y 0 （2）将坐标系 xOy 绕原点逆时针旋转θ角得到坐标系 x O y′ ′ ′ 。如上面右图，x O y′ ′ ′ 系中 z′ 只是比 xOy 系中 z 的幅角小θ，即 z ′ = ze θ− i ，由此得 x ′ = x cos yθ + sin yθ + y ′ = − x cos θ 。 sin θ ， 8．设复数 1z ， 2z ， 3z 满足 z 2 z 3 − − z 1 z 1 = z 1 z 2 − − z 3 z 3 z 。证明： 2 − z 1 = z 3 − z 2 = z 1 − 。 z 3 z 如图， 2 z 3 − − z 1 z 1 = AB AC i A ∠ e z ， 1 z 2 − − z 3 z 3 = AC BC i C ∠ e 。所以 AB AC = AC BC ， A ∠ = ∠ 。 C 由 A ∠ = ∠ 可得 AB C BC= ，代入 AB AC = AC BC 可得 AB = BC = AC ，即 z 2 − z 1 = z 3 − z 2 = z 1 − 。 z 3

9．（1）给出 1 z z , 2 , z 三点共线的充要条件；（2）给出 1 3 z z , 2 , z 3 , z 四点共圆的充要条件。 4 z （1）若三点共线，则矢量 1 z− 与矢量 2 z 3 z− 平行，反之也成立。所以三点共线的充要条 3 = 实数。 z 件是 1 z 2 − − z 3 z 3 （2）如图若四点共圆，则有 ACB = ∠ ADB （同弧所对圆周角相等）。反之也成立。写成复数 z 形式即为 1 z 2 − − z 3 z 3 z 1 z 2 − − = 实数。 ∠ z 4 z 4 10．求下列方程的根，并在复平面上画出它们的位置。（1） 2 1 0 z + = ；（2） 3 8 0 z + = ；（3） 4 1 0 z − = ；（4） 4 1 0 z + = ；（5） 2 nz + = ，n 为 1 0 正整数；（6） 2 2 cos z λ + z 1 0 + = ， 0 λ π< < 。（1） z i= ± ；（2） z = 2 e ± i π 3 , 2 − ；（3） z = ± ± ；（4） 1, i ± i π 4 , e ± i 3 π 4 ； z = e 1 ； − ,2 n ， 0,1, = k （5） z = ( ) i k e π π+ 2 2 n （6） z = − 。 e λ± i

11．设 z = + 是实系数方程 p iq a 0 + a z a z 1 2 + 2 + + n a z n = 0 的根，证明 z = − 也是此 p iq 方程的根。对方程两边取共轭得 a 0 + a z 1 + a z 2 2 + + n a z n = 0 ，即 z 也满足此方程。 12．证明： 4 sin = ϕ 4 i ϕ e − e 4 2 i ϕ + = 3 4 e ( 1 cos 4 − ϕ 8 ( 1 4 1 i ϕ − + − ϕ ) 3 + 。 ( e i ϕ i ϕ 2 2 e e 2 i ϕ 4cos 2 ) ( = 2 − i ϕ − e ) − e 4 i ϕ ϕ i ( e − i ϕ − e ) = ie 22 i ϕ sin 2 i ϕϕ ie 8 − sin ϕ = i 2 cos2 ϕ + i sin 2 ϕ ϕ − sin 2 ) i 8 cos ϕ + ( i sin ϕ ϕ sin ) = 8sin 4 iϕ + ( sin 4 ϕ − 4sin 2 ) ϕ 取等式两边实部即得证。 13．把sin nϕ和 cos nϕ用sinϕ和 cosϕ表示出来。 cos n ϕ + i sin n ϕ = ( cos ϕ + i sin n ) ϕ = n ∑ k = 0 n i ! k ( k n k ! − ) ! n k − cos ϕ ϕ sin k = n / 2 [ ] ∑ k = 0 ( k ) ( 1 − n ! ) ( n k 2 ! − ) k 2 ! n − 2 k cos ϕ ϕ sin 2 k + i ( n −⎡ ⎣ )1 / 2 ∑ k = 0 ⎤ ⎦ ( − k ) ( 1 2 k + n ! ) ( n 1 ! − 2 k − ) 1 ! n − 2 k 1 − cos ϕ sin 2 k 1 + ϕ 比较两边实部和虚部得： cos n ϕ = sin n ϕ = n / 2 [ ] ∑ k = 0 ( k ) ( 1 − n ! ) ( n k 2 ! − ) k 2 ! n − 2 k cos ϕ ϕ sin 2 k ； ( n −⎡ ⎣ )1 / 2 ∑ k = 0 ⎤ ⎦ ( k ) ( 1 − 2 k + n ! ) ( n 1 ! − 2 k − ) 1 ! n − 2 k 1 − cos ϕ sin 2 k 1 + ϕ 。

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