2011 年黑龙江高考文科数学真题及答案
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M N ,则 P 的子集共有
2.复数
A.2 个
5
i
1 2
i
A. 2 i
B.4 个
C.6 个
D.8 个
B.1 2i
C. 2 i
D. 1 2i
3.下列函数中,既是偶函数又在 (0,
) 单调递增的函数是
A.
y
3
x
B. |
x
y
| 1
C.
y
x
2 1
D.
y
|
|2 x
4.椭圆
A.
C.
2
x
16
1
3
3
3
2
y
8
的离心率为
1
B.
1
2
D.
2
2
5.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是
A.120
C. 1440
B. 720
D. 5040
6.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每
位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一
个兴趣小组的概率为
A.
C.
1
3
2
3
B.
D.
1
2
3
4
7.已知角的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 2
x 上,则 cos2=
y
A.
4
5
B.
3
5
C.
3
5
D.
4
5
8.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧
视图可以为
9.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|
AB ,P
| 12
为 C 的准线上一点,则 ABP
A.18
B.24
的面积为
10.在下列区间中,函数 ( )
f x
A.
,0)
1(
4
11.设函数 ( )
f x
sin(2
x
B.
x
)
4
e
1(0,
4
) cos(2
4
x
,则
)
4
C. 36
D. 48
的零点所在的区间为
3
x
C.
(
1 1
,
4 2
)
D.
(
1 3
,
2 4
)
单调递增,其图象关于直线
对称
单调递增,其图象关于直线
A.
y
( )
f x
在 (0,
B.
y
( )
f x
在 (0,
C.
y
( )
f x
在 (0,
D.
y
( )
f x
在 (0,
12.已知函数
y
( )
f x
)
2
)
2
)
2
)
2
的周期为 2,当 [ 1,1]
单调递减,其图象关于直线
x
x
x
x
对称
4
2
4
2
x ,那么函数
2
对称
单调递减,其图象关于直线
对称
x 时
( )
f x
y
( )
f x
的图象与函
数 | lg |
x
y
的图象的交点共有
A.10 个
B.9 个
C.8 个
D.1 个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第
22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13 . 已 知 a 与 b 为 两 个 不 共 线 的 单 位 向 量 , k 为 实 数 , 若 向 量 a+b 与 向 量 ka-b 垂 直 , 则
k=_____________.
14.若变量 x,y 满足约束条件
x
3 2
9
y
9
6
y
x
,则
z
的最小值是_________.
2
y
x
15. ABC
中, 120 ,
B
AC
7,
AB
,则 ABC
5
的面积为_________.
16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面
积是这个球面面积的
______________.
3
16
,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为
三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)
已知等比数列{ }na 中, 1
a ,公比
1
3
(I) nS 为{ }na 的前 n 项和,证明:
(II)设
b
n
log
a
1
log
a
2
3
3
log
n
1
3
1
S
q .
a
2
,求数列{ }nb 的通项公式.
a
3
n
n
18.(本小题满分 12 分)
如图,四棱锥 P ABCD
中,底面 ABCD 为平行四边形,
DAB
60
,
AB
AD
2
,PD
底面 ABCD.
(I)证明: PA BD
(II)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高.
;
19.(本小题满分 12 分)
某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等
于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件
这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果:
A 配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102) [102,106) [106,110]
频数
8
20
42
22
8
B 配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102) [102,106) [106,110]
4
频数
(I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;
(II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为
12
42
32
10
y
2,
t
2,94
4,
t
94
t
102
102
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平
均一件的利润.
20.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线
y
x
2 6
x
1
与坐标轴的交点都在圆 C 上.
(I)求圆 C 的方程;
(II)若圆 C 与直线
x
交于 A,B 两点,且
y a
0
OA OB
,
求 a 的值.
21.(本小题满分 12 分)
ln
a
x
(I)求 a,b 的值;
已知函数
( )
f x
x
1
b
x
,曲线
y
( )
f x
在点 (1,
f 处的切线方程为 2
(1))
y
x
.
3 0
(II)证明:当 x>0,且 1x 时,
( )
f x
ln
x
1
x
.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用
2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图,D,E 分别为 ABC
的边 AB,AC 上的点,且不与 ABC
的顶点重合.已知 AE 的长为 m,
AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 2 14
x
x mn
的两个根.
0
(I)证明:C,B,D,E 四点共圆;
(II)若
A
90
,且
m
4,
n
求 C,B,D,E 所在圆的半径.
6,
23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为
2cos
x
2 2sin
y
(
为参数),M 为 1C 上的动点,
P 点满足
OP
OM
2
,点 P 的轨迹为曲线 2C .
(I)求 2C 的方程;
(II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
与 1C 的异于极点的交
3
点为 A,与 2C 的异于极点的交点为 B,求|AB|.
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 ( )
f x
|
x a
| 3
,其中 0
a .
x
(I)当 a=1 时,求不等式 ( ) 3
x
f x
的解集.
2
(II)若不等式 ( ) 0
f x 的解集为{x|
x ,求 a 的值.
1}
一、选择题
参考答案
(1)B
(2)C (3)B
(4)D
(5)B
(6)A
(7)B
(8)D (9)C
(10)C
(11)D
(12)A
二、填空题
(13)1
(14)-6
(15)
3
15
4
(16)
1
3
三、解答题
(17)解:
(Ⅰ)因为
1
1
n
3
.
,
n
)
1(
3
1
n
3
2
1
3
)
1
n
,
na
1
1(
n
3
11
3
a
2
1
1
3
nS
所以
S
n
(Ⅱ)
b
n
log
a
1
3
log
3
a
2
log
3
a
n
21(
n
)
)1
(
nn
2
所以 }{ nb 的通项公式为
bn
(18)解:
)1
.
(
nn
2
(Ⅰ)因为
DAB
60 ,
AB
2
AD
, 由余弦定理得
BD
3
AD
从而 BD2+AD2= AB2,故 BD AD
又 PD 底面 ABCD,可得 BD PD
所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD
(Ⅱ)如图,作 DE PB,垂足为 E。已知 PD 底面 ABCD,则 PD BC。由(Ⅰ)知 BD AD,
又 BC//AD,所以 BC BD。
故 BC 平面 PBD,BC DE。
则 DE 平面 PBC。
由题设知,PD=1,则 BD= 3 ,PB=2,
根据 BE·PB=PD·BD,得 DE=
3
2
,
3
即棱锥 D—PBC 的高为 .
2
(19)解
(Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为
22 8 =0.3
100
,所以用 A 配方生产
的产品的优质品率的估计值为 0.3。
由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为
的产品的优质品率的估计值为 0.42
32 10
100
0.42
,所以用 B 配方生产
(Ⅱ)由条件知用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94,由试
验结果知,质量指标值 t≥94 的频率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的
概率估计值为 0.96.
用 B 配方生产的产品平均一件的利润为
1
100
(20)解:
)2(4(
42
54
2
)4
68.2
(元)
(Ⅰ)曲线
y
2
x
6
x
1
与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(
).0,223(),0,223
故可设 C 的圆心为(3,t),则有
2
3
(
t
)1
2
)22(
2
t
2
,
解得 t=1.
则圆 C 的半径为
2
3
t
(
)1
2
.3
所以圆 C 的方程为
(
x
2
)3
(
y
2
)1
.9
(Ⅱ)设 A(
1, yx ),B(
1
x
2, y
2
),其坐标满足方程组:
y
a
x
(
)3
(
x
2
,0
y
2
)1
.9
消去 y,得到方程
2
2
x
2(
a
)8
ax
2
2
a
.01
由已知可得,判别式
56
16
a
4
a
2
.0
)28(
a
因此,
x
2,1
16
a
2
4
a
,
从而
56
4
x
1
x
2
4
,
xxa
21
a
1
2
a
20
2
由于 OA⊥OB,可得
xx
21
yy
1
2
,0
又
y
1
x
1
,
ya
2
x
2
a
,
所以
2
xx
21
(
xa
1
x
2
)
2
a
.0
①
②
由①,②得
1a
,满足
,0
故
.1a
(21)解:
(Ⅰ)
f
'( )
x
(
x
(
x
x
1
ln )
x
2
1)
b
2
x
由于直线 2
y
x
的斜率为
3 0
,且过点 (1,1) ,故
1
2
(1) 1,
'(1)
f
f
即
1
2
,
1,
b
a b
2
1 ,
2
解得 1a , 1b 。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
f ( )
x
ln
x
1
x
)(
xf
ln
x
1
x
1
x
2
1
x
ln2(
x
1
x
2
,所以
1
)
x
考虑函数 ( )
h x
2ln
x
x
12
x
(
x ,则
0)
)(
xh
2
x
2
2
x
x
2
(
x
2
)1
(
x
2
)1
2
x
所以当 1x 时,
)(
xh
,0
而
h
)1(
,0
故
当
)1,0(x
时,
)(
xh
,0
可得
1
x
2
1
)(
xh
;0