基于局部表面拟合的方法求点云的法向量 一、基础知识： 法向量是空间解析几何的一个概念。是与某曲线（含直线）切线或曲面（含平面）的切 面相垂直的向量。 在同济大学应用数学系主编的《高等数学》第五版，第八章第六节——多元函数微分学 的几何应用，有曲面的切平面和法线的定义及求解方法。 1、 法向量的概念由曲面的切面而来：垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向 量。 2、 切平面的概念由过平面上一点的曲线的切线而来：曲面上通过点 得一切曲 线在点 M 的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面再点 的切平面。 如果继续问什么是曲面、曲线、切线（曲线的方向向量），那就回头去看第七章， 这里就不多介绍了。 下面给出计算公式： 1、曲面 的隐式方程为： 。 是曲面上一点，并设函数 的偏导数在该点连续且不同时为 0。 2、曲面上过 M 点得任意曲线 的参数方程为： 。 即对应的 且 不全为 0。 3、曲线的切线方程为： 。 可以证明的是在曲面 上过点 处具有切线的任何曲线，他们在点 处的切线都 在同一平面上。 4、切平面方程： 5、法线方程： 6、曲面 在点 处的一个法向量为： 7、根据梯度的概念： 。即隐函数 的梯度 即为曲面在点 处的法向量，也即，法向量为 变化率最大的方向。 MM(,,)0Fxyz000(,,)Mxyz(,,)Fxyz(),(),()xtytzt0tt000(,,)Mxyz000(),(),()ttt000000()()()xxyyzztttMM000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xyzFxyzxxFxyzyyFxyzzz000000000000(,,)(,,)(,,)xyzxxyyzzFxyzFxyzFxyzM000000000((,,),(,,),(,,))xyznFxyzFxyzFxyz()gradF(,,)Fxyz()gradF000(,,)Mxyz(,,)Fxyzc

二、点云的法向量 在上节上讲到的切平面、切线、法线都是针对的连续曲面。而点云表征的是一个个离散 点，点云数据所记录的信息是每个独立点的三维坐标。所以为了求得每个点对应的法向量， 我们取一定半径内的点进行曲面拟合，在拟合面的基础上求对应点的法向量。 用曲面拟合计算复杂度大，干脆直接拟合成平面，这在点较密集，拟合区域大小合适的 情况下是可行的。 而平面拟合主要用最小二乘法，平面方程： ，利用最小二乘原理求解平 面参数，然后求出法向量。 平面方程有多种表达方式，本文是为了求取法向量，所以直接利用平面的法线式方程。 1、平面方程（法线式）： ， ， 为平面上点 处的法向量方向余弦， 为原点到平 面的距离。 → 求平面方程转化为求 四个参数。 2、求解过程 1）、待拟合的 个扫描点 ， 。 拟合的平面方程为: 任一数据点 到该平面的距离为： 。 2）、要获取最佳拟合平面，则需要： 条件为： 。 求法向量问题从这里起转化成了求极值问题： 3）、将 分别对四个未知参数 求偏导： ， 求出第一个参数： 4）这时任一点到平面的距离可以改写为： zaxbyccoscoscos0xyzpcoscoscos(,,)xyzp222(0),1axbyczddabc,,,abcdn(,,)iiixyz1,2,3,in222(0),1axbyczddabc(,,)iiixyziiiidaxbyczd20minniied2221abc22220(1)niifdabcf,,,dabc12()0niiiifaxbyczdd111nnniiiiiixyzdabcnnn

令： 推出： ， 这么改写是有目的的，减少了未知数 ，在接下来对 求偏导的过程中有体现。 5）继续求导 令 则： 同理： 6）把 4）中的三个式子再统一： 问题到了这里就很明了了，上面的式子看起来也非常的熟悉： （这明明就是求解矩阵 A 的特征值与特征向量） 看到这里，也就明白了为什么这种求解法向量的方法也叫做协方差分析，其实 A 矩阵 就是 n 个点的协方差阵。 即为该矩阵的一个特征向量。 该矩阵与主成分分析中的协方差阵概念一致。 7）令点坐标 ， ，则 111()()()nnniiiiiiiiiiiiixyzdaxbyczdaxbycznnn111,,nnniiiiiixyzxyznnn()()()iiiidaxxbyyczzd,,abc12(()()())()20niiiiifaxxbyyczzxxaa,,iiiiiixxxyyyzzz12()20niiiiifaxbyczxaa12()20niiiiifaxbyczyab12()20niiiiifaxbyczzaciiiiiiiiiiiiiiiiiixxxyxzaaxyyyyzbbxzyzzzccAxx(,,)Tabcqqqxqyz1iiqNcqN1()()iTiiqNACqcqcN

8）到这里其实还有一个很重要的问题没有解决：为什么最小特征值对应的特征向量即 为法向量？ ， ， ， ， ， 我们整篇文章最开始要求的就是 ，该值也就是矩阵 A 的最小特征值，对 应的特征向量也就是 （也即是平面的法向量），此时我们要求的四个未知数全部解 决。 整个证明过程结束。 2221abc(,)1xxAxx(,)(,)Axxxx(,)Axx21()niiiiaxbycz21niid21minniid(,,)Tabc