第1页 / 共18页
第2页 / 共18页
第3页 / 共18页
第4页 / 共18页
第5页 / 共18页
第6页 / 共18页
第7页 / 共18页
第8页 / 共18页
2000北京考研数学二真题及答案.doc
2000 北京考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
(1)
lim
0
x
x
arctan
x
3
ln(1 2 )
x
.
(2) 设函数
y
( )
y x
由方程 2xy
所确定，则
y
x
xdy
0
.
(3)
2
dx
7)
(
x
x
2
.
(4) 曲线
y
(2
x
1
1) x
e
的斜渐近线方程为
.
(5) 设
A
1
2
0
0
0
3
4
0
(
)
E B
1
0
0
0
0
5
0
6 7
.
， E 为 4 阶单位矩阵，且
B
(
)
E A
1
(
)
E A
则
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数 ( )
f x
(A)
a
0,
b
(C)
a
0,
b
0.
x
a e
0.
在 (
bx
内连续，且 lim ( ) 0,
则常数 ,a b 满足 (
f x
)
,
x
)
(B)
a
0,
b
0.
(D)
a
0,
b
0.
(2) 设函数 ( )
f x 满足关系式
f
( )
x
[
( )]
f x
2
(A) (0)
f 是 ( )
f x 的极大值.
，且 (0) 0
，则 (
f
x
)
(B) (0)
f 是 ( )
f x 的极小值.
(C)点 (0,
f
(0))
是曲线
y
( )
f x
的拐点.
(D) (0)
f 不是 ( )
f x 的极值，点 (0,
f
(0))
也不是曲线
y
( )
f x
的拐点.
(3 ) 设 ( ),
f x g x 是大于零的可导函数，且 '( ) ( )
x g x
( )
f
( )
f x g x
'( ) 0,
则当 a
x b
时，有 (
)
(A) ( ) ( )
f x g b
( ) ( )
f b g x
(B)
( ) ( )
f x g a
( ) ( )
f a g x
(C) ( ) ( )
f x g x
( ) ( )
f b g b
(D)
( ) ( )
f x g x
( ) ( )
f a g a
(4) 若
lim
0
x
sin 6
x
3
x
( )
xf x
0
，则
lim
0
x
6
( )
f x
2
x
为 (
)
(A)0.
(B)6.
(C)36.
(D) .
y
(5) 具有特解 1
x
e
,
y
2
2
xe
x
,
y
3
的 3 阶常系数齐次线性微分方程是 (
x
3
e
)
(A)
y
y
y
y
0.
(B)
y
y
y
y
0.
(C)
y
6
y
11
y
6
y
0.
(D)
y
2
y
y
2
y
0.
三、(本题满分 5 分)
ln(1
x
(ln )
x
设
f
x
)
，计算 ( )
f x dx
.
四、(本题满分 5 分)
设 xoy 平面上有正方形
D
( ,
x y
) 0
x
1,0
及直线 :
l x
y
1
y
(
t t
0)
.若
( )S t 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求
x S t dt x
( )
,(
0
0)
.
五、(本题满分 5 分)
求函数
( )
f x
2
x
ln(1
六、(本题满分 6 分)
在 0
x 处的 n 阶导数 (0)(
nf
x
)
n
3)
.
设函数
( )
S x
x
0
| cos |
t dt
，
(1)当 n 为正整数，且
n
x
(
n
1)
时，证明 2
n
( ) 2(
S x
n
1)
；
(2)求
lim
x
( )
S x
x
.
七、(本题满分 7 分)
某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为
V
6
，流入湖泊内不含 A 的
V
6
水量为
，流出湖泊的水量为
，已知 1999 年底湖中 A 的含量为 05m ，超过国家规定指
标.为了治理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 0m
V
.问至多需
V
3
要经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 0m 以内(注：设湖水中 A 的浓度是均匀的)
八、(本题满分 6 分)
f x 在
设函数 ( )
( )
f x dx
0, 上连续，且
(
, ，使 1
f
f
2
)
(
2
0
( )cos
f x
xdx
0
，试证明：在 (0,
)
0
0,
) 0.
内至少存在两个不同的点 1
九、(本题满分 7 分)
已知 ( )
f x 是周期为 5 的连续函数，它在 0
x 的某个邻域内满足关系式
f
(1 sin ) 3 (1 sin ) 8
x
x
f
x
( )
x
其中 ( )x 是当
x 时比 x 高阶的无穷小，且 ( )
f x 在 1x 处可导，求曲线
0
y
( )
f x
在点
(6,
f
(6))
处的切线方程.
十、(本题满分 8 分)
设曲线
y
2(
ax a
0,
x
与
0)
1y
交于点 A ，过坐标原点O 和点 A 的直线与曲
x
2
线
y
2
ax 围成一平面图形.问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？
最大体积是多少？
十一、(本题满分 8 分)
函数 ( )
f x 在[0,
) 上可导， (0) 1
且满足等式
f
( )
f x
( )
f x
x
(1)求导数 ( )
f x ；
x
1
1
0
f
( )
t dt
0,
(2)证明：当 0
x 时，成立不等式
xe
( ) 1
f x
成立
十二、(本题满分 6 分)
1
1
2
0
1
2 ,
1
设
,
0
0 ,
8
A
T
,
B
T
.其中 T 是的转置，
求解方程 2
2B A x A x B x
2
4
4
十三、(本题满 7 分)
已知向量组 1
0
1 ,
1
2
a
2 ,
1
3
b
1
0
与向量组 1
1
2 ,
3
2
3
0 ,
1
3
9
6
7
具有相同的秩，且 3 可由 1
, 线性表出，求 ,a b 的值.
,
2
3
一、填空题
参考答案
(1)【答案】 1 6
【详解】
lim
0
x
arctan
x
ln 1 2
3
x
x
3
2
x
3
ln 1 2
x
lim
0
x
arctan
2
x
x
3
x
1
洛
lim
0
x
1
1
2
x
6
x
2
lim
0
x
2
6
x
2
x
1
2
x
1
6
(2)设函数
y
( )
y x
由方程 2xy
【答案】 (ln 2 1)dx
所确定，则
y
x
xdy
0
.
【详解】
方法 1：对方程 2xy
两边求微分，有
x
y
xy
2 ln 2 (
xdy
)
ydx
.
dx dy
由所给方程知，当 0
x 时 1y . 将 0
x ， 1y 代入上式，有 ln 2 dx
dx dy
.
所以，
xdy
0
(ln 2 1)
dx
.
方法 2：两边对 x 求导数，视 y 为该方程确定的函数，有
xy
2 ln 2 (
xy
y
) 1
y
.
当 0
x 时 1y ，以此代入，得
y
ln 2 1
，所以
xdy
0
(ln 2 1)
dx
.
(3)【答案】
3
【详解】由于被积函数在 2
照不定积分计算，再对其求极限即可.
x 处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按
作积分变量替换，令
x
2
,
t x
2
2
t dx
2
tdt
,
2
dx
7)
(
x
x
2
0
2
t
9)
t
2
(
t
dt
2
1
3
arctan
0
t
3
2
3 2
.
3
(4)【答案】 2
x
y
1
【公式】 y
kx b
为
y
( )
f x
的斜渐近线的计算公式：
k
y
lim ,
x
x
x
x
b
lim [
x
x
x
( )
f x
kx
]
【详解】
k
lim
x
y
x
lim (2
x
11
)
e
x
x
2,
b
lim (
x
y
2 )
x
lim[(2
x
x
1)
e
1
x
2 ]
x
令
1
x
u
lim(
0
u
u
2
e
2
u
e
u
)
lim(
0
u
u
2(
e
1)
u
u
e
)
u
e
1
lim(
u
0
u
2
u
u
u
e
) 2 1 1
所以，x 方向有斜渐近线 2
x
y
. 当 x 时，类似地有斜渐近线 2
1
x
y
1
.
总之，曲线
y
(2
x
1
1) x
e
的斜渐近线方程为 2
x
y
1
.
(5)【答案】
1
1
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
3
0
3 4
【详解】先求出
(
)
E B
1
然后带入数值，由于
B
(
)
E A
1
(
)
E A
，所以
(
E B
)
1
2(
)
E A
1
1
2
2
2
0
0
0
4
4
0
E
(
)
E A
1
(
)
E A
(
)
E A
1
(
)
E A
－１
)
E A
(
(
－１
1
2
0
0
0
0
6
0
6 8
－１
1
(
)
E A
)
E A
1
1
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
3
0
3 4
二、选择题
(1)【答案】D
【详解】排除法：
如果 0a ，则在 (
内 ( )
f x 的分母
)
,
a e 必有零点 0x ，从而 ( )
f x 在
bx
x
x 处
0
不连续，与题设不符.不选 (
)A ，若 0b ，则无论 0
a 还是 0
a 均有 lim ( )
f x
x
与题
,
设 lim ( ) 0
f x
矛盾，不选 (
x
)B 和 (
)C .故选 (
)D .
(2)【答案】C
【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数 ( )
f x 在 0x 出具有二阶导数且
f x
0(
) 0
，
f
x
0(
) 0
，那么：(1) 当
f
x
0(
时，函数 ( )
) 0
f x 在 0x 处取得极大值；
(2)当
f
x
0(
时，函数 ( )
) 0
f x 在 0x 处取得极小值；
【详解】令等式
f
( )
x
[
( )]
f x
2
中 0
x ，得
x
f
(0) 0
f
(0)
2
，无法利用判断极
0
值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.
再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：
f
( )
x
(
x
( )
f x
2
)
1 2 ( )
f x f
( )
x
以 0
x 代入，有 (0) 1
f
，所以
f
(0)
lim
0
x
(0)
f
( )
x
x
f
0
lim
0
x
f
( )
x
x
1
.
从而知，存在 0
x 去心邻域，在此去心邻域内， ( )
x 与 x 同号，于是推知在此去心
f
邻域内当 0
x 时曲线
y
( )
f x
是凸的，在此去心临域内 0
x 时曲线
y
( )
f x
是凹的，
点 (0,
f
(0))
是曲线
y
( )
f x
的拐点，选(C).
(3)【答案】A
【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知
( )
f x g x
'( ) 0,
想到设函数为相除的形式
( )
f x
( )
g x
.
f
'( ) ( )
x g x
【详解】
设
( )
F x
，则
( )
F x
f
( )
f x
( )
g x
'( ) ( )
x g x
2
( )
g x
( )
'( )
f x g x
0,
则 ( )F x 在 a
时单调递减，所以对 a
x b
， ( )
F a
x b
( )
F x
( )
F b
，即
( )
f a
( )
g a
( )
f x
( )
g x
( )
f b
( )
g b
得 ( ) ( )
f x g b
( ) ( ),
f b g x
a
， (
x b
)A 为正确选项.
)C
(4)【答案】 (
【分析】本题有多种解法：(1)将含有 ( )
f x 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，
或反之；(2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出 ( )
f x 代入要求极限式中；(3)将
具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限.
【详解】
方法 1： 凑成已知极限
6
( )
f x
2
x
6
x
( )
xf x
3
x
6
x
sin 6
x
sin 6
3
x
x
( )
xf x
lim
0
x
6
x
x
sin 6
3
x
洛
lim
0
x
6 6cos6
x
2
3
x
lim
0
x
(由于
1 cos
lim
0
x
6
( )
f x
2
x
lim
0
x
6
x
x
sin 6
3
x
lim
0
x
而
所以
6(1 cos6 )
x
2
3
x
21
x
2
( )
x
xf x
3
x
x
sin 6
lim
0
x
12
(6 )
x
2
2
x
1 cos(6 )
x
2
36
1
2
(6 )
x
2
)
36 0 36
方法 2：由极限与无穷小关系，由已知极限式解出
( )
xf x
sin 6
x
3
x
，
a
lim
0
x
a
0
从而
sin 6
x
( )
xf x
3
ax
( )
f x
3
ax
x
sin 6
x
3
ax
6
sin 6
x
x
3
ax
6
3
x
x
sin 6
x
6
lim
0
x
所以
( )
f x
2
x
6
2
x
ax
( )
f x
2
x
lim
0
x
sin 6
x
3
6
3
x
x
极限的四则运算
lim lim
0
x
a
0
x
6
x
x
sin 6
3
x
6 6cos6
x
2
3
x
lim
0
x
2
12
(6 )
x
2
2
x
36
0 lim
0
x
方法 3： 将sin 6x 在 0
x 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至 3x 项：
sin 6
x
6
x
3
(6 )
x
3!
(
x
3
) 6
x
36
x
3
(
x
3
),
sin 6
x
3
x
( )
xf x
6
x
xf x
( ) 36
3
x
3
x
(
x
3
)
6
( )
f x
2
x
36
3
)
,
(
x
3
x
lim
0
x
6
( )
f x
2
x
lim
0
x
sin 6
x
( )
xf x
3
x
36 lim
0
x
3
)
(
x
3
x
0 36 0 36.
于是
从而
(5)【答案】B
y
【详解】由特解 1
x
e
,
y
2
2
xe
x
，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与
解的对应关系知道，2
r 为特征方程的二重根；由 3
y
1
e 可知 1 1
3 x
r 为特征方程的单根，
因此特征方程为
(
r
1)(
r
2
1)
3
r
r
2
1 0,
r
由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为
y
y
y
y
0.
三【详解】
方法 1：为了求不定积分，首先需要写出 ( )
f x 的表达式.为此，令 ln x
t ，有
x
t
e
f
( )
t
f
(ln )
x
x
)
ln(1
x
( )
f x dx
x
e
ln(1
x
e dx
)
ln(1
t
e
t
e
)
ln(1
x
e de
)
x
e
x
ln(1
x
e
)
e
x
ln(1
x
e
)
x
e
e
1
x
x
e
dx
x
e
1
x
e
1
x
e
dx
分部积分
拆项
e
x
ln(1
x
e
)
(1
1
dx
1
dx
1
dx
x
x
x
x
)
)
e
e
e
e
ln(1
ln(1
)
e
x
方法 2：作积分变量替换，命 ln
t
，
1
t
ln(1
x
( )
f x dx
(ln )
t
ln(1
dt
e
e
e
)
x
x
f
x
x
x
x
x
x
)
e
1
1
dx
e
e
e
1
e
1
1
e
x
ln(1
)
e
1
x
x
dx
x
de
x
(
d e
1)
C
t
)
ln(1
2
t
dt
ln(1
)
t d
1
t
dt
]
分部积分
t
)
t
ln(1
t
ln(1
t
ln(1
t
ln(1
t
x
e
)
)
x
e
)
t
1
1
(1
t
1
(
t
1
dt
t
)
1
x
t
)
dt
1
1
ln(1
t
[
四【详解】先写出面积 ( )S t 的(分段)表达式，
部分分式求和
(1
t
)
t
)
ln(1
t
ln
t
ln(1
)
t C
d
x
e
)
C
.
1
1
O
1
S(t)
x+y=t
1
1
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
