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离散数学课后习题及答案(左孝凌版).pdf
离散数学课后习题答案
离散数学课后习题答案 ((((左孝凌版
离散数学课后习题答案
离散数学课后习题答案
左孝凌版左孝凌版左孝凌版))))
1-1，1-2
（1） 解：
a) 是命题，真值为 T。
b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题，真值为 T。
f) 是命题，真值为 T。
g) 是命题，真值为 F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
（2） 解：
原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3） 解：
a)
b)
(┓P ∧R)→Q
Q→R
c) ┓P
d)
P→┓Q
（4） 解：
a)设 Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设 R:我在看电视。Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设 Q:一个数是奇数。R:一个数不能被 2 除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被 2 整除并且一个数不能被 2 整除，则它是奇数。
(5) 解：
a) 设 P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q
b) 设 P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q
c) 设 P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q
d) 设 P： a 和 b 是偶数。Q：a+b 是偶数。P→Q
e) 设 P：四边形 ABCD 是平行四边形。Q ：四边形 ABCD 的对边平行。P↔Q
f) 设 P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R
(6) 解：
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q
P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R
R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S
A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B
M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N
L:你看电影。M:我看电影。 ┓L→┓M
P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R
P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q
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1
1-3
（1）解：
a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）
b) 是合式公式
c) 不是合式公式（括弧不配对）
d) 不是合式公式（R 和 S 之间缺少联结词）
e) 是合式公式。
（2）解：
a） A 是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。这个过程可以简记为：
A；(A∨B)；(A→(A∨B))
同理可记
b） A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A)
c） A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A))
d） A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A))
（3）解：
a） ((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))
b） ((B→A)∨(A→B))。
（4）解：
a) 是由 c) 式进行代换得到，在 c) 中用 Q 代换 P, (P→P)代换 Q.
d) 是由 a) 式进行代换得到，在 a) 中用 P→(Q→P)代换 Q.
e) 是由 b) 式进行代换得到，用 R 代换 P, S 代换 Q, Q 代换 R, P 代换 S.
（5）解：
a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P
Q
b) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (P∧Q)→R
c) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 ┓(P∧Q)
d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P→(Q↔R)
∨
（6）解：
P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。
这个人起初主张：(P∧Q∧R) ↔ S
后来主张：(P∧Q↔S)∧(S→R)
这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有 P∧Q 必同时有 R，开头时没有这样的主张。
（7）解：
a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))
b) P: 我今天进城。Q:天下雨。┓Q→P
c) P: 你走了。 Q:我留下。Q→P
1-4
（4）解：a)
P
Q
R
Q∧R
P∧(Q∧R)
P∧Q
(P∧Q)∧R
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2
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
所以，P∧(Q∧R) ⇔ (P∧Q)∧R
T
F
F
F
T
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
b)
R
T
F
T
F
T
F
T
F
Q∨R
P∨(Q∨R)
P∨Q
(P∨Q)∨R
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｆ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
所以，P∨(Q∨R) ⇔ (P∨Q)∨R
ｃ）
Ｐ Ｑ Ｒ Ｑ∨Ｒ Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ） Ｐ∧Ｑ Ｐ∧Ｒ （Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）
Ｔ Ｔ Ｔ
Ｔ Ｔ Ｆ
Ｔ Ｆ Ｔ
Ｔ Ｆ Ｆ
Ｆ Ｔ Ｔ
Ｆ Ｔ Ｆ
Ｆ Ｆ Ｔ
Ｆ Ｆ Ｆ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｔ
Ｆ
Ｔ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
所以，┓(P∧Q) ⇔┓P∨┓Q, ┓(P∨Q) ⇔┓P∧┓Q
（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式 F1～F6，可表达为
P
Q
R
F1
F2
F3
F4
F5
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F
F
F
T
F6
3
P
T
T
T
T
F
F
F
F
Q
T
T
F
F
T
T
F
F
P
T
T
F
F
所以，P∧(Q∨R) ⇔ (P∧Q)∨(P∧R)
ｄ）
Q
T
F
T
F
┓P
F
F
T
T
┓Q
┓P∨┓Q
┓(P∧Q)
┓P∧┓Q
┓(P∨Q)
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
F1:(Q→P)→R
F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)
F3:(P←→Q)∧(Q∨R)
F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)
F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)
F6:┓(P∨Q∨R)
(6)
1
F
F
F
F
Q
F
T
F
T
2
T
F
F
F
3
F
T
F
F
4
T
T
F
F
5
F
F
T
F
6
T
F
T
F
7
F
T
T
F
解：由上表可得有关公式为
F
F
F
T
F
F
F
T
8
T
T
T
F
1.F
2.┓(P∨Q)
3.┓(Q→P)
4.┓P
5.┓(P→Q)
9.P∧Q
13.P
6.┓Q
10.P↔Q
14.Q→P
7.┓(P↔Q)
8.┓(P∧Q)
11.Q
12.P→Q
15.P∨Q
16.T
(7) 证明：
a)
A→(B→A)⇔ ┐A∨(┐B∨A)
⇔ A∨(┐A∨┐B)
⇔ A∨(A→┐B)
⇔┐A→(A→┐B)
b) ┐(A↔B) ⇔┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))
⇔┐((A∧B)∨┐(A∨B))
⇔(A∨B)∧┐(A∧B)
或 ┐(A↔B) ⇔┐((A→B)∧(B→A))
⇔┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
⇔┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))
⇔┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))
⇔┐(┐(A∨B))∨(A∧B)
⇔(A∨B)∧┐(A∧B)
c) ┐(A→B) ⇔ ┐(┐A∨B) ⇔A∧┐B
d) ┐(A↔B)⇔┐((A→B)∧(B→A))
⇔┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
⇔(A∧┐B)∨(┐A∧B)
e)
(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))
⇔(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))
⇔(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)
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T
T
F
F
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
T
9
F
F
F
T
10
11
12
13
14
15
16
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
4
⇔ (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D
⇔((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D
⇔ (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D
⇔ ((C∧(A↔B))→D)
A→(B∨C) ⇔ ┐A∨(B∨C)
f)
⇔ (┐A∨B)∨C
⇔┐(A∧┐B)∨C
⇔ (A∧┐B)→C
g)
(A→D)∧(B→D)⇔(┐A∨D)∧(┐B∨D)
⇔(┐A∧┐B)∨D
⇔ ┐(A∨B)∨D
⇔ (A∨B)→D
h)
((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))
⇔(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))
⇔ (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C
⇔(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C
⇔┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C
⇔ ((A∨┐D)∧B)→C
⇔ (B∧(D→A))→C
（8）解：
a)
b)
c)
((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C
⇔ ((┐A∨B) ↔ (B∨┐A))∧C
⇔ ((┐A∨B) ↔ (┐A∨B))∧C
⇔T∧C ⇔C
A∨(┐A∨(B∧┐B)) ⇔ (A∨┐A)∨(B∧┐B) ⇔T∨F ⇔T
(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)
⇔ (A∨┐A) ∧(B∧C)
⇔T∧(B∧C)
⇔B∧C
（9）解：1）设 C 为 T，A 为 T，B 为 F，则满足 A∨C⇔B∨C，但 A⇔B 不成立。
2）设 C 为 F，A 为 T，B 为 F，则满足 A∧C⇔B∧C，但 A⇔B 不成立。
3）由题意知┐A 和┐B 的真值相同，所以 A 和 B 的真值也相同。
习题 1-5
（1） 证明：
a)
(P∧(P→Q))→Q
⇔ (P∧(┐P∨Q))→Q
⇔(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q
⇔(P∧Q)→Q
⇔┐(P∧Q)∨Q
⇔┐P∨┐Q∨Q
⇔┐P∨T
⇔T
b) ┐P→(P→Q)
⇔P∨(┐P∨Q)
⇔ (P∨┐P)∨Q
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5
c)
d)
⇔T∨Q
⇔T
((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
因为(P→Q)∧(Q→R)⇒(P→R)
所以 (P→Q)∧(Q→R)为重言式。
((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))
⇔((a∨c)∧b)∨(c∧a)
⇔((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))
⇔(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)
所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 为重言式。
（2） 证明：
a)(P→Q)⇒P→(P∧Q)
解法 1：
设 P→Q 为 T
（1）若 P 为 T，则 Q 为 T，所以 P∧Q 为 T，故 P→(P∧Q)为 T
（2）若 P 为 F，则 Q 为 F，所以 P∧Q 为 F，P→(P∧Q)为 T
命题得证
解法 2：
设 P→(P∧Q)为 F ，则 P 为 T，(P∧Q)为 F ，故必有 P 为 T，Q 为 F ，所以 P→Q 为 F。
解法 3：
(P→Q) →(P→(P∧Q))
⇔┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))
⇔┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))
⇔T
所以(P→Q)⇒P→(P∧Q)
b)(P→Q)→Q⇒P∨Q
设 P∨Q 为 F，则 P 为 F，且 Q 为 F，
故 P→Q 为 T，(P→Q)→Q 为 F，
所以(P→Q)→Q⇒P∨Q。
c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))⇒R→Q
设 R→Q 为 F，则 R 为 T，且 Q 为 F，又 P∧┐P 为 F
所以 Q→(P∧┐P)为 T，R→(P∧┐P)为 F
所以 R→(R→(P∧┐P))为 F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为 F
即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))⇒R→Q 成立。
（3） 解：
a)
b)
c)
d)
P→Q 表示命题“如果 8 是偶数，那么糖果是甜的”。
a)的逆换式 Q→P 表示命题“如果糖果是甜的，那么 8 是偶数”。
a)的反换式┐P→┐Q 表示命题“如果 8 不是偶数，那么糖果不是甜的”。
a)的逆反式┐Q→┐P 表示命题“如果糖果不是甜的，那么 8 不是偶数”。
（4） 解：
a) 如果天下雨，我不去。
设 P：天下雨。Q：我不去。P→Q
逆换式 Q→P 表示命题:如果我不去，则天下雨。
逆反式┐Q→┐P 表示命题:如果我去，则天不下雨
b) 仅当你走我将留下。
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6
设 S：你走了。R：我将留下。R→S
逆换式 S→R 表示命题：如果你走了则我将留下。
逆反式┐S→┐R 表示命题：如果你不走，则我不留下。
c) 如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。
设 E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H
逆换式 H→E 表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。
逆反式┐H→┐E 表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助
（5） 试证明 P↔Q，Q 逻辑蕴含 P。
证明：解法 1：
本题要求证明(P↔Q) ∧Q⇒P,
设(P↔Q) ∧Q 为 T，则(P↔Q)为 T，Q 为 T，故由↔的定义，必有 P 为 T。
所以(P↔Q) ∧Q⇒P
解法 2：
由体题可知，即证((P↔Q)∧Q)→P 是永真式。
((P↔Q)∧Q)→P
⇔ (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P
⇔ (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P
⇔ (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P
⇔ ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P
⇔ ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P
⇔┐Q∨┐P∨P
⇔┐Q∨T
⇔T
（6） 解：
P：我学习
Q：我数学不及格
R：我热衷于玩扑克。
如果我学习，那么我数学不会不及格：
P→┐Q
如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: ┐R→P
但我数学不及格:
Q
因此我热衷于玩扑克。
即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q⇒R
R
证：
证法 1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R
⇔ ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R
⇔ (P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R
⇔ ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))
⇔ ┐Q∨P∨R∨┐P
⇔ T
所以，论证有效。
证法 2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q 为 T，
则因 Q 为 T，(P→┐Q) 为 T，可得 P 为 F，
由(┐R→P)为 T，得到 R 为 T。
故本题论证有效。
（7） 解：
P：6 是偶数
Q：7 被 2 除尽
R：5 是素数
如果 6 是偶数，则 7 被 2 除不尽
或 5 不是素数，或 7 被 2 除尽
P→┐Q
┐R∨Q
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7
5 是素数
R
所以 6 是奇数
即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R ⇒┐P
┐P
证：
证法 1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P
⇔ ┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P
⇔ ((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P
⇔ ((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q))
⇔ (┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q)
⇔T
所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。
证法 2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R 为 T，
则有 R 为 T，且┐R∨Q 为 T，故 Q 为 T，
再由 P→┐Q 为 T，得到┐P 为 T。
（8） 证明：
a)
P⇒(┐P→Q)
设 P 为 T，则┐P 为 F，故┐P→Q 为 T
b) ┐A∧B∧C⇒C
假定┐A∧B∧C 为 T，则 C 为 T。
C⇒A∨B∨┐B
c)
因为 A∨B∨┐B 为永真，所以 C⇒A∨B∨┐B 成立。
d) ┐(A∧B) ⇒┐A∨┐B
设┐(A∧B)为 T，则 A∧B 为 F。
若 A 为 T，B 为 F，则┐A 为 F，┐B 为 T，故┐A∨┐B 为 T。
若 A 为 F，B 为 T，则┐A 为 T，┐B 为 F，故┐A∨┐B 为 T。
若 A 为 F，B 为 F，则┐A 为 T，┐B 为 T，故┐A∨┐B 为 T。
命题得证。
e) ┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A⇒B∨C
设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A 为 T，
则 D∨E 为 T，(D∨E)→┐A 为 T，所以┐A 为 T
又┐A→(B∨C)为 T，所以 B∨C 为 T。命题得证。
f)
(A∧B)→C，┐D，┐C∨D⇒┐A∨┐B
设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D 为 T，则┐D 为 T，┐C∨D 为 T，所以 C 为 F
又(A∧B)→C 为 T，所以 A∧B 为 F，所以┐A∨┐B 为 T。命题得证。
（9）解：
a) 如果他有勇气，他将得胜。
P：他有勇气
Q：他将得胜
原命题：P→Q
逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失败了，说明他没勇气。
b) 仅当他不累他将得胜。
P：他不累
Q：他得胜
原命题：Q→P
逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他将失败。
习题 1-6
(1)解：
a)
b)
(P∧Q)∧┐P⇔(P∧┐P)∧Q⇔┐(T∨Q)
(P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q
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