1994年甘肃高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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1994 年甘肃高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷(选择题共 65 分) 一、选择题：本大题共 15 小题；第(1)—(10)题每小题 4 分，第(11)—(15)题每小题 5 分，共 65 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的新疆王新敞奎屯 (1) 设全集 I={0，1，2，3，4}，集合 A={0，1，2，3}，集合 B={2，3，4}，则 A  B ( ) (A) {0} (C) {0，1，4} (B) {0，1} (D) {0，1，2，3，4} (2) 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是 ( ) (A) (0，+∞) (B) (0，2) (C) (1，+∞) (D) (0，1) (3) 极坐标方程   cos     4      所表示的曲线是 ( ) (A) 双曲线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 圆 (4) 设θ是第二象限的角，则必有 ( ) (A) (C)  tg  2  sin 2  ctg  2  cos 2 (B) (D)  tg  2  sin 2  ctg  2  cos 2 (5) 某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过 3 小时，这种细菌由 1 个可繁殖成 (A) 511 个 (6) 在下列函数中，以为周期的函数是 (B) 512 个  2 (C) 1023 个 (D) 1024 个 ( ( ) ) (A) y=sin2x+cos4x (B) y=sin2xcos4x (C) y=sin2x+cos2x (D) y=sin2xcos2x (7) 已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体积为 ( )

(A) 32 3 (B) 28 3 (C) 24 3 (D) 20 3 (8) 设 F1 和 F2 为双曲线 2x 4 －y2=1 的两个焦点，点 P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2 的面积是 (A) 1 (B) 5 2 (C) 2 (D) (9) 如果复数 z满足│z+i│+│z－i│=2，那么│z+i+1│的最小值是 (A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) ( ) ( ) 5 5 (10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担．从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有 (A) 1260 种 (B) 2025 种 (C) 2520 种 (D) 5040 种 (11) 对于直线 m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 (A) m⊥n，m∥α，n∥β (C) m∥n，n⊥β，mα (B) m⊥n，α∩β=m，n α (D) m∥n，m⊥α，n⊥β ( ( ) ) (12) 设函数 f(x)=1－ 1 x 2 (－1≤x≤0)，则函数 y=f－1(x)的图像是 ( ) (13) 已知过球面上 A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是 (A) 16 9 π (B) (14) 函数 y=arccos(sinx) 8 3    π (C) 4π   3  x 2    3  的值域是 (D) 64 9 π ( ) ( ) (A)    5    ， 6 6  (B)   50    ， 6  (C)    2    ， 3 3  (D) 2     ，  6 3  (15) 定义在(－∞，+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函

数 h(x)之和，如果 f(x)=lg(10x+1)，x∈(－∞，+∞)，那么 ( ) (A) g(x)=x，h(x)=lg(10x+10－x+2) (B) g(x)= (C) g(x)= 1 2 x 2 (D) g(x)=－ x 2 1 2 x 2 x 2 [lg(10x+1)+x]，h(x)= [lg(10x+1)－x] ，h(x)=lg(10x+1)－，h(x)=lg(10x+1)+ 第Ⅱ卷(非选择题共 85 分) 二、填空题 (本大题共 5 小题，共 6 个空格；每空格 4 分，共 24 分．把答案填在题中横线上) (16) 在(3－x)7 的展开式中，x5 的系数是新疆 (用数字作答) 奎屯王新敞 (17) 抛物线 y2=8－4x的准线方程是，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是新疆王新敞奎屯 (18) 已知 sinθ +cosθ = 1 5 ，θ∈(0，π)，则 ctgθ的值是_____________ 新疆王新敞奎屯 (19) 设圆锥底面圆周上两点 A、B间的距离为 2，圆锥顶点到直线 AB的距离为 3 ， AB和圆锥的轴的距离为 1，则该圆锥的体积为_________ 新疆王新敞奎屯 (20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n次测量分别得到 a1， a2，…an，共 n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从 a1，a2，…，an推出的 a=_________ 新疆王新敞奎屯三、解答题(本大题共 5 小题，共 61 分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) (21) (本小题满分 11 分) 已知 z=1+i． (1)设ω=z2+3 z －4，求ω的三角形式； (2)如果 2 z z b az   1 z  2 1  i ，求实数 a，b的值． (22) (本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)=tgx， x∈ (0 ，  2 ) ．若 x1 ， x2 ∈ (0 ，  2 ) ，且 x1 ≠ x2 ，证明 1 2 [f(x1)+f(x2)]>f( x 2 ) x  1 2 (23) (本小题满分 12 分) 如图，已知 A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是 AC中点． (1)证明 AB1∥平面 DBC1； (2)假设 AB1⊥BC1，求以 BC1 为棱，DBC1 与 CBC1 为面的二面角α的度数． (24) (本小题满分 12 分) 已知直线 l过坐标原点，抛物线 C顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上．若点 )0,1(A 和点 B(0，8)关于 l的对称点都在 C上，求直线 l和抛物线 C的方程． (25) (本小题满分 14 分) 设{an}是正数组成的数列，其前 n项和为 Sn，并且对于所有的自然数 n，an与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项． (1)写出数列{an}的前 3 项； (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)； (3)令 b n  1 2    1   a n a n n a a n 1    N n  ，求  lim b 1 n   b 2    b n  . n 参考答案一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算) 16．－189 17．x=3，(x－2)2+y2=1 18． 3 4 19． 22 3 

1 20．  a 1 n  a  2  na 三、解答题 21．本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力．解：(1)由 z＝1+i，有 ω=z2+3 z －4 =(1+i)2+3 i1 －4 =2i+3(1－i)－4=－1－i， ω的三角形式是 2    cos 5 4   i sin 5 4     ． (2)由 z=1+i，有 2 2 az b z   1 z z     ba a  i   a 2    =    1 b a    1  2 1  i i  2   1 i    1 i   2 i  iba  由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i．根据复数相等的定义，得 a     12  ) ( ba   1 解得 a   b  ,1  .2  22．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力．证明： tgx1+tgx2= sin cos x  1 x 1 sin cos x 2 x 2   sin x 1 cos x cos cos  cos x 2 x 1 x 1 sin x 2 2 sin cos  x  x 1 2 cos x x 1  2

 cos  x 1  x 1   2 x   cos  x 1  2 x ∵x1，x2∈(0， )，x1≠x2， sin2 x  2  2 ∴2sin(x1+x2)>0，cos x1cosx2>0，且 0   sin2 x 1  cos x  1 x  2 x   2 1 ，∴ 1 2 ( tgx1+tgx2)>tg x 2 x  1 2 ，即 1 2 [f(x1)+f(x2)]>f( x 2 ) x  1 2 23．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力． (1)证明： ∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四边形 B1BCC1 是矩形．连结 B1C交 BC1 于 E，则 B1E=EC．连结 DE．在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1．又 AB1  平面 DBC1，DE 平面 DBC1，∴AB1∥平面 DBC1． (2)解：作 DF⊥BC，垂足为 F，则 DF⊥面 B1BCC1，连结 EF，则 EF是 ED在平面 B1BCC1 上的射影． ∵AB1⊥BC1，由(1)知 AB1∥DE，∴DE⊥BC1，则 BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．设 AC=1，则 DC= DF=DC·sinC= 1 2 3 4 ．∵△ABC是正三角形，∴在 Rt△DCF中，，CF=DC·cosC= 1 4 ．取 BC中点 G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．在 Rt△BEF中， EF2=BF·GF，又 BF=BC－FC= 3 4 ，GF= 1 4 ， ∴EF2= 3 4 · 1 4 ，即 EF= 3 4 ．∴tg∠DEF= DF EF   1 ．∴∠DEF=45°． 3 4 3 4

故二面角α为 45°． 24．本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．解法一：依题设抛物线 C的方程可写为 y2=2px (p>0)，且 x轴和 y轴不是所求直线，又 l过原点，因而可设 l 的方程为 y=kx (k≠0)． ① 设 A'、B'分别是 A、B关于 l的对称点，因而 A'A⊥l，直线 A'A的方程为 y  1 k  x 1  ② 由①、②联立解得 AA'与 l的交点 M的坐标为     1 2  1 k  ， k 2     1 k ．又 M为 AA'的中点，从而点 A'的坐标为 x A'=   2   1 2     1 1 k 2 2 k k   1 1 ， y A'=  2    2 k     0 1 k 2 2 k  1 k ．同理得点 B'的坐标为 xB'= 16 k 2 k 1 ， y B'= 2  8 k 2 k  1  1  ． ③ ④ 又 A'、B'均在抛物线 y2=2px(p>0)上，由③得     2 2 k  2    1 k 2 2 2 kp  k   1 1 ，由此知 k≠±1， 2 2 ⑤ 2    2 p  16 k 2 k  1 ． p  即 2 k 4 1 k  同理由④得   8 k  2 k   2 k  2 k  1  1   1  k 1  p  即 2 2 ．

从而 2 2 k 4 k 1 2 =  2 k  2 k 2  1  k 1  ，整理得 k2－k－1=0．解得 k 1  5 1  2 ， k 2  5 . 1  2 但当 k 5 1 2 时，由③知 Ax 5  5 0 ，这与 A'在抛物线 y2=2px(p>0)上矛盾，故舍去 k 2 5 ． 1  2 设 k 将 k 5 5 1 2 1 2 ，则直线 l的方程为 y  5 1 2 x ．代入⑤，求得 52p 5 ．所以直线方程为抛物线方程为 y  5 1 2 x ． y 2  54 5 x ．解法二：设点 A、B关于 l的对称点分别为 A'(x1、y1)、B'(x2，y2)，则 |OA'|=|OA|=1，|OB'|=|OB|=8．设由 x轴正向到 OB'的转角为α，则 x2=8cosα，y2=8sinα． ① 因为 A'、B'为 A、B关于直线 l的对称点，而∠BOA为直角，故∠B'OA'为直角，因此 x1=cos         2  =sinα，y1=sin         2  =－cosα， ② 由题意知 x1>0，x2>0，故α为第一象限角．因为 A'、B'都在抛物线 y2=2px上，将①、②代入得 cos2α=2p·sinα，64sin2α=2p·8cosα．

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