研究与开发 基于 MatLab 的 三种群 Volterra 模型数值求解 唐家德 ( 楚雄师范学院数学系, 楚雄 675000) 摘 要: 建立三种群间相互依存又相互制约的 Volterra 微分方程模型和改进模型, 并结合模型的 MatLab 数值解,对模型的稳定性进行了说明。 关键词: 种群; Volterra 模型; 数值解; 平衡点 0 引 言 自然环境中的某一种生物的群体, 生态学上称为 种群。如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生 存, 那么它们之间就要存在着或是相互竞争, 或 是相 互依存, 或是弱肉强食( 食饵与捕食者) 的 关系, 自然 界中不同种群之间还存在着一种 非常有趣的既有依 存、又有制约的生存方式: 种群甲靠丰富的自然资源 生长, 而种群乙靠 捕食种群甲为生, 种群丙又靠捕食 种群乙为生, 类似的现象还存在很多。下面假设这种 情况: 一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物, 又长着茂盛的植物, 爬行动物以哺乳动物为食, 哺乳 动物又依赖植物生存, 由此建立描述三种群数量变化 规律的微分方程模型。 图 1 1 基本模型( Volterra 模型) 当植物、哺乳动物、爬行动物在一个自然环境中 生存时, 把植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作 x1(t), x2(t), x3(t) 。若不考虑自然资源对植物的限制, 植 · 物独立生存时以指数规律增长, 相对增长率为 r1, 即 x(t)=r1x1, 而哺乳动物的存在使植物的增长率减小, 设 减小的程度与捕食者数量成正比, 于是植物的模型为: ( 1) · x1(t)=x1( r1- λ1x2) 比例系数 λ1 反映哺乳动物掠取植物的能力。 哺乳动物离开植物无法生存, 设它独自存在时死 亡率为 r2, 即 x2(t)=- r2x2, 而 植 物 的 存 在 又 为 哺 乳 动 物 提供了食物, 植物的存在相当于使哺乳动物的死亡率 降低, 且促使哺乳动物增长, 设这种作用与植物 的数 量成正比, 则有: · ( 2) x2(t)=x2(- r2+λ2x1) · 比例系数 λ2 反映植物对哺乳动物的供养能力。 哺乳动物又为爬行动物提供了食物, 爬行动物的 存在使哺乳动物的增长率减小, 设减小的程度与爬行 动物的数量成正比, 于是( 2) 式右端 应减去爬行动 物 对哺乳动物增长的阻滞作用, 于是哺乳动物的模型应 为: ( 3) x2(t)=x2(- r2+λ2x1- μx3) · 比例系数 υ反映爬行动物掠取哺乳动物的能力。 爬行动物离开哺乳动物无法生存, 设它独自存在 时死亡率 为 r3, 即 x3(t)=- r3x3, 而 哺 乳 动 物 的 存 在 又 为 爬行动物提供了食物, 相当于使爬行动物的死亡率降 低, 且促使爬行动物的增长, 于是爬行动物的模型为: ( 4) · x3(t)=x3(- r3+λ3x2) 比例系数 λ3 反映哺乳动物对爬行动物的供养能 · 力。 方程( 1) 、( 3) 、( 4) 构成植物、哺乳动物、爬行动 物三者依存、制约现象的数学模型, 即 1 1 (- r +λ1x2) · x1(t)=x ! # # # x2(t)=x2(- r2+λ2x1- μx3) · # " # · # x3(t)=x3(- r3+λ3x2) # # $ ( 5) 收稿日期: 2007- 06- 18 修稿日期: 2007- 08- 11 作者简介: 唐家德( 1970- ) , 男, 云南楚雄人, 讲师, 理学硕士, 从事领域为应用数学的教学和研究工作 !" MODE R N COMP UTE R 2007.9 现 代 计 算 机 ( 总 第 二 六 七 期 ) 

研究与开发 2 模型分析 微分方程组( 5) 没有解析解, 可利用 MatLab 求微 分方程组( 5) 的数值解, 通过对数值结果和图形的 观 察, 猜测它的解析解的构造; 记植物、哺乳动物、爬行动物的初始数量分别为: x1(0)=x10 , x2(0)=x20 , x3(0)=x30 ( 6) 为求微 分 方 程 组( 5) 及 初 始 条 件( 6) 的 数 值 解 x1 (t), x2(t), x3(t)( 并 作 图 ) , 设 r1=1,r2=0.5,r3=0.6,λ1=0.1,λ2= 0.02,λ3=0.06,μ=0.1,x10=100,x20=40,x30=6,用 MatLab 软件 编制程序如下: function f=fun1(t,x); r1 =1;r2 =0.5;r3 =0.6;lambda1 =0.1;lambda2 =0.02; lambda3=0.06;mu=0.1; f=[x(1)*(r1- lambda1*x(2));x(2)*(- r2+lambda2*x(1)- mu*x (3));x(3)*(- r3+lambda3*x(2))]; [t,x]=ode45('fun1',[0,20],[100,40,6]); subplot(1,2,1) plot(t,x(:,1),'- ',t,x(:,2),'- .',t,x(:,3),':') legend('x1(t)','x2(t)','x3(t)') grid subplot(1,2,2) plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) grid 可得 x1(t), x2(t), x3(t)及相轨线如图 2 所示( 数值结 果从略) 。 图 2 数值解的图形及轨线图 从图中可以猜测 x1(t), x2(t), x3(t)是周期函数, 从数 值解近 似 定 出 周 期 为 6.25, 用 数 值 积 分 可 以 算 出 x1 (t), x2(t), x3(t)在一个周期的平均值x =11 =71,x 2 =13,x 3 1 3 Volterra 模型的局限性 许多生态学家指出, 多数生态平衡系统都观察不 到 Volterra 模型显示的周期性, 而是趋向某种平衡状 态, 即系统存在稳定平衡点。另外, 一些生态学家认 为, 自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统 应该是结构稳定的, 即系统受干扰偏离原来的周期轨 后, 其内部制约机制会使系统自动恢复, 如恢复原有 的周期和振幅。而 Volterra 模型描述的周期变化状态 却不是结构稳定的, 在 MatLab 数值解中, 只要对设参 数做微小变动, 其周期解就会改变。 4 改进模型 将 植 物 、哺 乳 动 物 、爬 行 动 物 的 数 量 仍 然 分 别 记 为, 且数量的演变均遵从 Logistic 规律。当植物独立生 存时, 植物的模型为: x 1 N · x 1 !"t =r ( 7) 1- 1! " x 1 1 r1 为植物的固有增长率, N1 是环境资源容许的植 物的最大数量。 而植物又为哺乳动物提供食物, 于是植物的模型 应为: · x 1 !"t =r 1 x 1 1- ! x 1 N 1 - σ1 x2 N2 " ( 8) N2 是哺乳动物的最大容量 , σ1 的意义是: 单位数 量 的 哺 乳 动 物( 相 对 N2 而 言) 掠 取 σ1 倍 的 单 位 植 物 量( 相对 N1) 。 哺乳动物没有植物的存在会灭亡, 设 其 死 亡 率 为, 则哺乳动物独立存在时有: · ( 9) x2!"t =- r2x2 植物为哺乳动物提供食物, 于是( 9) 式 右 端 应 加 上植物对哺乳动物的促进作用, 哺乳动物的增长又受 到自身的阻滞作用, 于是有: x 1 N 1 - 1- x2 ! N2 · x2!"t =r2x2 " ( 10) +σ2 σ2 的 意 义 是 : 单 位 数 量 的 植 物 ( 相 对 于 N1) 供 养 σ2 倍的单位哺乳动物量( 相对于 N2) 。 哺乳动物又为爬行动物提供食物, 于是哺乳动物 的模型应为: · x2!"t =r2x2 - 1- x2 ! N2 +σ2 x 1 N 1 - σ3 x3 N3 " (11) σ3 类似于 σ1 的解释。 爬行动物没有哺乳动物的存在会灭亡,设其死亡 率为 r3, 则爬行动物单独存在时有: x3(t)=- r3x3 哺乳动物为爬行动物提供食物,且爬行动物的增 长又会受到自身的阻滞增长作用, 于是爬行动物的模 MODE R N COMP UTE R 2007.9 !" 现 代 计 算 机 ( 总 第 二 六 七 期 ) 

型为: 研究与开发 +σ4 · x3!"t =r3x3 - 1- x3 ! N3 x2 N2 σ4 的解释类似于 σ2。 方程( 8 )、(11)、( 12) 构成了植物、哺乳动物、爬行 (12) " 动物三者依存现象的数学模型, 即: # · x1!"t =r1x1 % % % % % % · %% x2!"t =r2x2 $ % % % % · x3!"t =r3x3 % % %% & 1- x1 ! N1 - 1- x2 ! N2 - 1- x3 ! N3 - σ1 x 2 N 2 x 1 N 1 " - σ3 +σ2 - σ4 x2 N2 " x3 N3 " ( 13) 利用 MatLab 求微分方程组( 13) 的数值解, 设 σ1= 0.6,σ2=5,σ3=0.5,σ4=2,r1=1,r2=0.5,r3=0.6,N1=1000,N2=300, N3=20,用 MatLab 软件编制程序如下: function f=fun2(t,x); sigma1=0.6;sigma2=5;sigma3=0.5;sigma4=2; r1=1;r2=0.5;r3=0.6; N1=1000;N2=300;N3=20; f=[r1*x(1)*(1- x(1)/N1- sigma1*x(2)/N2); r2*x (2)* (- 1 - x (2)/N2 +sigma2*x (1)/N1 - sigma3*x (3)/ N3); r3*x(3)*(- 1- x(3)/N3+sigma4*x(2)/N2)]; [t,x]=ode45('fun2',[0,15],[900,200,15]); plot(t,x), grid 可得植物、哺乳动物、爬行动物的数量随时间变 化的关系图( 数值结果略) 。 图 3 数值解的图形 从图 3 可看出的变化情况, 随着时间的推移, 都 趋于一个稳定值,从数值解中可近似得到该稳定值为 ( 460, 270, 16) 。 5 稳定性分析 根据微分方程组( 13) 解代数方程组: 2 1 ,x ,x f x ,x 3! # % % % % % % g x %% $ % % % % h x ,x3! % % %% & ,x 3! ,x 2 1 1 2 "=r1x1 1- x1 ! N1 - 1- x2 ! "=r2x2 N2 - 1- x3 ! N3 "=r3x3 - σ1 x 2 N 2 x 1 N 1 "=0 - σ3 +σ2 - σ4 x2 N2 "=0 x3 N3 =0 " ( 14) !" MODE R N COMP UTE R 2007.9 现 代 计 算 机 ( 总 第 二 六 七 期 ) - 1+σ2 ! N 2 1+σ1 σ2 +σ3 +σ3 σ4 " , 得到 8 个平衡点: P1(0,0,0),P2(0,0,- N3),P3(N1,0,0),P4(N1,0,- N3), 1+σ4! " ", - N 3 N 2 ! P5(0,- N2,0),P6 0, 1+σ1! " N N , 2 1 1+σ1 σ2 ! P 7 - N 1 ( P 8 - N 3 - 1- σ1 σ2 ! 1+σ1 σ2 +σ4 +σ3 σ4 1+σ3 σ4 "0 , +σ1 σ3 " , - 1+σ3! " , 1+σ3 σ4 - 1+σ2! " , 1+σ1 σ2 - σ1 +σ3 σ4 " ) - σ2 σ4 1+σ1 σ2 ! 1+σ1 σ2 为了达到生态系统平衡, 3 种生物中的某一种不 至灭绝, 仅当平衡点中的 x1,x2,x3>0 时才有实际意义, 从上面 8 个平衡点可以看出, 只有 P8 点才表明植物、 哺乳动物、爬行动物在同一环境里相互依存而共生, 下面将分析稳定的条件。 由 P8 点的表达式容易看出, 要使平衡点 P8 有实 际意义, 即 x1,x2,x3>0, 必须满足下面的条件: σ1σ3<1+σ3σ4+σ1 , σ2+σ3>1 , σ2+σ4>1+σ1σ2+σ4 我们不难验证前面 MatLab 微分方程数值解所设 的参数是满足以上条件的, 并且 P 8 - N 1 ( - N 3 - 1- σ1 σ2 ! 1+σ1 σ2 +σ4 +σ3 σ4 1+σ1 σ2 ! 1+σ1 σ2 - σ1 +σ3 σ4 - σ2 σ4 +σ1 σ3 " , - 1+σ2 ! N 2 1+σ1 σ2 +σ3 +σ3 σ4 " , " )=( 460, 270, 16) 这与数值计算的结果相一致, 表明 P8 为稳定平衡点。 6 模型评价 若不考虑植物、哺乳动物、爬行动物对自 身 的 阻 滞增长作用, 则从基本模型中可以得出, 植物、哺乳动 物、爬行动物的数量都是呈周期变化的。若考虑植物、 哺乳动物、爬行动物对自身的阻滞增长作用, 则 从改 进模型可以得出, 植物、哺乳动物、爬行动物的数量当 达到一定程度时, 它们的数量都 稳定在一定的范 围 内。说明植物、哺乳动物、爬行动物在满足一定的条件 下 , 它们相互依存的数量变化最终都将趋于稳定。达 到现实生活中的生态平衡。 参 考 文 献 [1]姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型. 北京: 高等教育出版 社, 2003(8): 184~201 [2]王高雄. 常微分方程. 北京: 高等教育出版社, 2002: 261~267 [3]陈兰荪. 数学生态学模型与研究方法. 科学出版社, 1991 ( 下转第 34 页) 

图形图像 参考文献 [1]Ian Davidson, Goutam Paul. Locating Secret Messages in images. KDD 2004: 545~550 Created Software, Proceedings on Workshop on Information Hiding, Portland, OR, April 1998. Also Published as Notes in Computer Science, vol.1525,Springer- Verlag, 1998 [2]Johnson, Neil F. and Jajodia, Sushil.Steganography: Seeing [4]边肇琪, 张学工等编著, 模式识别. 第二版, 清华大学 the Unseen,IEEE Computer, pp.26—34, February 1998 出版社, 2002(10) [3]Johnson, Neil F. and Jajodia, Sushil. Steganalysis of Images Steganalytic Algorithm Bas ed on Color Characteris tic of Image SU Gui- lian1 , LIU Yan- qing2 ( 1. Department of Computer Science and Technology, Shandong Agricultural Administrators College, Jinan 250100; 2. Department of Computer, Shandong College of Electronic Technology, Jinan 250014) Abs tract: Proposes a steganalytic algorithm based on color characteristic of image, this algorithm is based on color characteristic of 24 bit BMP image. Image's feature vector was extracted on color change of cover- image and stego- image, the set of image is classified using support vector machine, and get a excellent measurement result. Keywords : Steganography; Steganalysis; Support Vector Machine !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ( 上接第 18 页) Numerical Solution of Volterra Model Between Three Biological Populations Bas ed on MatLab TANG Jia- de (Department of Mathematics, Chuxiong Normal University, Chuxiong 675000) Abs tract: Establishes the Volterra differential equation model and the improvement model which be- tween three populations mutually depends on the existence mutually restricts, combines with the MatLab numerical solution to the model, describes the stability of the model. Keywords : Biological Population; Volterra Model; Numerical Solution; Equilibrium Points MODE R N COMP UTE R 2007.9 !" 现 代 计 算 机 ( 总 第 二 六 七 期 )