医学图像重建，CT，非常好的入门教材.pdf

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书资料大小：2.15M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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医学图像重建入门犹他大学, 曾更生 2009 高等教育出版社前言我平生第一次接触到医学图像重建是我来到犹他大学做博士后的时候。当时 Grant Gullberg 博士和 Rolf Clackdoyle 博士开课讲授图像重建算法。我在课上很详细的记了笔记。这些笔记对我后来所从事的医学成像工作很有帮助。直到今天，我还要时常翻阅那些笔记。这本书摘选了那些笔记中的一些内容，并包含了最近的一些研究成果。这是一本入门的书, 其宗旨是向读者介绍经典的和现代的图像重建方法. 本书涵盖了二维(2D)平行光束和扇形束成像, 三维(3D)平行线, 平行面, 及锥形束成像. 包括解析算法和迭代算法. 本书还描述了这些算法在X光CT, SPECT, PET, 和 MRI 等医学影像中的应用. 本书对最新的研究成果, 如使用截断的投影数据精确重建 ROI, Katsevich 的锥形束滤波反投影 (FBP) 算法, 以及利用 l0 极小化方法来重建极度欠采样数据. 本书力图用深入浅出的方式介绍一些高深的理论. 它尽量用图示和直观的方式来展开讨论. 作者觉得用这种聊天的方式, 而不是用严紧的数学推导方式, 来介绍一门应用数学学科, 可以使读者不至于怯而止步. 读者通过阅读本书可以对医学图像重建领域有个概括性的了解. 希望读者朋友们能喜欢这本书. 在这里我要感谢我的启蒙老师 Grant Gullberg 博士和 Rolf Clackdoyle 博士，以及我的同事们和同行们（特别是华人学者尤江生，梁正荣，潘小川，王革，陈光红）对我的大量帮助。我要感谢毛雁飞对书稿的校阅。最后，我特别要感谢我的家人李亚，Andrew， Kathy，和 Megan 的支持。书中标有星号 “*” 的章节, 读者第一次阅读时可以跳过, 而不会影响书的连贯性. 曾更生 2009年8月于美国犹他州盐湖城

目录第1章断层成像的基本原理..................................................................................1 1.1 断层成像 .....................................................................................................1 1.2 投影 .............................................................................................................3 1.3 图像重建 .....................................................................................................6 1.4 反投影 .........................................................................................................9 1.5* 数学表达式 .............................................................................................11 1.5.1 投影....................................................................................................11 1.5.2 反投影................................................................................................12 1.5.3狄拉克δ函数 .......................................................................................13 1.6 例题 ...........................................................................................................16 1.7 小结 ...........................................................................................................20 参考文献 .........................................................................................................21 第2章平行光束图像重建....................................................................................23 2.1 傅里叶变换 ...............................................................................................23 2.2 中心切片定理 ...........................................................................................24 2.3 重建算法 ...................................................................................................27 2.3.1 方法 1.................................................................................................27 2.3.2 方法 2.................................................................................................28 2.3.3 方法 3.................................................................................................29 2.3.4方法 4..................................................................................................30 2.3.5方法 5..................................................................................................30 2.4 计算机模拟例子 .......................................................................................32 2.5* 利用截断的投影数据重建ROI...............................................................33 2.6* 数学表达式 .............................................................................................39 2.6.1 傅里叶变换与卷积 ............................................................................39 2.6.2 希尔伯特变换与有限希尔伯特变换 ................................................39 2.6.3中心切片定理的证明 .........................................................................42 2.6.4 FBP (先滤波后反投影) 算法的推导 ................................................44 2.6.5 先卷积后反投影算法的数学表达式 ................................................45 2.6.6 拉东反演公式的数学表达式 ............................................................45 2.6.7先反投影后滤波算法的推导 .............................................................46 2.7 例题 ...........................................................................................................47 2.8 小结 ...........................................................................................................50 参考文献 .........................................................................................................51 第3章扇形束图像重建........................................................................................53 3.1 扇形束成像的几何描述及其点扩散函数................................................53 3.2 平行光束算法到扇形束算法的转换........................................................56

3.3 短扫描 .......................................................................................................59 3.4* 数学表达式 .............................................................................................62 3.4.1 扇形束FBP(先滤波后反投影)算法的推导.......................................62 3.4.2 扇形束的 DHB (Derivative，Hilbert Transform，Backprojection 求导，希尔伯特变换，反投影) 算法 ..................................................................................................64 3.5 例题 ...........................................................................................................66 3.6 小结 ...........................................................................................................70 参考文献 .........................................................................................................71 第4章透射型投影和发射型投影的断层成像 ....................................................73 4.1 X光 CT (计算机断层成像).......................................................................73 4.2 PET (正电子发射断层成像) 和 SPECT (单光子发射计算机断层成像) 78 4.3 发射型断层成像的衰减修正....................................................................82 4.4* 数学表达式 .............................................................................................86 4.5 例题 ...........................................................................................................88 4.6 小结 ...........................................................................................................90 参考文献 .........................................................................................................91 第5章三维图像重建............................................................................................93 5.1 平行的线积分数据 ...................................................................................93 5.1.1 先反投影后滤波算法 ........................................................................96 5.1.2 先滤波后反投影 FBP 算法...............................................................98 5.2 平行的面积分数据 ...................................................................................98 5.3 锥形束数据 .............................................................................................101 5.3.1 Feldkamp 算法.................................................................................102 5.3.2 Grangeat 算法 ..................................................................................103 5.3.3 Katsevich 算法.................................................................................105 5.4* 数学表达式 ...........................................................................................110 5.4.1 平行的线积分数据的先反投影后滤波算法 ..................................110 5.4.2 平行的线积分数据的先滤波后反投影算法 .................................111 5.4.3 三维拉东反演公式（先滤波反投影算法） ..................................113 5.4.4 三维拉东数据的先反投影后滤波算法 ..........................................113 5.4.5 Feldkamp算法..................................................................................114 5.4.6 Tuy 关系 .........................................................................................116 5.4.7 Grangeat 关系 .................................................................................118 5.4.8 Katsevich 算法.................................................................................121 5.5 例题 .........................................................................................................128 5.6 小结 .........................................................................................................131 参考文献 .......................................................................................................132 第6章迭代重建..................................................................................................135 6.1 解线性方程组 .........................................................................................135 6.2 代数重建算法（英文是 ART = Algebraic Reconstruction Technique）140 6.3 梯度下降算法 .........................................................................................142 6.4 ML-EM (利用求最大期望值来求最大似然函数) 算法........................146 6.5 OS-EM (分成有序的子集来求期望值的极大值) 算法.........................147 6.6 噪声控制 .................................................................................................148 6.6.1 解析方法 — 加窗函数 ....................................................................148 6.6.2 迭代方法 — 提前停止迭代 ............................................................149 6.6.3 迭代方法 — 选择像素模型 ............................................................149

6.6.4 迭代方法 — 精确建模 ....................................................................152 6.7 噪声模型建于似然函数中......................................................................153 6.8 利用先验知识 (贝叶斯法则)..................................................................156 6.9* 数学表达式 ...........................................................................................157 6.9.1 ART..................................................................................................157 6.9.2 共轭梯度算法..................................................................................159 6.9.3 ML-EM.............................................................................................161 6.9.4 OS-EM .............................................................................................164 6.9.5 MAP (Green 的迟一步算法) ...........................................................164 6.9.6 匹配的和不匹配的投影运算与反投影运算对 ..............................165 6.10* 利用 l0 极小化来重建极度欠采样数据 .............................................167 6.11 例题 .......................................................................................................170 6.12 小结 .......................................................................................................182 参考文献 .......................................................................................................183 第7章 MRI 中的图像重建.................................................................................187 7.1 磁 “M” .....................................................................................................187 7.2 共振 “R” ..................................................................................................189 7.3 成像 “I” ...................................................................................................193 7.3.1 获取 z 方向信息—层片选择 ..........................................................193 7.3.2获取 x 方向信息—频率编码 ...........................................................194 7.3.3获取 y 方向信息—相位编码 ...........................................................196 7.4* 数学表达式 ...........................................................................................199 7.5 例题 .........................................................................................................203 7.6 小结 .........................................................................................................204 参考文献 .......................................................................................................205

第1章断层成像的基本原理 1.1 断层成像断层成像顾名思义就是要得到一个物体内部的截面图像。比如你想知道西瓜里面是什么样的，最简单的办法就是把西瓜切开 (图1.1)。显然对病人来说，这是万不可行之举。我们真想有个办法，不用动刀，就可把病人内部看得清清楚楚。图 1.1 把西瓜切开，内部就一目了然。让我们来看另一个例子。你想到一个美丽的街心公园去参观。可惜，公园正在维修，游人不得入内。你只好在公园的外围走走，拍几张照片。公园内有两棵参天大树，极为壮观。你在公园的东面和南面对公园拍了照 (图1.2 左)，颇为满意。回到家后，你用你的得意照片，居然画出了公园地图，并确定了那两棵树的位置 (图1.2右)。其实，要确定那两棵树的位置并不难。你只要把那两张照片按原本的方位放好。从照片上的每棵树画出一条垂线。

2 第1章断层成像的基本原理这些线的交点就是大树的位置了。如果你有足够多的照片的话，画出个公园地图并非难事。重建的地图树树东视图南视图图 1.2 利用两张照片来重建公园地图。断层成像是个数学问题。让我们一起做个有趣的数学习题吧。这里有个 2x2 的矩阵。矩阵中的元素的数值暂时保密。我给你一些暗示：第一行的和是 5。第二行的和是 4。第一列的和是 7。第二列的和是 2 (图1.3)。你可以算出这个 2x2 矩阵吗? 2 2x 4x 5 4 7 图 1.3 猜猜这个 2x2 矩阵。 1x 3x

这个问题可以用解方程组的方法解决。设那些矩阵元素为未知数，列一 1.2 投影 3 个线性方程组： x 1 + x 2 = 5 , x 3 + x 4 = 4 , x 1 + x 3 = 7 , x 2 + x 4 = 2 。解这个方程组便得到， x 1 = ,3 x 2 = ,2 x 3 = ,4 x 4 = 0 。祝贺你! 你用数学方法解决了一个断层成像问题。一般来说，断层成像都是用数学计算的手段解决的。怪不得有CT (Computed Tomography 计算机断层成像，直译为：计算出的断层成像) 这个词。通常为说话简捷起见，“计算出的” 这几个字就略去不说了。矩阵每一行的和，每一列的和的概念可以推广为一个图像的射线和，线积分，和投影数据。从物体的投影数据来得到物体的内部断层成像的过程就称之为图像重建。如果断层成像问题再复杂一点我们怎么办呢? 比如说，公园里有很多很多树。仅靠两张照片就能画出一张公园地图吗? 如果我们考虑的矩阵远远大于两行两列，仅仅靠知道每一行的和及每一列的和，我们能解出原矩阵吗? 一般来说，不能。我们需要更多的数据。这些数据从何而来呢? 我们需要从更多不同的角度来采集数据。类似于上面谈到的“猜猜矩阵”的问题，我们需要从不同的角度对矩阵求和。这样一来，就需要用到更复杂的数学来解决一个实际的断层成像问题。 1.2 投影为了体会出投影 (也就是射线和，线积分，及拉东变换) 的概念，我们在这里给出几个例子。在第一个例子中，所考虑的物体是二维x-y平面中的一个均匀圆盘。圆盘的圆心在坐标原点。圆盘的线密度函数是个常数ρ (图1.4)。物体的投影值 (即线积分值) 就是弦长 t 乘以线密度 ρ 。其数学表达式为如果 |s| < R, = sp )( R 否则的话, p(s) = 0。 ρρ t = 2 2 2 − s ;

4 第1章断层成像的基本原理在这个特例中，投影值 p(s) 对于所有的角度 θ 来说都是一样的。这个角度θ 是探测器相对于物体的旋转角度。 y R 物体 ρ t s x 探测器 0 s s )(sp R− 探测器 0 s R s 物体 t 图 1.4 跨圆盘的线积分等于弦长乘以线密度。如果物体相对于旋转中心没有对称性的话，物体的投影值 p(s, θ) 则因角度 θ 的不同而不同 (图1.5)。下一个例子考虑 y 轴上的一个点源。我们来探讨投影值 p(s, θ) 与角度 θ 之间的奥妙关系 (图1.6)。请留意探测器上点源留下的 “足迹” s 的位置。该点源在探测器 s 的位置上产生了一个脉冲。该脉冲的位置 s 可以表达为

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