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数学建模练习-最佳捕鱼方案.doc
题目：最佳捕鱼方案
摘要
在充分理解题意的基础上，我们提出了合理的假设。通过对问题的深入分析
和对草鱼损失率的不同理解，我们建立了三个模型。
模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。
在这种情况下，我们进行了粗略的估算，在日供应量方面，我们让每日草鱼的供
应量达到售价方面的临界值。提出了四个可行的方案。通过比较认为方案四·能
使总利润达到最大值 404636 元，共损失草鱼量为 2625kg,当且仅当第 1 天至第
15 天，日供应量为 1000kg,单价为 25 元，第 16 天至 19 天，日供应量为 1500kg，
单价为 20 元。第 20 天售出 1375kg，单价为 20 元。
在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第
n 天草鱼的损失率的理解是基于第 n-1 天剩下的草鱼而言。模型二，不考虑日供
应量在 1500kg 以上的情况，运用 LINGO 解出的结果为总利润的最大值为373260.0
元，草鱼的损失为 7113.960kg。第 1 天到第 14 天及第 16 天，每天售出草鱼 1000kg,
第 19 天售出 886.04kg，其余每天售出 500kg。
模型三在模型二的基础上做了一些改进(如考虑日供应量在 1500kg 以上的
情况)，建立了多目标的规划模型，求得总利润的最大值为 332875 元，草鱼的总
死亡量为 8828.493kg。第 2 天到第 5 天及第 11 天到 16 天，每天售出 1000kg,
其余每天售出 500kg。
关键词： 0-1 变量 规划问题多目标 LINGO
一、问题重述
该问题阐述的是一个水库的经营商为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好
的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理。因此经营商打算放水清库，同
时为使捕捞鲜活草鱼投放市场时，获得最佳效益。现有如下条件：（1）水库现有
水位平均为 15 米，自然放水每天水位降低 0.5 米，水库水位最低降至 5 米。（2）
据估计水库内尚有草鱼 25000 余公斤。（3）若日供应量在 500 公斤以下，其价格
为 30 元/公斤；日供应量在 500—1000 公斤，其价格降至 25 元/公斤，日供应量
超过 1000 公斤时，价格降至 20 元/公斤以下，日供应量到 1500 公斤，已处于饱
和。（4）关于放水清库的过程的成本计算大致如下：捕捞草鱼的成本水位于 15
米时，每公斤 6 元；当水位降至 5 米时，为 3 元/公斤。同时随着水位的下降草
鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位 5 米时损失率为 10%。
二、问题分析
通过简单的分析和思考，我们可以将获得最佳效益视为求解最优值的问题，
即该问题可以归为一个数学规划问题。条件（1）（2）是针对目前状况的约束，
条件（3）是通过卖鱼可以获得的利润，条件（4）是对成本的约束。在四个条件
约束的情况下，我们可以建立模型。由于对损失率的理解不同，我们进行了不同
的假设，并在这些假设下建立了模型一和模型二、三。模型一中，损失率是基于
水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。而在模型二、三中，为了更接
近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第 n 天草鱼的损失率的理解是基于
第 n-1 天剩下的草鱼而言。模型二将不考虑日供应量超过 1500kg 的情况，而模
型三考虑。模型三的建立采用多目标的规划方法进行求解。
三、条件假设
1、在整个售鱼的过程中，顾客都只到该经营商处购鱼。
2、水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况。
3、每日售出的草鱼数量即为当天捕捞的草鱼，不出现有当天捕捞的鱼留到第二
天卖的情况。
4、假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本成呈递减等差数列，而
草鱼的损失成递增等差数列。高放水的前一天为 t=0,则水位降至 5 米时的那
一 天 为 t=20 。 故 每 公 斤 草 鱼 的 捕 捞 成 本 为 bt=6-0.15t, 草 鱼 的 损 失 率
cn=0.5%t
( t ≤20,t ∈N)
5、在模型二、三中，
（1）无论造成草鱼损失的原因是什么，我们假设每天草鱼损失的数量为前一天
的水库里草鱼的余量乘以当天的损失率。
（2）每日捕捞前均对已死亡的鱼进行处理，使捕捞出的草鱼皆为活鱼，且在运
输到售卖点的途中无死亡。即售出的鱼与当日捕捞的鱼的数量一致。
四、符号及变量说明
w——水库草鱼的总量（M=25000Kg）
h——水库水位（5≤h≤15）
C——草鱼的单价(C=30 25 20)
bt——每公斤草鱼的捕捞成本(bn=6-0.15t)
1
ct——第 t 天草鱼的损失率（cn=0.5%t）
tx ——第 t 日草鱼的售出量（500≤ nx ≤1500）
it ——表示第 i 天；
w1——第 n 天的利润
Y——所有草鱼卖出后所得的钱；
Z——捕捞所有草鱼的成本；
ix ——第 i 天草鱼的捕捞量；
iy ——第 I 天每公斤草鱼的售价;
iz ——第 i 天成本；
im ——第 i 天鱼的死亡量；
is ——第 i 天的鱼的死亡率；
in ——第 i 天鱼的存活率；
iw ——第 i 天的早上水库的鱼量；
ik ——第 i 天晚上水库里排除当天的是捕捞量与死亡量剩下的鱼量；
ia
ib
ic
id ：表示 0-1 规划的变量；
iP ：i 天内实际售出的总的草鱼量；
五、模型的建立与求解
通过查找资料，我们得知草鱼的损失与水位并无直接的联系，通常是由于水
中的溶氧量，水温等因素造成的。
模型一：
我们令草鱼的损失与水位无关且在假设 3 的情况下，首先，我们先将条件（3）
用数学符号表示出来，则有：
每公斤草鱼售价：
C
元
元
30
25
20
元
500
kg
x
t
500
x
kg
t
1000
kg
x
t
1000
kg
1500
kg
在该假设下，损失鱼的总量容易求出，为 2625 公斤。
设第 t 天捕捞草鱼 tx 公斤，其价为 y 元/公斤，则该天的实际捕捞量为 (1 0.5% ) tn x
该天的利润 w1 为：
2
(
1 (1 0.5% )
w
t
( 0.00075
t
x
n
2
t x y bt
6 0.15 )
t
)
0.18
t
(1 0.5% )
0.005
(
t x y
t
y
ty
6)
若 tx ≤500kg，则 y=30 元，则
1
w
x
t
( 0.00075
t
2
0.03
t
，对称轴为 20。
24)
若 500≤ tx ≤1000kg，则 y=25 元，则
1
w
x
t
( 0.00075
t
2
0.055
t
19)
，对称轴
大于 20。
若 1000≤ tx ≤1500kg，则 y=20 元，则
1
w
x
t
( 0.00075
t
2
0.08
t
14)
，对称轴
大于 20。
由此可知随着天数的增加，W1 值递增。即当价格不变的情况下，第 20 天时，
当天利润最大。
由上面的分析可知，在市场容量允许的范围内，草鱼捕捞时间越后，获利越
大。但市场的容量是有限的，投放量不能超过 1500 公斤，且随着投放量的增加，
价格随着下降。我们可以通过下表来反映出来。
价格/元 第 1 天的利润/元 第 20 天利润/元
30
25
20
W1’
W2’
W3’
在该模型下，我们可以采取以下的方案来捕捞鱼。由损失的鱼量（2625kg）,计
算出水库能够售出的鱼的数量为 22375kg。
捕捞量/kg
500
1000
1500
12015
19054
21119
12150
19800
方案一，每天捕捞 500kg。显然，若维持每天的捕捞量不变，1000kg 的利润
明显比 500kg 的利润多。故不计算了。
方案二，每天捕捞 1000kg 的捕捞量，总利润为 38940 元。
方案三，价格为 20 元的情况下，最多维持 14 天，还剩下的鱼有 1375 公斤，
则第 15 天，采用 25 元的售价，售出 1000kg，第 16 天用 20 元的价格,售出 375kg。
则在这种情况下的总利润为 305460+19656+8898.8=343414 元。
方案四，第 20 天售出 1375kg 的情况，另外让售价为 25 元维持 15 天（前
15 天），售价为 20 元的维持 4 天（第 16 天至第 19 天），这样取得的最大部利润
为 290670+ 91016+ 22950=404636 元。
在这样的假设前提下，我们可以选择方案 4，使利润最大。但是实际情况常
常与此不是很符合。所以我们又对问题进行了进一步的分析，建立了模型二和模
型三。
模型二：
虽然草鱼的损失与水位并无直接的联系，但是溶氧量，水温等因素可能也是
由于水位的降低造成的。所以，在模型二的假设前提条件下，我们假设损失率与
水位成一次线性关系，且不存在草鱼日供应量大于 1500kg 的情况，则有：
当 时
ix
500
kg
，
iy
30
； 当 500
ix
1000
时 ，
iy
25
； 当
1000
ix
1500
：此时假设其货价与售量成一次线性关系过点（1000，20），（1500，
6）；
y
i
0.028
x
i
；
48
3
第 i 天的售价为 [30
Y
i
a
i
25
b
i
( 0.028
x
i
48)
c
i
]
x
且
i
(
a b c
i
i
i
1
；
,
,
a b c
i
i
i
0
或 ；
1)
所以总售价
Y
20
i
1
[30
a
i
25
b
i
( 0.028
x
48)
c
]
x
且
i
i
i
(
a b c
i
i
i
1
；
,
,
a b c
i
i
i
0
或 ；
1)
成本： 此时假设其货价与水位成一次线性关系，因捕捞草鱼的成本水位于
15 米时，每公斤 6 元；当水位降至 5 米时，为 3 元/公斤。故此时成本与水位的
关系为 0.3
15
1.5
（ 5
h ）；因为水位与时间的关系
h
；第 i
天的成本为 [0.3( 0.5
Z
t
15) 1.5]
[ 0.15
t
15
0.5
t
6]
Z
h
x
；
i
x
i
i
i
i
所以总成本与时间的关系：
Z
20
i
1
[0.3( 0.5
t
i
15) 1.5
20
i
1
[ 0.15
t
6]
x
；
i
i
存活量：此时假设其损失率与水位成一次线性关系由随着水位的下降草鱼死
亡和捕捞造成损失增加，至最低水位 5 米时损失率为 10%，且在水位为 15 米时
损失率为 0。故第 i 天的损失率与时间的关系
S
i
1% 15% 0.01( 0.5
t
i
h
15) 0.15 0.005
t
i
且 (1
it 即第 i 天的存活
20)
率与时间的关系 1
1 0.005
t
i
S
i
n
i
；第一天早上的存活量 1
w
25000
；第 i 天
早 上 的 存 活 量 为 第 i-1 天 早 上 的 存 活 量 与 第 i 天 的 存 活 率 之 积 即
w w n w
i
i
1
i
i
1 (1 0.005 )
t
i
k
；第一天晚上的存活量 1
(25000
x
1
) (1 0.005 )
t
1
；
第 i 天晚上的存活量为第 i-1 天晚上的存活量减去第 i 天的售量与第 i 天的存
活率之积即
k
i
(
k
i
1
x
i
) (1 0.005 )
t
i
m
；第一天的死亡量 1
(25000
x
1
) 0.005
t
1
；
第 i 天晚上死亡量为第 i-1 天晚上的存活量减去第 i 天的售量与第 i 天的死亡
率之积即
m
i
(
k
i
1
x
i
) 0.005
t
i
；
由上可知 20 天内实际售出鱼的总量为总草鱼量减去总死亡量即
P
20
20
i
1
x
i
25000
20
i
2
m m
1
i
该模型的纯收入 (
Y Z 由LINGO编程求解得，最大利润为373260.0元,草鱼的死
)
亡量为7113.960kg当且仅当水库放水售鱼的20天的具体情况如下表：
第 1 天
第 2 天
1000kg 第 6 天
1000kg 第 7 天
1000kg 第 11 天 1000kg 第 16 天 1000kg
1000kg 第 12 天 1000kg 第 17 天 500kg
4
1000kg 第 8 天
1000kg 第 9 天
1000kg 第 10 天 1000kg 第 15 天 500kg
1000kg 第 13 天 1000kg 第 18 天 500kg
1000kg 第 14 天 1000kg 第 19 天 886.04kg
第 20 天 500kg
第 3 天
第 4 天
第 5 天
模型三：
虽然草鱼的损失与水位并无直接的联系，但是溶氧量，水温等因素可能也是
由于水位的降低造成的。所以，在模型二的假设前提条件下，我们假设损失率与
水位成一次线性关系，则有：
iy
； 当 500
时 ，
1000
当 时
； 当
iy
ix
500
30
25
kg
，
ix
1000
ix
1500
：此时假设其货价与售量成一次线性关系过点（1000，20），（1500，
6）；
y
i
0.028
x
i
；当
48
ix
1500
时， 6iy ；
第 i 天的售价为 [30
Y
i
a
i
25
b
i
( 0.028
x
i
48)
c
i
6 ]
d x
且
i
i
(
a b c d
i
i
i
i
所以总售价
Y
(
a b c d
i
i
i
i
1
；
,
,
a b c d
i
i
,
i
i
0
或 ；
1)
20
i
1
[30
a
i
25
b
i
( 0.028
x
48)
c
i
i
6 ]
d x
i
且
i
1
；
,
,
a b c d
i
i
,
i
i
0
或 ；
1)
成本： 此时假设其货价与水位成一次线性关系，因捕捞草鱼的成本水位于
15 米时，每公斤 6 元；当水位降至 5 米时，为 3 元/公斤。故此时成本与水位的
15
1.5
（ 5
关系为 0.3
h
h ）；因为水位与时间的关系
；第 i
天的成本为 [0.3( 0.5
Z
t
15) 1.5]
[ 0.15
t
15
0.5
t
6]
Z
h
x
；
i
x
i
i
i
i
所以总成本与时间的关系：
Z
20
i
1
[0.3( 0.5
t
i
15) 1.5
20
i
1
[ 0.15
t
6]
x
；
i
i
存活量：此时假设其损失率与水位成一次线性关系由随着水位的下降草鱼死
亡和捕捞造成损失增加，至最低水位 5 米时损失率为 10%，且在水位为 15 米时
损失率为 0。故第 i 天的损失率与时间的关系
S
i
1% 15% 0.01( 0.5
t
i
h
15) 0.15 0.005
t
i
且 (1
it 即第 i 天的存活
20)
率与时间的关系 1
1 0.005
t
i
S
i
n
i
；第一天早上的存活量 1
w
25000
；第 i 天
早 上 的 存 活 量 为 第 i-1 天 早 上 的 存 活 量 与 第 i 天 的 存 活 率 之 积 即
w w n w
i
i
1
i
i
1 (1 0.005 )
t
i
k
；第一天晚上的存活量 1
(25000
x
1
) (1 0.005 )
t
1
；
第 i 天晚上的存活量为第 i-1 天晚上的存活量减去第 i 天的售量与第 i 天的存
活率之积即
k
i
(
k
i
1
x
i
) (1 0.005 )
t
i
m
；第一天的死亡量 1
(25000
x
1
) 0.005
t
1
；
5
第 i 天晚上死亡量为第 i-1 天晚上的存活量减去第 i 天的售量与第 i 天的死亡
率之积即
m
i
(
k
i
1
x
i
) 0.005
t
i
；
由上可知 20 天内草鱼量总死亡量为
M
20
m m
1
i
i
2
由此，我们建立多目标的规划模型，令 M 达到最小 和 总利润最大。
我们采用线性加权法，令总利润的权值为0.9，而 20S 的权值为0.1，通过LINGO
编程求解得：最大利润为332875元，草鱼的总死亡量为8828.493kg。当且仅当水
库放水售鱼的20天的具体情况为：
第 1 天
第 2 天
第 3 天
第 4 天
第 5 天
第 11 天 1000kg 第 16 天 1000kg
第 12 天 1000kg 第 17 天 500kg
第 13 天 1000kg 第 18 天 500kg
第 14 天 1000kg 第 19 天 500kg
第 15 天 1000kg 第 20 天 500kg
第 6 天
500kg
500kg
1000kg 第 7 天
500kg
1000kg 第 8 天
500kg
1000kg 第 9 天
500kg
1000kg 第 10 天 500kg
六、模型的应用与推广
在模型二、三中，我们建立规划模型。该模型不仅仅适用于最佳捕鱼方案类问题，
同时对于其他的规划模型也起到指导作用。
本文模型的建立是为了解决最佳效益问题。通过使受益最大化作为杠杆平衡它们
之间的分配关系。决策者要通过概念抽象、关系分析可将各类影响因子放入规划
模型中，可以通过相关的计算机软件得到兼顾全局的最优解。
本题的求解是一个典型的规划问题，我们模型的使用范围非常广泛，涉及到投资
时，有限的资金如何分配到各种投资方式上；工厂选址时，要兼顾距离原料区和
服务区的路程……这一类问题均能得到较好的解决。规划模型在工业、商业、交
通运输、工程技术、行政管理等领域有着广泛的应用。
七、模型的评价与改进
模型一粗略地估算了一下，可能获得的最高利润值。但是在实际情况下，模
型一的精确度比较差，考虑的因素过于理想化，如日供应量的变化，日供应量在
1000-1500kg 的情况下，售价的波动情况等等均未考虑进去。但是由于其简易性
和快速性，有利于水库经营者在简陋的情况下做出相应的比较好的对策。
模型二、三较模型一更为贴近现实。考虑了日供应量在 1500kg 以下的情况，
售价波动的情况。模型三采用的多目标规划方法，让总利润最大，鱼的损失最少
的这两个目标进行求解。三个模型中，损失率与水位关系还有可能是其他的情况，
但在本文中并未展开讨论，另外，该模型还可以在销售量与供应量之间的关系上
进行改进。
参考文献：
【1】 张朝阳,郭兴忠，《草鱼养殖技术》，宁夏农林科技：2001 年第 6 期，第
57— 58 页
6
【2】 谢金星 薛毅，《优化建模与 LINDO/LINGO 软件》，清华大学出版社，2005
年 7 月第 1 版
【3】 万保成 王田娥，《LINGO8.0 for Windows 软件及应用》，吉林农业大学
数学教研室，2004 年 8 月
附录：
模型二的程序：
model:
sets:
Profit/1..20/:x,y,t,a,b,c,w,k,m;
endsets
data:
t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20;
enddata
init:
x=500,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;
endinit
max=@sum(Profit(i):(y(i)-(-0.15*t(i)+6))*x(i));
@for(Profit(i):y(i)=30*a(i)+25*b(i)+(-0.028*x(i)+48)*c(i));
@for(Profit(i):@bin(a(i)));
@for(Profit(i):@bin(b(i)));
@for(Profit(i):@bin(c(i)));
@for(Profit(i):a(i)+b(i)+c(i)=1);
w(1)=25000;
@for(Profit(i)|i#ne#1:w(i)=w(i-1)*(1-0.005*t(i)));
@for(Profit(i)|i#eq#1:x(1)<=w(1));
@for(Profit(i)|i#ne#1:x(i)<=(w(i-1)-x(i-1))*(1-0.005*t(i)));
@for(Profit(i)|i#eq#1:k(1)=(25000-x(1))*(1-0.005*t(1)));
@for(Profit(i)|i#ne#1:k(i)=(k(i-1)-x(i))*(1-0.005*t(i)));
@for(Profit(i)|i#eq#1:m(1)=(25000-x(1))*0.005*t(1));
@for(Profit(i)|i#ne#1:m(i)=(k(i-1)-x(i))*0.005*t(i));
@sum(Profit(i):x(i))=25000-(@sum(Profit(i)|i#ne#1:m(i))+m(1));
e=25000-(@sum(Profit(i)|i#ne#1:m(i))+m(1));
f=(@sum(Profit(i)|i#ne#1:m(i))+m(1));
@for(Profit(i):x(i)*a(i)<=500*a(i));
@for(Profit(i):x(i)*b(i)<=1000*b(i));
@for(Profit(i):500*b(i)
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