2019年重庆理工大学数学分析考研真题A卷.doc

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2019 年重庆理工大学数学分析考研真题 A 卷一、填空题：1-17 小题每小题 4 分，共 68 分。请将答案写在答题纸指定的位置上。 1. lim 3 n n n  n 2  ______________。 2. lim 0 x  x e x 1 sin   2 x  ______________。 3.已知 ye  6 xy  2 x 1 0   ，则 (0) y  ______________。 4.  arcsin xdx x  ______________。 5.函数 ( ) f x 4 8   x 3 4 3  的极大值是______________。 x 6.   2   2 3 ( x  2)sin 2 xdx  ______________。 7.设 ( ) f x  1 x  2 1  3 x 1  0 ( ) f x dx ，则 1  0 ( ) f x dx  ______________。 8.   1 ln  (1 x dx ) x 2  ______________。 9.设 (1,2) 是三次曲线 y  3 ax  29 x  的一个拐点，则 a  ____________。 bx 10.曲线段 y  x  0 tan tdt (0 x  )   4 的弧长 s  ______________。

11.幂级数   ( 1)n n 1  n 1  1  nx 在区间 ( 1,1)  内的和函数 ( ) s x  _____________。 12. 2 ) sin( xy x lim 0 x  2 y   _____________。 13. 设函数 ( , , ) 1 u x y z   |u  n  (1,2,3)  _____________。 2 x 6  2 y 12  2 z 18 ，单位向量 n  ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) ，则 14.曲面 z  2 x 2  与平面 2 y x  4 y   平行的切平面方程是_________。 z 0 15.已知曲面  {( ,  x y z , ) | x 2    1, x  0, y  0, z  0} ，则 y 3 z 4 ( z  2 x    4 3 ) y dS  _____________。 16.设   {( , x y z , ) | 2 x  2 y  2 z  ，则 1}   2z dxdydz  _____________。 17.级数   n  0  1) ( 1) ln( n  1  n n 是___________（填绝对收敛、条件收敛或发散）。二、解答题：18-23 小题每小题 10 分，共 60 分。请将答案写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明或演算步骤。 18.求不定积分 2 arctan e x  x e 1 dx 。

19.设 ( ) f x x ,0          0 x   x 0, ，求 f 的傅里叶级数的展开式。 20.把一根长为 2 米的绳截成三段，分别折成圆、正三角形和正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最大，并求最大值。 21.设曲面  是 z  4  2 x 2  的上侧，求 y xydydz  xdzdx  2 x dxdy 。   22.求极限 lim( n  2 n n  2 1 n  2 2  2 n    n  2 n 2 n ) 。  23. 计算 ( L x e sin y  2 ) y dx  x ( e cos y  2) dy ，其中 L 为上半圆周 2 x  2 y  2 x  2 y 1 0   从 (2,1) 到 (0,1) 的一段。三、证明题：24-25 小题每小题 11 分，共 22 分。请将证明步骤写在答题纸指定的位置上。 24.设函数 ( ) f x 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 ( ) f x dx f (0) 。证明：在 (0,1) 内 5  1 4 5 f  存在一点，使得 ( )  。 0 25.设数列{ }nx 满足： 1 x  ， 0 nx e x n 1   x n e  1( n 1,2,   。证明： ) (1) nx 0( n   (4 分)； 2,3, ) (2) { }nx 收敛，并求 lim n x n  (7 分)。

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