2014年北京科技大学数学分析考研真题.doc

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2014 年北京科技大学数学分析考研真题北京科技大学 2014 年硕士学位研究生入学考试试题 ============================================================================== 试题编号： 613 试题名称：数学分析适用专业：数学, 统计学说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。 ============================================================================== 1.(15 分) （1）计算极限 lim 0 x  a （2）设 1  0, a n 1   2(1  2  a a 2 x  0 ln(1 cos  xdx 2 ) x ； ) n , ( n  1,2,3, n  证明: lim n a ), n  存在，并求该极限. 2. (15 分) (1)设 u  2 x  2 y  2 z ，其中 z  ),( yxf 是由方程 3 x  3 y  3 z  3 xyz 所确定的隐函数, 求 xu . (2) 设   x u   y u    z u  2 3    2 v v 3 v ，求 z  x  . 3. (15 分)设 )(xf 在 0,2 上连续，且 )0(f ＝ (2) f ，证明  0x  0,1 ，使 ( 0xf ) ＝ 0( f x  1). 4.(15 分) 设 f (x) 为偶函数, 试证明:

 D ( a a 其中 :| D x |  ,| a y |   0). ( f x  y )d d x y  2 a 2 0  (2 ( )d , a u f u u  ) 5. (15 分 ) 设 )(xf 在区间 [0,1] 上具有二阶连续导数，且对一切 [0,1] x  ，均有 ( ) f x M f  , ''( ) x M  . 证明: 对一切 [0,1] x  ，成立 '( ) f x M 3 . 6. (15 分) 设 0a , ( )fx 是定义在区间[ , ]aa 上的连续偶函数, (1) 证明:  a  a ( ) d fx 1 e  x x  a  0 ( )d fx x ; (2) 计算积分   2   2 3 cos x 1 ex  d . x 7. (15 分) (1)证明：级数    1 1n x 4 n x 2 在[0, ) 上一致收敛； (2)求级数   n 1  n n n ( 1) 8  ln(  n 3 n ) 3 n  2 x 的收敛域. 8. (15 分) 证明：若  f x y 在矩形区域 D 满足： ,  | ( , f x y 1 )  ( , f x y 2 ) |  L x 1 1 |  x 2 | 与 | ( , f x y 1 )  ( , f x y ) |  2 L y 2 1 |  y 2 |, 其中 1 ,L L 是正的常数，则函数  2 f x y 在 D 一致连续. ,  9.(15 分) 设对于半空间 0x 内任意的分片光滑的有向封闭曲面  , 都有 ( )d d f x y z    xy x  2 1 d d z x  d d x y  0,

其中函数 ( ) f x 在[0, ) 上具有一阶连续导数, 且 (0) 1, f  求 ( ) f x . 10. (15 分) 设   f x    ,  f x m    0   a x b   ，证明: sin  f x dx   2 m . b  a

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