中北大学复变函数习题册答案7-9章.doc-资料库

第七章求下列函数的傅氏变换。 1． f ( ) t 1, 0    0,  1 t   其它， F { ( )} f t  1 ie    2． ( ) t f   e ( t  ， 0) F { ( )} f t  2  2 2    二．利用函数的性质求解下列题。 1.积分 I  2  4  e t  (2 t  4)d t 4 x 2 t    1 2 8  4  1 2 e ( x  4)  ( )dx x  1 2  2 e ； F {cos sin } t t  i   [ ( 2)  (   2)] 2. 3. F f ( ) t ( ) f t ( t  1 2 {sin } t   F 4. f ( ) t  [ (  ) t a   1 2 i cos sin { e [ t t  it it e   ]} 1 2 i ，求 { ( )} F f t ； F  {sin 2 } t 1 2   ，求 { ( )} ) 3 1 { sin5 t 2 cos5} t 3 2  F f t F ； 5. f ( ) t  sin(5 t F {sin(5 t  )}  3  6. f ( ) t  t i t  e 0 　，答： F i  0 t { te }  F { '( )}  t      '( ) t e  i t  dt [   e   t 0 )  t i e  0 ，答： F { ( )} f t t i  e    0 2   ( 0 ) （性质 3）； ( )] t a   ，答： F { ( )} f t i a  e  e  i a  ]  cos a  [  1 2 1) 2   [2  (   ( 1)]  [ ( i     1)   ( 1)] 5)]   3 [ (    2 5)   ( 5)] [2 )      0 )] 2    ( i  ( 0 (  5)   1 [ ( i   2 d d  i t   ] t  [ { e F i  }]   i  0 i i 0 t d d  7. f ( ) t i 2 '( ) t e t ，答： F { ( )} f t  F 2 i t { e  '( )} t  8. [ F  ] 2cos3 ]  ，求 F F )} 1{ (    2 i t e  i t   '( ) t e dt 2 i t i t  [ e    ] 0 t   (   2) i 2cos3   e 3 i e  3 i   ， F { { (  t  3)}  e  3 i  , { (  F { t  3)}  e 3 i  1

所以  F 1{ ( F ( t   )}   3)  ( t   3) 三、已知 { ( )} F f t ) F  ( ，利用傅氏变换的性质求下列函数的傅氏变换。 1． ( t  )2 f )( t ； {( F t  2) f ( )} t  iF  ) 2 ( ( F  )  2． tf )2( t ； F { (2 )} tf t  i d F d  { (2 )} f t   ( ) dF 2 d  i 2 3. F {( t  2) f ( 2 )}  t  i 4. tf t ； { ( ) tf F  ( )} t  i d F d  d F d  5. F { (2 f t  5)}  F { (2 )} f t e { ( 2 )} 2 { ( 2 )} f    F t t f { ( )} f t   i  5 2 i   1 2 F ( ( d [ )] i F   d   i 2 e 5 2 )    ( ) dF 2 d  ( ) )    F F   ( (  i 2 F     ) 2 {(1 ) (1 )} t f   t  F { (1 )} f  t  F { (1 )} tf  t  F 6. F 7. F 四、已知  F { ( )sin 2 } f t t  1 2 i 1  i  ( ) t u t  ( ) u t sin ；   0 1. f ( ) t i  i  d [ d  ( 2)   F ( )  e   i ]   ie   ( ) dF    i d   F (   2)] ( )  e   1 2 i  [ F [ { ( ) t e F f i 2 t  f ( ) t e  i 2 t }] π ( )  ，求以下函数的傅氏变换。 F  sin  0  ( ) t u t   { [ (      0    ) ( i 0 )]} [  1  i  π ( )]   1 [ 2 ( 1       0 0 ) ( i 2 ]  ) [ ( )]     0 ) 0    ( 1 2  1  2. F  te i  0  ( ) u t   1 2  {2   0  ( )]} [  1  i  π (  )]= 1  ) i(   0  π (   0  ) 3．  i t  e F 0  ( u t  t 0  )  1 2  {2 (   0  )]} [  )  t 0 (   0 i  e i( )   0   i  π ( ) e   0  (   0  ) t 0 1  i  i t   π ( )] e  0 = 2

4. F  e i  0 t  ( ) tu t   1 2  {2   0  ( )]}  1 d  i d   [ π (  )]= 五、利用  [  f 2 ( t )] dt  1 2     2 F (  d ) ，求积分  1     2  π (    0  ) i  ) (   0 cos 2 x dx x 的值。   0 0   sin(   解： f ( ) t     1 0 t t 1  1  F  f  ( ) t       sin2  2    [2  ] sin  2 1  d   2   2 1 1 dt  4  ，    2 ) d       1 cos  2 x xdx  所以第八章    x 2 x 2    dx 2 2sin 2 x     d 2 sin 2     一、求下列函数的拉氏变换 1. f ( ) t     sin , 0 t 0,  t   t   ； L { ( )} f t   sin  0  st te dt  s   1 e  1 s  2 2. f ( ) t 0 3,    1, 2   0,  t   t   4 t  2 4 。 L { ( )} f t  2  0 st 3  e dt  4  2 ( 1)  st  e dt 3   s 4 s  2 s e  1 s  4 s e 二、利用拉氏变换的性质及导出的变换公式，求下列函数的拉氏变换。 1． ( ) t f t  e sin 5 t ； L { ( )} f t  t   e sin 5 0   st te dt  5 2 1) ( s   25 2． f ( ) t  t 2  3 t  ； 2 L { }n t  L { ( )} f t    0 2 ( t  3 t  2) st  e dt ! n 1 n s  2  3 s  3 2 s  2 s 3

3． ( ) 1   ； te t f t L { ( )} f t  4． ( ) 5 sin 2 t  t t f  cos3 t ；   0 (1  t te e dt ) st  [ (    1 s 1  s  ) ] 1   1 s 1 1)  2 ( s L { ( )} f t    0 (5 sin 2 t t  cos3 ) t e dt st    5[ 2  2 s   ] 4 2 s s  9  20 2  s 4) 2 ( s  s  9 2 s 5． f ( ) t  te 2 t sin 6 t ； L  2 t { e sin 6 } t    0  2 t [ e sin 6 ] t e dt st   ( s  6 2 2)  36 L  2 t { te sin 6 } t    0  2 t [ te sin 6 ] t e dt st   12( 2) s  2 2) 36]   2 [( s 6． ( ) t f   ( t a u t a  ) ( ) L { ( )} f t    0 2 ( t u t  2) st  e dt  三、求下列函数的拉氏逆变换。   2  st 2 t e dt    0 ( x  2 2) e  ( s x  2) dt  e 2  s [ 2 3 s  4 2 s  4 ] s  2 1 5  s 3 1  s ； 1  L { ( )} F s 2  2 5  3 t e  3 5 2 t e 1． ( ) F s  2． ( ) F s  2 s 2 s 1 s  6 s   2 5 s  4 s    ( 13 L  1 { ( )} 2 F s  e  2 t cos3 t  3． ( ) F s  1 2 s 2 s (  1)  3 5 2 s 2 2) s  25  e 3 t sin 3 t  9 ( s  5 2) ； 2  9  ； ] s 1   sht  t st e ( s  1) L  1 { ( )} F s  L  1 { 1 2 s  2 s ( } [  1) e 2 st  s  s ] 1  [  0 2 s 4． ( ) F s  1 2 s 2 ( s  。  2 2) st e ( s  1) ] s  1  [ 2 s 4

L  1 { ( )} F s  L  1 { 1 2 s } [  st e 1   ( s 2 i )  2 2) 2 ( s  ]  s 1   i  [ st e 1   ( s 2 i ) ]  s 1   i st te ( s  [ 1 i   ( s 2 st ) 2 e  1 ) i   4 ( s 1   i ) ] s 1   i  [ st te ( s 1 i   ( s 2 st ) 2 e  1 ) i   4 ( s 1   i ) ] s 1   i ( 1 ) i t   te  2 ( 2 ) 2 e i   4 ( 2 ) i  ( 1 ) i t   ( 2 ) i  ( 1 ) i t   te  ( 1 ) i t   (2 ) i (2 ) i 2 2 e  4 (2 ) i  1 2  t [  te cos t  e  t sin ] t  1 2  t e (sin t  t cos ) t 四、解下列微分方程。 1．    ''( ) y t  (0) 1, y  '( ) 6 ( ) y t y t '(0) 0 y    2 ； y  8 15 3 t e  3 5 t 2 e   1 3 2． ''( ) y t (0) y ( ) y t  1, y   4sin t   2 '(0)      5cos 2 t ；设 { } L y  { ( )} L y t  ( ) Y s , 方程两边同曲 Laplace 变换： 2 ( ) s Y s  sy (0)  y  (0)  ( ) Y s 代入初始条件得： 2 s (   1 1    [ (   s 2)  2 s s ''( ) 2 '( ) 2 ( ) y t y t (0) y y t  '(0) 0  y ( ) Y s 3．    5 s 2    s 2) ,  4 4  2 5 s 2  2  4 1 s  ( s    5 s 2 1  2 cos t e  s t ] 4 1) ( ) Y s 4   2 s 4 1 s 取 Laplace 逆变换： ( ) y t   2sin 2 t  cos 2 t y  te sint t  ( s  ) 1 2 s   2 1 s  2 1) s  ( 2 五、计算积分   0  2 t te cos d t t 。因为 ( ) F s  L { cos } t t    0 [ cos ] t t e dt st  所以   0  2 t te cos d t t F  (2)  2 1 2  2 (2 1)  2   3 25 5

第九章 1．求序列 ( ) f n 2 n 的一阶向前差分和二阶向前差分；一阶向前差分:  ( ) f n  ( n  1) 2  2 n  2 n  1 二阶向前差分: 2  ( ) f n  [2( n 1) 1]    (2 n 1)   2 2．求序列 ( ) f n 2 n 的一阶向后差分和二阶向后差分。一阶向后差分:  ( ) f n  2 n  ( n  1) 2  2 n  1 二阶向后差分: 2  ( ) f n  (2 n 1)   [2( n 1) 1] 2    二、求下列序列的 Z-变换 1. ( ) f n 2 n  3e n 5 ； Z { ( )} f n  2 z 1)  2 ( z  3 z z  e  5 z 1 z  2. ( ) f n  sin(5 n   ) 3  1 2 sin 5 n  3 2 cos5 n Z { ( )} f n  1 2 sin 5 z 2 cos5 1 z   3 2 2 z 2 z  ( z z  3. ( ) f n  cos 2 sin 2 n n , Z { ( )} f n  4. ( ) f n  n 2 -n 2  n Z { ( )} f n   ln(1  5. ( ) f n  2cos3 sin 5 n n  sin8 n  sin 2 n cos5)  2 cos5 1 z  sin 4 1 z 2 cos 4 1 2 z   2 z 2 z )  ln(1  1 2 z ) Z { ( )} f n  6. ( ) f n  ( 1 2 z n ) sin8 z 2 cos8 1 z  ( ) n  2  ( ) u n 1 3  2 z  sin 2 z 2 cos 2 1 z  { ( )} f n  Z   1 3 2 z z  1  1 3 2 1  1 2 z 1 6

1( 2 z  1 1 3 z 3 ) 1 2 z  1 (2 ) (2 z 2  1 z  1) 1   1 5 z 3 7. ( ) f n  ( 1 2 n ) ( u n  3)  ( ) n Z { ( )} f n  1)   (  n  ； 3) Z { ( )} f n  4  3 ，求 (0), f f (1), f (2) 8. ( ) f n  1 3 (  n 三、1.设 ( ) F z  2 1 5 3 z  3) z  2 z (  n 3 54 4 27 ( ) F z   , f (0) 2.设 f 3 z z  3 ( ) f n [18 ( n n 1) 9 ( n n   1) 4(   n  1)( n  ， 2)] (1)  2, f (2)  21 ，求 (0), f ( f  ) 1 ( ) 3n  f n ， (0) 3,  f f (    ) 四、求以下函数的 Z 逆变换 1． ( ) F z  3  3 z ； -1 { ( )} F z Z  { Res n 3 z z  1  3 ,3} 3  n ， ( ) 3n f n  2． ( ) F z  3． ( ) F z  4． ( ) F z  3 z 1)  2 ( z 3 1 3  ( z  1 z  z 6)( ； -1 { ( )} F z Z  { Res 3 z ( z 1 n  z 2 1)  ,1} 3 n  ； -1 { ( )} F z Z  { Res 1  3 n z z  3 z  ,3} 3  n 1  z  4) ； -1 { ( )} F z Z  { Res z  z  6)( ( z n 1  z  4) ,6}  { Res z  z  6)( ( z n 1  z  4) ,4}  1 10 [ 6 n   n ( 4) ] 5． ( ) F z  3  z 4 2 3 z z  1 -1 { ( )} F z Z   3 2 1 1 ( ) 2 3 n 1  7

6. ( ) F z  2 z  4  2 z  3 2 z 五、解下列差分方程问题 1.    1) ( y n   (0) 0 y  ( ) y n  2 n  1 -1 { ( )} F z Z   5 13 4 4 ( 3)  n 1  记 Z{ ( )} y n    n  0 ( ) y n z  n  ( ) Y z ，对方程作 Z -变换，并利用左移性质，得 z  [ ( ) z Y z 2 z 1)  ( ) Y z (0)]     y z z ( 2 ( ) Y z  , 1 2 z 1)  3 ( z z 1)  2  ( z 所以 ( ) y n  -1 { ( )} Y z Z  ( n n 1)    n 2 n 2.    ( y n (0) y 1) 0.5 ( ) y n   1    sin n [ ( ) z Y z ( ) Y z  ( ) y n  ] i z e   ,  z z ] i  z  (0)] 0.5 ( ) Y z y 1 1 z [ ( 0.5 2 i z e   1 -1 n { ( )} ( ) [ Y z  Z 2 1)   2  ( y n (1) y i   1 z [ 2 e i z  z )  i e  z  4sin1 5 4cos1  ( ) ( ) u n y n   1] ， 3.    2) ( y n   (0) 1, y  2 [ ( ) z Y z  y (0)  y (1) z 1  ]  [ ( ) z Y z  y (0)]  2 z Y z [ ( ) 1 2   z 1  ]  2 ( z   z 1) ( ) Y z  z   [ ( ) 1] z Y z z  3   z 1 2 z ( ) Y z  z ，  z  1 z ( ) Y z z  1 , ( ) Y z  1 z   [ z 1) 1  1 2 ( z 1   z 2  3 ] z , ( ) y n  -1 { ( )} Y z Z   1 3 2 3 cos 2 n   3 4 3 3 sin 2 n  3 8

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