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AHP不一致判断矩阵调整的方法.pdf

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.20M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    2 2 　2004 年 6 月 文章编号: 1000 6788 (2004) 06 系统工程理论与实践 第 6 期　 0084 09 A H P 中不一致性判断矩阵调整的新方法 骆正清 (合肥工业大学管理学院, 安徽 合肥　230009) 摘要: 　设计了一种交互式的算法, 用该算法调整不一致性判断矩阵, 可以得到多个满足一致性要求的 合理方案, 专家或决策者可根据自己的意愿, 从这些方案中选择一个满意的方案. 实验表明: 该算法是有 效的、可行的. 关键词: 　层次分析法; 判断矩阵调整; 交互式算法 中图分类号: 　O 223　　　　　　　　文献标识码: 　A 　　　 A N ew M ethod fo r A dju sting Incon sistency J udgm en t M atrix in A H P (Schoo l of M anagem en t, H efei U n iversity of T echno logy, H efei 230009, Ch ina) LU O Zheng qing Abstract: 　A n in teractive algo rithm fo r adju sting incon sistency judgm en t m atrix is p ropo sed. B y the algo rithm , several rational so lu tion s can be ob tained, and tho se so lu tion s fit to the con sistency requ ire. M eanw h ile exp erts o r decision m aker can choo se any one from the so lu tion s by them selves p references if on ly they thank that the so lu tion is satisfying. Exp erim en ts indicate that the algo rithm is effective and p ractical. Key words: 　analytic h ierarchy p rocess A H P; adju stm en t of judgm en t m atrix; in teractive algo rithm 1　引言 作为一种定性与定量相结合的决策工具, 层次分析法在相关领域得到了广泛的应用. 然而, 运用该方 法进行方案排序时, 构造出来的判断矩阵往往不能满足一致性要求, 因此, 如何调整已构造出的判断矩阵 并使之通过一致性检验, 一直困扰着人们. 近年来有些学者已提出了一些调整方法, 这些方法总体上可归 为两大类: 一类可称为机械法 1- 4 , 一类可称为主观法 5, 6 . 所谓机械法, 即当由专家或决策者 (统称为判 断者) 构造出的判断矩阵不满足一致性要求, 可依据一定的规则, 由计算机自动调整判断矩阵 (或由专业人 员计算) , 直至满足一致性要求为止. 机械法的不足是: 调整过程中没有判断者参与; 并且有的方法只有唯 一解, 有的方法得到的判断矩阵一般都带有小数. 很显然, 带有小数的调整方案不符合判断者心理期望, 尽管有多个解, 判断者也不愿意从中选择. 对于只能得到唯一解的调整方法, 也不是很合理. 这是因为: 导致判断矩阵不一致的因素有时比较复杂, 比如, 它既可能是判断矩阵中某一元素取值过大造成的, 也有 可能是其它元素取值过小造成的. 所谓主观法, 就是判断者在一定的规则提示下, 自行调整判断矩阵. 不 过, 在上述主观法 5, 6 中, 判断者实际上只能在规则的引导下, 被动地去选择由规则确定的某个元素. 并且 一旦选定某个元素, 调整随意性很大, 这就导致得到的调整方案往往更不合理. 比如文献 5, 6 中给出的 调整方案, 判断矩阵中的某些元素值调整后与调整前相差太大, 从根本上已经违背了判断者的最初意愿. 此外, 通过研究还发现, 对不满足一致性要求的判断矩阵, 用不同的方法求解, 虽说最后都能得到满足一致 性要求的调整方案, 但是, 不同的方法所得到的调整方案是不同的. 不过, 这一点也给我们一个启示: 即对 收稿日期: 2003 资助项目: 国家自然科学基金 (79800024) 04 08 　　作者简介: 骆正清 (1963- ) , 男, 安徽繁昌人, 博士, 副教授. 研究方向: 多目标决策, 企业知识管理 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
    第 6 期 A H P 中不一致性判断矩阵调整的新方法 58 不满足一致性要求的判断矩阵, 确实存在多个调整方案——使调整后的判断矩阵满足一致性要求. 根据以上分析, 作者认为: 一种合理的调整方法, 应当让判断者参与判断矩阵的调整. 这是因为, 最初 的判断矩阵是由判断者构造出来的, 因此, 对判断矩阵的调整也应该尊重他们的意愿. 此外, 一种合理的 调整方法, 还应该能产生多个满足一致性要求的方案, 以便让判断者能够进行比较, 并从中选择他们认为 最满意的方案. 基于以上思考, 本文将设计出一种能满足以上两点要求的交互式的算法. 2　判断矩阵调整的新方法 在给出新的调整方法之前, 我们先研究一下具有完全一致性的判断矩阵的一些特性. 2 1　具有完全一致性判断矩阵的特性 假定有一组被比较对象: A 1, A 2, A 3, …, A n, 它们的权重分别为:W 1,W 2,W 3, …,W n, 构造判断矩阵 A 如下: A = (a ij) n×n = (w i w j) n×n, 也即: W 1 W 1 W 1 W 2 W 1 W 2 W 1 W 2 W 2 W 2 A = W 3 W 1 W 3 W 2 W 3 W 3 … W 1 W 3 … W 2 W 3 … W 3 W n W n W n W n W 1 W n W 2 W n W 3 … W n W n 　　矩阵A 各列的含义是: 第一列表示以A 1 为基准, 所有的被比较对象与A 1 的重要性之比所构成的列向量; 第 二列表示以A 2 为基准, 所有的被比较对象与A 2 的重要性之比所构成的列向量, …, 第n 列表示以A n 为基准, 所 有的被比对象与A n 的重要性之比所构成的列向量. 显然, 判断矩阵A 具有完全一致性, 即对于任意的 k , 都有 a ij = a ik × a k j, n, 并且用特征根法或“和积法”求得的权重就是W 1,W 2,W 3, …,W n. i, k , j 现对判断矩阵A 的每一列作归一化处理, 得矩阵 A ′为: W 1 W 1 W 1 … W 1 W 2 W 2 W 2 … W 2 W 3 W 3 W 3 … W 3 A ′= W n W n W n … W n 　　矩阵A ′的含义是: 分别以A j ( j = 1, 2, …, n) 为基准, 然后用A 1, A 2, …, A n 和它们进行重要性比较, 再 单 独计算每一组的权重: w j 2, …, n) T , j = 1, 2, …, n; 那么, 这 n 个权重向量就是矩阵A ′中的第一列至第 n 列的 n 个列向量, 并且各组得 w j 到的权重向量都相同 —— 它就是所有被比较对象的权重向量, 即: w 1 i = w 2 i ( j = 1, 2, …, n) 表示以 A j 为基准进行比较时, A i 获得的权重; w i 是A i 的权重. j = 1, 2, …, n, 由此可以得到 n 个权重向量 w j 2, …, w j n, i = … = w n i = w i. 此处w j 1, w j i = (w j 1, w j 再对矩阵A ′作如下变换, 即选取其中的任何一个列向量, 用该向量的各分量除以矩阵A ′中所有的列 向量中与之对应的各分量 —— 该操作姑且称为“列向量除法”, 则得矩阵 A ″: A ″= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 … 1 1 … 1 1 … 1 　　经过归一化处理和“列向量除法”以后, 得到的矩阵 A ″中的每一个元素值都为 1. 由此可以得出如下 的定理. 定理 　 判断矩阵 A 满足完全一致性的充要条件是: 对该判断矩阵的每一列分别作归一化处理和“列 向量除法”后, 得到的新矩阵A ″中的所有元素值都是 1. 证明　充分性: 设有一判断矩阵A = (a ij) n×n, 并且A 满足完全一致性. 由完全一致性可知, 对于任意 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
    68 系统工程理论与实践 2004 年 6 月 j i, k , n. 令 k = n; i, j = 1, 2, …, n, 由前面的等式可以得到下列 n 2 个等式: 的 k , 都有 a ij = a ik × a k j, i = 1, 2, …, n. 将以上得到的 n 2 个等 a i1 = a in × a n1, a i2 = a in × a n2, a i3 = a in × a n3, …, a in = a in × a nn, 式的右式代入矩阵A , 然后对矩阵A 各列作归一化处理, 得矩阵 A ′= (a ′ (a 1n + a 2n + … + a nn). 对于矩阵A ′, 再用其第一列中的各分量 (或其它任何一列) 分别除以每一列中对应的各分量, 得矩 阵A ″, 此时, 矩阵A ″所有的元素 a ″ ij 都为 1. 充分性证毕. ij) n×n, 且 a ′ ij = a in 必要性: 已知某一判断矩阵A 经过归一化处理和“列向量除法”后, 所有的元素都为 1, 那么, 该判断矩 阵的秩应该为 1. 下面用反证法证明必要性. 假定原判断矩阵不具有完全一致性, 那么, 一定存在某一个 k 和 a ik, 使得下列不等成立: a ij ≠ a ik × a k j. 现分别取 j = 1, 2, …, n, 可得下列 n 个不等式: a i1 ≠ a ik × a k1, a i2 ≠ a ik × a k2, …, a in ≠ a ik × a kn. 根据上面 n 个不等式可知, 矩阵A 中的第 k 行和第 i 行不成比例, 故矩 阵A 的秩至少为 2, 与已知矛盾. 因此, 假设不成立, 也即原判断矩阵A 具有完全一致. 必要性证毕. 2 2　不满足一致性要求的判断矩阵调整方法 由 2 1 的分析可知, 对任何一个判断矩阵 A , 先对其各列作归一化处理, 然后再用归一化后的任何一 列的中各分量, 分别除以矩阵中所有列中的对应分量, 如果得到的新矩阵中所有的元素值都为 1, 则该判 断矩阵满足完全一致性要求 (此时, CR = 0) ; 如果该矩阵中的所有元素值都有接近 1, 则该判断矩阵的一 致性应该比较好 (此时, CR < 0 1) ; 如果某些元素值与 1 偏差较大, 则该判断矩阵的一致性比较差 (此时, 1) , 则需要对该矩阵进行调整. 对调整后的判断矩阵再重新计算其一致性指标 CR , 如果 CR 小于 CR 0 1, 则调整结束; 否则, 重复以上步骤, 直至满足一致性要求. 这就是本文新算法的设计思路. 0 此外, 根据第 1 部分的分析, 本文将要给出的新算法的指导思想是: 新算法既要保证调整后的判断矩 阵满足一致性要求, 又要在调整过程中充分尊重判断者的意愿. 为此, 新的算法首先将给出一定的规则, 然后由规则提示应该调整的元素 a ij, 如果判断者认为规则提示的元素应该调整, 则按有关规则调整该元 素 a ij 及其互反元素 a j i 的值; 如果判断者认为规则提示的元素不能修改 (即判断者认为自己以前所做出的 判断是正确的) 时, 规则应该能给出新的提示, 如此等等, 直到符合一致性要求的合理的调整方案出现. 如 果觉得有必要的话, 再重启动算法, 对原判断矩阵搜索其它合理的调整方案. 根据以上分析, 本文调整判断矩阵的算法如下: Step 0　输入已构造出来的判断矩阵A 的阶数 n 及其值 a ij, 并打印输出A (打印输出A , 主要是为了给 判断者在后面选择调整元素时提供参考). Step 1　计算判断矩阵A 的一致性指标 CR , 如果 CR 小于 0 Step 2　对判断矩阵A 作归一化处理, 设归一化后的矩阵为 A ′ 1, 则结束调整, 转 Step 6; 否则, 转 Step 2. A ′= (a ′ ij ) n×n, 其中 a ′ ij = a ij a ij ( j = 1, 2, …, n) n ∑ i= 1 　　Step 3　以A ′中的任何一列向量 (不妨取第一列) 的各分量, 除以矩阵A ′的每一列列向量中的对应分 量, 得矩阵 A ″(a ij ) n×n, 其中 a ″ ij = a ′ j = 1, 2, …, n. 打印输出A ″(打印输出A ″, 也是为了给判断 者在后面选择调整元素时提供参考). a ′ i1; i, ij A ″= 1 1 1 1 12 a ′ a ′ a ′ 22 32 11 a ′ a ′ a ′ 21 31 13 a ′ a ′ a ′ 23 33 1n a ′ 11 … a ′ a ′ 21 … a ′ a ′ 31 … a ′ 2n 3n 11 a ′ a ′ a ′ 21 31 a ′ n2 a ′ n1 a ′ n3 a ′ n1 … a ′ nn a ′ n1 i1 均为 1 之外, 其它各列的元素 a ″ ij 要么大于 1, 要么小于 1, 要么等于 1. 并 　　注 1　A ″中除第一列元素 a″ 且 a ″ i1 的大小不同, 含义也不同. 说明如下: 元素 a ″ 比对象的重要性之比的值 a ij 在第 j 列中取得过大, 以致于第 i 个被比较对象在第 j 列中的权重w j 阵完全一致时, w j 矩阵完全一致时, w 1 ij 大于 1, 说明在判断矩阵A 中, 与第一列 (参照列) 中的 a i1 相比, 第 i 个被比较对象与第 j 个被 i (判断矩 i (判断 i 也等于w i) , 因此, 为了使第 i 个被比较对象在各列的权重保持大至相等, a ij 应该减小. i 就等于第 i 个被比较对象的权重w i) 大于第 i 个被比较对象在第一列中的权重w 1 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
    第 6 期 A H P 中不一致性判断矩阵调整的新方法 78 需要补充说明的是: a ij 过大, 也可能是第 j 列中其它元素取值过小造成的, 因此, 也可以通过增加第 j 列中 其它元素值 (拟增加的这个元素对应的 a ″ ij 值一般应当小于 1, 否则就没有必要使其值增加) , 以达到使 a ij 相对减小的目的. 至于到底是减小 a ij 还是增加第 j 列中其它元素, 需要由判断者自己决定. 本文作出可以 增 加或减小第 j 列中其它元素值的规定, 是有特殊性意义的. 这是因为, 有时尽管某一元素 a ″ ij 虽然比较 大, 但判断者认为自己所作的判断 a ij 是正确的, 并坚持不应该对 a ij 进行调整, 此时, 选择增加或减小其它 元素的值, 应该说是一个比较好的方法. 事实上, 正是有了这样的规定, 新算法才能为判断者提供更多的 选择机会. 否则, 如果只有一种选择, 即使没有判断者参与, 机器也可以将 a ij 的值调整为符合一致性要求 的数值. 元素 a ″ ij 小于 1, 说明在判断矩阵A 中, 与第一列中的 (参照列) a i1 相比, 第 i 个被比较对象与第 j 个被比 对象的重要性之比的值 a ij 在第 j 列中取得过小, 以致于第 i 个被比较对象在第 j 列中的权重w j i (完全一致 时, 就是第 i 个被比较对象的权重w i) 小于第 i 个被比较对象在第一列中的权重w 1 i , 因此, 为了使第 i 个被 比较对象在各列的权重保持大至相等, 所以 a ij 应该增加. 当然, 也可以通过减小第 j 列中其它元素的值, 达到使 a ij 相对增加的目的. 元素 a ″ ij 等于 1 时, 暂不直接对 a ij 进行调整, 但 a ij 也有可能间接地被调整. 比如A ″中的第一列中的元 素值都为 1, 按规则不可能首先选择 a i1 中的任何一个进行调整, 但是, 如果第一行中有某一元素 a 1i 要被调 整, 则该元素在第一列中的互反元素 a i1 相应地也会被调整. 从这一点也可以看出, 本文将要给出的调整 规则不会产生调整死角——即被选为参照列的各元素不会被调整. 根据以上分析, 对矩阵 A ″进行调整的方法是: 从矩阵 A ″中首先选取最大的元素 a ″ ij 或最小的元素 a ″ ij (但要求 i ≠ j , 即不选择对角线上的元素作为被调整对象) , 然后决定是否调整与它们对应的矩阵 A 中 的元素 a ij , 其中 a ″ a ′ i1. ij ( i = 1, 2, …, n; j = 2, 3, …, n; i ≠ j ) , 如果判断者认为应该对最小的 a ″ Step 4　0) 取最小的 a ″ ij = a ′ ij 对 ij 应的 a ij 进行调整, 转 3) ; 否则, 转 1). 1) 取最大的 a ″ ij ( i = 1, 2, …, n; j = 2, 3, …, n; i ≠ j ) , 如果判断者认为不应该对最大的 a ″ a ij 进行调整, 转 2) ; 否则, 调整规则如下: 当 a ij 为整数时, 新的 a ij = a ij - 1, 其对应的 a j i = 1 5) ; 当 a ij 为整数的倒数时, 新的 a ij = 1 素不变, 即新的 a ij = a ij) a ij + 1) , 其对应的 a j i = 1 a ij + 1, 转 5). (1 ij 对应的 (a ij - 1) , 转 (其它未被调整的元 2) 判断者认为 a ij 不应该调整时, 可选择 a ″ ij 所在列最小的 a ″ ij 对应的元素作为拟调整对象. 若对新选 中的最小的 a ″ 3) 此时 a ″ ij (此时, a″ ij 小于 1. 当 a ij 为整数时, 调整后新的 a ij = a ij + 1, 对应的 a j i = 1 ij 也小于 1) 对应的元素进行调整, 转 3) ; 否则, 转 4). 为整数的倒数时, 调整后新的 a ij = 1 素不变, 即新的 a ij = a ij) (1 a ij - 1) , 与之对应的 a j i = 1 4) 当判断者认为 a ij 不应该调整时, 可重新选择下一个最大的 a ″ a ij - 1, 转 5). (a ij + 1) , 转 5) ; 当 a ij (其它未被调整的元 ≠ j; 并且要排除前面已经选择过的最大者 a ″ 时, 转 3) ; 当新的最大者 a ″ ij 等于 1 时, 转 5). ij. 当新的最大者 a ″ ij ( i = 1, 2, …, n; j = 2, 3, …, n; i ij 小于 1 ij 大于 1 时, 转 1) ; 当新的最大者 a ″ 5) 输出调整后的判断矩阵. Step 5　 重新计算调整后的判断矩阵的一致性指标 CR , 如果 CR 小于 0 1, 转 Step 6; 否则, 转 Step 2. Step 6　 调整结束, 得到的判断矩阵满足一致性要求. 注 2　Step 4 之 0) 中选取的最小 a ″ ij 一定是小于 1. 如若不然, 则矩阵A ″中所有的元素都应该是大于 等于 1 并且至少有一个大于 1 (但 A ″中的元素不可能全都等于 1. 因为如果全部等于 1, 根据本文中的定 理, 原判断矩阵 A 就是完全一致性判断矩阵, 那么A 就不需要调整) , 这就说明矩阵A ″中至少存在这样的 一列, 它的某一个分量大于第一列 (参照列) 中与该分量对应的分量, 而该列中的其它分量至少不小于第一 列中与它们对应的各分量, 由此可得: 该列各分量之和大于第一列 (参照列) 中各分量之和, 但这一结论与 判断矩阵归一化后每一列中的分量之和 (均为 1) 都相等是矛盾的. 因此, Step 4 之 0) 中第一次选取的最 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
    Ù Ù Ù Ù Ù Ù 88 系统工程理论与实践 2004 年 6 月 小的 a ″ ij 一定小于 1. 同理, Step 4 之 1) 中第一次选取的最大的 a ″ ij 也一定大于 1. 注 3　Step 4 中虽然是以最大的 a″ ij 为主, 设计了相应的环循算法, 但是通过 Step 4 之 2) , 每一列中的 最小的 a ″ ij 也都有可能被选中. 不仅如此, 从理论上说, 本文给出的算法能够让判断者有机会选择 A ″中除 第一列之外的任何元素 a ″ ij ——它实际上意味着判断者可以从 A 中选择任何一个元素进行调整, 如果判 断者认为该元素应该被调整的话. 具体方法是: 只要在调整过程中采取适当的放弃策略——即当规则提 示是否要对 a ″ ij 对应的元素 a ij 进行调整时, 选择不对该元素调整; 然后等待规则重新提示, 并不断选择放 弃策略, 直到判断者希望调整的元素 a ij 对应的 a ″ ij 被提示 (或者希望被调整的元素 a ij 的互反元素 a j i 对应 的 a ″ ij, 目的是使判断者有机会快速选取与最 小的 a ″ ij 对应的 a ij 作为调整对象. 这样的设计, 是为了让判断者能够在尽可能短的时间内得到以下两种最 可能的调整方案, 并对它们进行比较: 即选择最小的 a ″ ij 所对应的 a ij 进行调整. j i 被提示). 另外, 在 Step 4 之 0) 中首先设定了选取最小的 a ″ ij 对应的 a ij 进行调整, 和选择最大的 a ″ 注 4　作为不成文的规定, 一般情况下, 第一次调整时, 还是选取最大的 a ″ ij 对应的 a ij 作为被调整对 象, 也就是第一次在 Step 1 之 0) 时选择“否则”. 当然, 如果判断者在看了矩阵 A ″之后, 认为应该对最小 的 a ″ ij) , 那么在 Step 1 之 0) 也就不必选择“否 则”. 此外, 有时虽然已经得到某些调整方案, 但是为了进行比较, 如果想搜索对最小的 a ″ ij 对应的 a ij 进行 调整的方案, 在 Step 1 之 0) 也不必选择“否则”. ij 所对应的 a ij 进行调整 (比如, 最小的 a″ ij 的倒数大于最大的 a ″ 本算法的优点是: 当判断者通过算法得到了满足一致性要求的调整方案后, 如果想寻找新的调整方 案, 可重新启动算法, 对原判断矩阵进行再调整. 通过不断搜索 (如果判断者认为有必要的话) , 判断者可 以得到多个满足一致性要求的调整方案, 然后再从中选任何一个他认为是比较满意的方案. 可见, 本算法 确实能够比较充分地尊重判断者的意愿, 使判断者能够在规则指导下, 比较自主地选择需要调整元素. 3　本文算法调整判断矩阵的示例 为了比较起见, 本文先给出几种调整方法对下面例 1 进行调整后的结果. 然后再给出本文算法对例 1 的调整结果. 例 1 1, 2, 5, 6 　判断矩阵 A 如下 (为了后面叙述方便, 设被比较对象分别为 X 1、X 2、X 3) : A = 1 1 1 3 5 3 1 2 5 1 2 1 　　文献 1 用判断矩阵的特征向量和判断矩阵的列向量的夹角余弦的值, 作为调整依据, 夹角余弦的值 越小, 该列需要调整, 对相应的行 (列的转置) 也进行调整. 文献 1 给出的算法不需要判断者参与, 在计算 机上经过多次迭代计算, 调整后的判断矩阵如下列A 1 (此时, 文献 1 中 = 0. 9). 文献 6 也是用夹角余弦的思想, 先求出夹角余弦 i. d i 越大, 对 应的列需要调整. 调整方法是: 以最小的 d i 所对应的列为基准, 调整最大的 d k 和次最大的 d j 所对应的两 列中的一对互反元素 a k j 和 a jk. 根据其计算, 调整后为 A 2. 文献 5 和文献 6 的调整结果相同, 调整后也 是A 2. i, 然后求出距离 d i, 其中, d 2 i = 1 - 2 文献 2 先用“和积法”求出特征向量, 然后用该特征向量与判断矩阵的各列归一化后的向量 (即两向 量对应分量的商) 构造诱导矩阵, 诱导矩阵中的元素与 1 偏离越大, 则该元素首先被调整, 以此类推, 直至 满足一致性要求. 根据该方法, 调整的结果如A 3: 1 3. 428 5 A 1 = 0. 292 1 5 1 0. 550 　A 2 = 1. 818 1 1 1 1 3 5 3 1 1 3 5 3 1 　A 3 = 1 1 1 3 5 3 1 1 5 1 1 　　显然, 用上述三种方法对例 1 中的A 进行调整, 得到的A 1、A 2、A 3 都满足一致性检验. 但文献 1 没 有判断者参与, 显然不是很合适. 况且用该方法调整后的判断矩阵A 1 带有小数点, 一是破坏 1—9 标度法 只取整数的规定, 判断者心理上难以接受; 二是该方法无形中增加了小数标度值, 因此, 判断者有理由认 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
    第 6 期 A H P 中不一致性判断矩阵调整的新方法 98 为, 如果一开始就允许取小数, 他更愿意把A 中的 a 13 改为 4 5, a 31 改为 1 矩阵A 4 的一致性 (CR = 0. 068) 比A 1 的一致性 (CR = 0. 092) 还要好. 4 5, 经过这样调整, 得到的判断 事实上, 如果文献 1 能将机器求解例 1 的结果 A 1, 再请判断者进行二次调整, 得到的结果会更合理. 2, 这时, 调整 5, 若再将 a 12 1) , 并且反映了判断者的意 比如: 判断者将A 1 中 a 12、a 32 按四舍五入分别调整为 3 和 2, 将对应的 a 21、a 23 调整为 1 后的判断矩阵仍不满足一致性要求 (此时 CR = 0 调整为 4, a 21 调整为 1 愿. 3 和 1 1) ; 但考虑到A 1 中的 a 12 接近 3 4, 这样得到的A 5 就满足一致性要求 (CR = 0 157 > 0 090 < 0 A 4 = 1 1 3 4. 5 1 3 1 2 4. 5 1 2 1 　A 5 = 1 1 1 4 5 4 1 2 5 1 2 　A 6 = 1 1 1 1 3 4 3 1 1 4 1 1 　　文献 5 虽然有判断者参与, 但调整的结果并不太合理. 这是因为: 原判断矩阵A 中的 a 32 等于 2, 意味 着 X 3 比 X 2 重要 (“微小重要”) , 而调整后的 a 32 为 1 3, 意味着 X 2 反而比 X 3 重要, 并且是“稍为重要”. 调 整前和调整后的 X 2 和 X 3 的重要性不仅被颠倒过来, 并且调整幅度确实有点过大 (相差三个等级, 即同等 重要、微小重要、稍为重要). 可以想象, 除非判断者认为自己在前面构造判断矩阵A 时出现了重大的判断 失误, 否则, 对这种调整方案A 2, 判断者无论如何也难以接受. 文献 2 给出的调整结果虽然比较合理, 但 只有唯一解, 没有可替代的调整方案, 似乎也有点令人感到遗憾. 下面用本文给出的算法对例 1 进行调整. Step 0　输入例 1 给出的判断矩阵A (n = 3) , 并打印输出该矩阵 A . Step 1　计算判断矩阵A 的一致性指标 CR , 得 CR = 0 157 > 0 1, 故该判断矩阵A 不满足一致性要 求, 因此需要调整. Step 2　先对矩阵 A 各列进行归一化, 得A ′: 0. 545 0. 273 0. 182 A ′= 0. 571 0. 286 0. 143 0. 500 0. 333 0. 667 　　Step 3　以A ′中的第一列为参照列, 即用第一列中的各分量分别除以第二列和第三中对应的各分量, 得A ″(同时打印输出A ″, 以便判断者在决定如果调整时作参考) : 1. 179 0. 355 1. 176 0. 767 0. 770 2. 542 A ″= 1 1 1 　　Step 4　选取最大的 a ″ 应的 a 23 调整为新的 a 32 的倒数, 也为 1. 此时, 新的判断矩阵为A 新. 最小的 a ″ 23 = 0. 355. 后面将对此作说明) 542, 并对 a 32 进行调整. 由于 a ″ ij, 即: a ″ ij , 即 a ″ 32 = 2 32 大于 1, 故将 a 32 由 2 调整为 1, 对 (这里按约定, 在 Step 4 之 0) 放弃选择 A 新 = 1 1 1 3 5 3 1 1 5 1 1 　　Step 5　重新计算调整后的判断矩阵 A 新的一致性指标 CR , CR = 0 A 新满足一致性要求. 028 < 0 1, 故调整后的判断矩阵 23 (a ″ 可见, 本文求解例 1 所得到的A 新 与文献 2 的调整结果A 3 相同. 此外, 若在 Step 4 之 0) 直接选择最 2 32) 所对应的 小的 a ″ 调整为 1, 对应的 a 32 调整为 a 23 的倒数, 也为 1. 故调整结果也是A 新, 它与前面对最大的 a ″ a 32 进行调整, 得到的结果相同. 355) , 并对 a 23 进行调整, 则调整如下: 由于 a 23 (a 23 = 1 2) 小于 1, 故 a 23 应增加, 将其由1 23 = 0 ij (a ″ 如前所述: 利用本算法求解例 1, 还可以得到其它合理的调整方案, 下面将给出新的调整方案的选择 32 对 32 所 过程. 由于是重新选择新方案, 因此, 对原判断矩阵 A 要重新启动算法. 假定判断者认为对最大的 a ″ 应的 a 32 所作的判断是正确的, 不能修改, 那么在 Step 4 之 1) a ″ 32 被提示后, 将有两种选择: 一是选择 a ″ © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
    Ù ij, 也即选取 a ″ 13 所在列中最小的 a ″ 12; 另一种是选择第二列和第三列中次最大的 a″ 在的列中最小的 a ″ 的最大者被提示后, 也面临两种选择: 一是选择 a ″ 是选择 a ″ a ″ 33 是对角线上的元素, 故不可能选择, 下一个最大的元素 a ″ 实际上只有三条线路: 一是选择 a ″ a ″ 13, 再选择 a ″ a ″ 23, 此时还是可以有这种选择). 13 作为新 13 后, 又有两种选择: 一 33, 但 22 也是对角线上元素, 故也不可能选择. 至此, 12 后, 又放弃选择 23 这种情况, 故现在不必要重新计算. 但是, 如果前面没有选择过 23; 另一种选择就是再重新选择新的最大者 a ″ 23 (本文在前面已经分析过 a ″ 12; 二是放弃选择 a ″ 13; 三是放弃选择 a ″ 13, 二是放弃选择 a″ ij , 也就是选择 a ″ 12 后, 再选择 a ″ 13. 放弃选择 a ″ ij, 即选择 a ″ ij, 应该是 a ″ 13. 当 a ″ 先看选择 a ″ 12 的情况. 此时, a″ 767 < 1, 故应增加 a 12. 而 a 12 = 3, 所以将其调整为 4, 与其对应 4 (正如前面所说的那样, 第一列中的元素也会间接地被调整) , 由此得到的新的判断矩阵 12 = 0 的 a 21 调整为 1 就是A 5, 其 CR = 0 090 < 0 1, 故A 5 满足一致性要求. 09 系统工程理论与实践 2004 年 6 月 再看选择 a ″ 13 的情况. 由于 a ″ 可将 a 13 调整为 4, 对应的 a 31 调整为 1 整. 重新进入 Step 4, 此时, 取最大的 a ″ 断矩阵中的 a 32 由 2 调整为 1, a 23 由 1 < 0 13 大于 1, 故与其对应的 a 13 应该减小, 又由于 a 13 = 5, 是大于 1 的整数, 故 1, 需要对调整后的判断矩阵作进一步调 ij 对应的 a ″ ij 进行调整, 结果都是将新的判 009 4. 此时, CR = 0 103 > 0 ij 对应的 a ij 和取最小的 a ″ 2 调整为 1, 得判断矩阵A 6, 计算A 6 的一致性指CR , 得CR = 0 1, 故A 6 满足一致性要求. 至此, 可以对本文给出的算法求解 1 进行一个总结, 那就是: A 1 和 A 4 都带小数, 不符合判断者心理 期望, 本文的算法不可能得出这样的调整方案; A 2 调整幅度太大 —— 不太合理, 本文的算法一般也不可 能得出这样的调整方案; A 3、A 5、A 6 都是本文的算法给出的合理方案, 判断者可以通过与判断矩阵A 的比 较, 然后根据自己的意愿, 从中选择一个自己认为满意的方案. 当然, 如果判断者在第一次调整后, 得到了 满足一致性判断矩阵 A 3, 觉得不需要再比较, 也就不必像本文这样, 搜索其它调整方案 A 5 和A 6. 为了进一步演示本文给出的算法, 下面再看例 2. 例 2 1, 2, 5, 6 A = 1 9 1 3 5 1 9 1 1 1 5 2 3 5 1 2 1 5 2 1 2 1 　　为了节省篇幅, 对例 2 求解, 将只给出判断矩阵A 归一化和“列向量除法”后的矩阵A ″, 有些调整步骤 将不再像例 1 那样一一给出, 而是尽可能地省略. 同时,“列向量除法”仍然以第一列作为参照列. 例 2 求 解过程如下: 先计算判断矩阵A 的一致性指标 CR , CR = 1 740 > 0 1, 故A 不满足一致性要求. 对矩阵A 进行归 一化处理和“列向量除法”, 得A ″: A ″= 1 1 1 1 4. 200 0. 775 4. 136 0. 558 0. 831 0. 922 6. 136 0. 828 0. 938 0. 940 5. 045 0. 847 ij 是 a ″ 32、a ″ 33、a ″ ij 是 a ″ ij 和最小的 a″ 34 都很大, 因此, 马上可以联想到这可能是由于 a ″ 34, 最小的 a ″ 　　由矩阵 A ″可知, 最大的 a ″ a 34 和 a 43 是A 中一对互反元素, 因此, 选择最大的 a ″ 以看出, 第三行的 a ″ 此时选择对 a ″ (因为 a ″ a ″ 13 也很大 (在所有的 a ″ 第三大的 a ″ 由于 a ″ 13, 也即不选择调整 a ″ 34 所对应的 a 34 和 a ″ 31 对应的 a 31 进行调整, 那么, 第三行的 a ″ 43, 故可选择它们所对应的 a 34 或 a 43 进行调整. 由于 ij, 调整的结果相同. 另外, 从矩阵A ″还可 31 太小所造成的. 按推理, 如果 34 都将减小. 但按规则, 不可能直接选择 a ″ 31 31 对应的 32, 而是选择 13 所对应的 a 13 进行调整. 2. 调整后 34 和第二大的 a ″ 31 在第一列) , 因此, 也就不可能对 a 31 进行直接调整. 不过, 进一步观察又可以发现, 与 a ″ 13 大于 1, 因此, a ″ © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 13 要减小. 又由于 a 13 是整数, 故将 a 13 从 3 减为 2, 对应的 a31 调整为 1 ij 中是第三大) , 因此, 可以利用规则, 放弃选择最大的 a ″ 32 所对应的 a 32, 而是选择对 a ″ 32、a ″ 33、a ″
    Ù Ù Ù Ù Ù Ù 19 Ù 第 6 期 Ù 新的判断矩阵A 新1 如下: Ù Ù Ù Ù A H P 中不一致性判断矩阵调整的新方法 A 新1 = 1 9 1 2 5 1 9 1 1 1 5 2 2 5 1 2 1 5 2 1 2 1 　A ″ 新1 = 1 1 1 1 0. 938 0. 952 3. 469 0. 854 3. 077 0. 862 3. 125 0. 619 0. 831 0. 933 4. 219 0. 839 　　再计算判断矩阵A 新1 的一致性指标 CR , 得 CR = 1 次调整. 对A 新1 归一化和“列向量除法”后, 得A ″ 新1. 005 > 0 1, 故A 新1 仍不满足一致性要求, 需要再 219) 已经减小, 并且第三行中的 a ″ 由计算可知, 调整后的判断矩阵 A 新1 经归一化和“列向量除法”后, 得到的 A ″ ij (即 a ″ 34 = 新1 中的元 4 素大小和前面的 A ″规律相同, 即第三行中的第二列、第三列、第四列中的元素仍然很大 (列前三位) , 并且 第一行中的第三列的元素也很大 (列第四位). 按照前面分析, 再次选择 a ″ 13, 并对 a 13 进行调整. 此时将 a 13 由 2 减至 1, a 31 调整为新的 a 13 的倒数, 也是 1. 调整后得 A ″ 新2: 1 新1 中最大的 a ″ 13 也减小了. 不过, 此时A ″ 33 也同时得到减小, 此外, a ″ 32 和 a ″ 1 9 5 1 9 1 5 1 5 1 2 A ″ 新2 = 1 2 1 1 03 < 0 2 1 5 2 1, 故满足一致性要求. 1 　　再计算 A ″ 新2 的一致性指标 CR , CR = 0 2 减小为 1 ij 所对应的 a ″ 045 > 1) , 故将 a 32 由 1 ij ) : 第一次选择最大的 a ″ 3, 对应的 a 43 由 2 增加为 3. 调整后的判断矩阵的 CR = 0 以上是通过观察比较, 两次都选择对A 中的元素 a 13 进行调整. 其实, 我们也可以按正常顺序, 每次都 ij 进行调整. 具体调整过程如下 (由于篇幅关系, 今后将不再给出归一化和 136 > 1) , 1, 故需对调 32 = 119 ij 是 a ″ 34, 两 7 (前面已调整过 1, 仍不满 288 > 1) , 3) , a 43 选择A ″中最大的 a ″ 34 (a ″ “列向量除法”后的判断矩阵, 但仍给出未出现过的提示值 a ″ 故将 a 34 由 1 135 > 0 整后的判断矩阵进行再调整. 先对调整后的判断矩阵进行归一化和“列向量除法”, 此时, a″ 5 > 0. 1, 故仍需要再调整. 再对新的判断矩阵再作归一化和“列向量除法”, 此时, 最大的 a ″ 者均为 4 一次, 即由 1 足一致性要求, 故还得调整对新的判断矩阵作归一化和“列向量除法”, 此时, a ″ 因此, 仍选择 a 34 进行调整, 即将 a 34 由 1 由 3 增加到 4. 计算刚调整后的判断矩阵的 CR , 此时, CR = 0 6, a 23 由 5 调整为 6. 重新计算新得到的判断矩阵的 CR , CR = 0 32 和 a ″ 6) , a 23 由 6 增加到 7. 再计算调整后的判断矩阵 CR , CR = 0 32 对应的 a 32 进行调整, 即将 a 32 再由 1 113 > 0 34 = 4 2 调整为 1 4 (前面已调整过一次, 由最初的 1 273 (大于 1). 不妨选择对 a ″ 1, 故满足一致性要求. 32 最大 (a ″ 34 最大 (a ″ 6 调整为 1 3 减小为 1 5 调整为 1 5 减小到 1 087 < 0 34 = 6 3 增至 1 32, 而是选择第三大的 a ″ 2. 这样调整后的判断矩阵的 CR = 0 此外, 对判断矩阵A 还可以有以下两种比较合理的调整方案. 其一是: 在得到A ″后, 第一次选择对最 34 对应的 a 34 进行调整, 此时, 调整后的判断矩阵仍不满足一致性要求; 对新的判断矩阵作归一化和 13 (分析同前) , 并将 a 13 由 3 减小为 2, 大的 a ″ “列向量除法”后, 接下来不是选择最大的 a ″ a 31 由 1 后, 第一次选择对最大的 a ″ 矩阵作归一化和“列向量除法”后, 接下来仍选择最大的 a ″ 此时仍不满足一致性要求; 再对新的判断矩阵作归一化和“列向量除法”后, 接下来不选择最大的 a ″ 是选择第三大的 a ″ = 0 34 对应的 a 34 进行调整, 此时, 调整后的判断矩阵不满足一致性要求; 对新的判断 6, a 23 由 5 增加至 6, 32, 而 2. 这样调整后的判断矩阵的 CR 045 < 0 至此, 对例 2 我们可得到以下四种调整方案 (为了使调整路线看得比较清楚, 下面调整方案将只给出 13 (分析同前) , 并将 a 13 由 3 减小为 2, a 31 由 1 1, 故满足一致性要求. 其二是: 在得到A ″ 1, 故满足一致性要求. 32, 并将 a 32 由 1 5 减小为 1 3 增至 1 064 < 0 直接被选中并被调整的元素 a ij, 而对被调整的元素 a ij 的互反元素 a j i 的调整将被省略) : 方案 1　先将 a 34 由 1 2 调整为 1 3, 然后将 a 32 由 1 5 调整为 1 6, 再将 a 32 由 1 6 调整为 1 7, 最后将 a 34 由 1 3 调整为 1 4. 方案 2　先将 a 34 由 1 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 3, 再将 a 32 由 1 2 调整为 1 5 调整为 1 6, 最后将 a 13 由 3 调整为 2.
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