2005年广东高考数学真题及答案.doc-资料库

2005 年广东高考数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合 ||{ xM  x },2|  N  |{ xx 2  3 x  }0 ，则 M∩N= （） A．{3} B．{0} C．{0，2} D．{0，3} 2．若 ( a  )2 ii ib  ，其中 a、b∈R，i 是虚数单位，则 2 a  b 2 = （） A．0 B．2 C． 3． x lim 2  x （ 3 x = 3  9  ） A． 1 6 B．0 C． 5 2 1 6 D．5 D． 1 3 4．已知高为 3 的直棱柱 ABC—A′B′C′的底面是边长为 1 的正三）角形（如图 1 所示），则三棱锥 B′—ABC 的体积为（ A． 1 4 C． 3 6 B． 1 2 D． 5．若焦点在 x 轴上的椭圆 2 x 2 3 4  2 y m  1 的离心率为 1 2 ，则 m=（） A' A C' C B' B 如图 1 B． 3 x  3 x 2  1 3 2 是减函数的区间为 C． 8 3 D． 2 3 A． 3 6．函数（ A．  )( xf ） ,2(  ) B． ( )2, C． ( )0, D．（0，2） 7．给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面α、β的四个命题： , l  m ①若   , , mlmA A  与则点 // // , , l n m  且 ②若 m、l 是异面直线， // // , // , , ml 则 ； , , // ml lA    点其中为假命题的是 // m , m  ③若 ④若 l l 不共面；   , nmnl 则 , .  则 m // // , ,   ；（） A．① B．② C．③ D．④ 8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为 X、Y，则 A． 1 6 B． 5 36 log 2 YX 1 的概率为（） C． 1 12 D． 1 2

9．在同一平面直角坐标系中，函数 y  对称. 现的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 1 个单位，所得的图象是的图象关于直线将由两条线段组成的折线（如图 2 所示），则函数 )(xf 的表达式为（ )(xg )(xg )(xf y  y  y  和） x 0 0 y 3 2 1 -2 -1 O 1 x 如图 2 A． )( xf      2 x x 2  1,2 x  0,2  x 2  1,2 x  0,2  x 2  1,2  x 2  2,1  x 4  1,6  x 2  2,3  x 4 B． )( xf  C． )( xf  D． )( xf              2 x x 2 2 x x 2 2 x x 2 A． 3 2 10．已知数列 }{ x n x 满足 2  x 1 2 , x n  1 2 ( x n 1   x n  2 ), n  ,4,3 .  若 lim n  x n  ,2 x 则 1  （） B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 11．函数 )( xf  1  1 xe 的定义域是 12．已知向量 a  ),3,2( b  ),6,( x 且 // ba , 则 x= 13．已知 ( cos x 5)1 的展开式中 2x 的系数与 ( x . . . 5 4 4) 的展开式中 x3 的系数相等，则 cos = 14．设平面内有 n 条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用 )(nf 表示这 n 条直线交点的个数，则 )4(f = ；当 n>4 时， )(nf = .（用 n 表示）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分 12 分） 6 k  3 )(2 , kRxx 32)2 x k  3 1  1   3 )( xf cos( cos( sin( )2 x 化简  6        Z ), 并求函数 )(xf 的值域和最小正周期.

16 ．（本小题满分 14 分）如图 3 所示，在四面体 P—ABC 中，已知 PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB= 2 34 .F 是线，点 E 在线段 AB 上，且 EF⊥PB. 段 PB 上一点， 15CF 17 34 （Ⅰ）证明：PB⊥平面 CEF；（Ⅱ）求二面角 B—CE—F 的大小. 17．（本小题满分 14 分） P A E F C B 如图 3 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AO⊥BO（如图 4 所示）. （Ⅰ）求△AOB 的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； A （Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. y B x O 如图 4 18．（本小题满分 12 分）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为 s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. （Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望. 19．（本小题满分 14 分）设函数 )( xf ( 在 ,  上满足  ) f 2(  x )  f 2(  x ), f 7(  x )  f 7(  x ) ，且在闭区间[0，7]上，只有 f )1(  f )3(  .0 （Ⅰ）试判断函数 y  )(xf 的奇偶性；（Ⅱ）试求方程 )( xf 0 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 20．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图 5 所示）.将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上.

（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值. y 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B D O (A) 如图 5 C B x 参考答案 1B 一、选择题 3A 二、填空题 2D 11.{x|x<0} 12.4 13. 2 2 14. 5, 1 2 ( n  )(2 n  )1 三、解答题 15．解： ( ) f x  cos(2 k     2cos( 3 函数 f(x)的值域为 4 ;  2   函数 f(x)的周期 T   ；   2 ) cos(2 x  3 2 ) 2 3 sin( x  k    3 2 ) x    3   2 ) 2 3 sin( x   3  2 ) x 4cos 2 x 16．（I）证明：∵ 2 PA  2 AC  36  64  100  2 PC ∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证 △PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形故 PA⊥平面 ABC 1 2 S PBC  BC AC 又∵ 30 10 6  || P |  新疆王新敞奎屯 1|  2 15 34  34 17 E F F 1 C B 而 1 2 | PB || CF 1|  2 2  30 S  PBC A PA⊥平面 ABC 故 CF⊥PB,又已知 EF⊥PB ∴PB⊥平面 CEF （II）由（I）知 PB⊥CE, ∴AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 AB⊥CE 在平面 PAB 内，过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1⊥平面 ABC， EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影，∴EF⊥EC 故∠FEB 是二面角 B—CE—F 的平面角 10 6 5 3 AB AP arctan 二面角 B—CE—F 的大小为 PBA FEB tan cot 5 3       王新敞奎屯新疆 17．解：（I）设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则       x  y  x 1 y 1 x 2 y 2  3  3 …（1）

∵OA⊥OB ∴ k OA k  OB 1 ,即 xx 21  yy 1 2  1 ，……(2) 又点 A，B 在抛物线上，有 y 1  2 x 1 , y 2  x 2 2 ，代入（2）化简得 xx 21 1 ∴ y  y 2  y 1  3 1 3 ( 2 x 1  x 2 2 )  1 3 [( x 1  x 2 2 )  2 xx 21 ]  1 3 2 )3( x  2 3  2 3 x  2 3 所以重心为 G 的轨迹方程为 || OB 6 x 1  x |  1 2  OA 1 2 6 x  即 1 AOB S x 6 2 x 1  （II） S AOB  由（I）得当且仅当 3 2  y  x 1|  2 2   ( 6 2 2 x 1 1 2 2 3  2 y 1 )( x 2 2  y 2 2 )  2 6 x 1  x 6 2   2 1 2 1 2 2 xx 1 2 2  2 yx 1 2 2  2 2 yx 2 1  2 yy 1 2 2 2 ( 1)  6 2 1     2 1 2  x 2  1 时，等号成立新疆王新敞奎屯所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1； 18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n ξ的分布列为 ξ p 0 s  t s 1 st t  2) ( s 2 2 3 t ) st  ( s … … n-1 n  1 n  1 t ) st  ( s (II) 的数学希望为 n n t (  s n t ) E   0 s  t s 1  st t  2 ) ( s  2 st  ( s 2 3 t )  ... ( n )1  st  ( s n 1  n 1  t )  n ( s n t  …(1) n t ) t  E t   s st  ( s 2 2 t )  ( 2 st t s  3 3 )  ... ( n ( 1  n )2 st  1 n )  t s   ( n ( s   n )1 st 1 n )  t  nt  ( s n 1  n 1  t ) …(2) (1) －(2)得 E   t s ( ss n t  n 1  t )  ( n ( s   n )1 t 1 n )  t  nt  ( s n n t ) 19.解: 由 f f    2( 7(   x x ) )   f f 2( 7(   x x ) )  )( xf )( xf      f f ) 4( x  14( x  )  f 4(  x )  f 14(  x )  )( xf  ( xf  )10 , 又 (3) 0,  f 而 (7) f 0 ,    ( 3) f f (7)  0    ( 3) f f (3) 故函数 y  )(xf 是非奇非偶函数; ， ( 3)    f f (3)

(II)由 f f    2( 7(   x x ) )   f f 2( 7(   x x ) )  )( xf )( xf      f f ) 4( x  14( x  )  f 4(  x )  f 14(  x )  )( xf  ( xf  )10 又 (3) f  f (1) 0   f (11)  f (13)  f ( 7)   f ( 9) 0   故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 y  )(xf 在[0,2005]上有 402 个解,在[-2005.0]上有 400 个解, 所以函数 y  )(xf 在[-2005,2005]上有 802 个解新疆王新敞奎屯 20.解(I) （1）当 0k 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程新疆王新敞奎屯 1y 2 2) （2）当 0k 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1)(0 a  ，所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，有 kOG k  1,1 a k  a 1 k 故 G 点坐标为 ( kG  )1, ( 2 0)    k 新疆王新敞奎屯从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标（线段 OG 的中点）为折痕所在的直线方程 y  1 2  ( xk  k 2 ) ，即 y kx  2 k 2  1 2 由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为： ( kM  2 1, 2 ) 新疆王新敞奎屯 ( 2 0)    k 新疆王新敞奎屯时； 0k k=0 时， 2 1y k 2 2 （II）⑴当 0 k  时，折痕的长为 2; 0k kx ⑵当时,  y  1 2 ( 2 0)    k 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯 ①如下图，折痕所在的直线与边 AD、BC 的交点坐标为 N (0, 1 ), k 2  2 P (2,2 k  k 1 ) 2  2 y D G N M o (A) (1) C P B x

这时， 2   3   ， 0 k y PN  2   4 4 k 2  4(1  k 2 )  (4,16(2  3)) 新疆王新敞奎屯 ②如下图，折痕所在的直线与边 AD、AB 的交点坐标为 N ,0( 1 kP (  ), 2 k  2 1 2 2  k )0, y D N G M C o (A) (2) P B x 新疆王新敞奎屯这时， 1      ， 2 3 k y PN  2  ( 1 ) 2 k 2  2 (   1 ) 2  ( k k 2 2  k 3 1) 2 2 4  k 新疆王新敞奎屯 2 3( k  2 1) 2  k / y  2 4 k  16 k 4 2  ( k  3 1) 8  k 2 ( k   2 1) (2 3 2 k 2 k  1) 新疆王新敞奎屯令 / y 0 解得 2k 2 ， ∵ y | k  1  2, y |  27 16 , y | k  2 2  16(2  3), k 2   3 ∴ y  27[ 16 ,16(2  3)] 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯 ③如下图，折痕所在的直线与边 CD、AB 的交点坐标为 1 ( N 2  2 k k ,1), P (  k 1 2 2  k ,0) y D N G C M o (A) P (3) B x