2019 年北京头沟中考数学真题及答案
一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分)
第 1-8 题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.4 月 24 日是中国航天日,1970 年的这一天,我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”
成功发射,标志着中国从此进入了太空时代,它的运行轨道,距地球最近点 439 000 米.将 439 000
用科学记数法表示应为
(A)
439.0
610
(C)
39.4
510
(B)
39.4
610
(D)
439
310
2.下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是
(A)
(B)
(C)
(D)
3.正十边形的外角和为
(A)180°
(B)360°
(C)720°
(D)1440°
4.在数轴上,点 A,B 在原点 O 的两侧,分别表示数 a,2,将点 A 向右平移 1 个单位长度,得到点 C.若
CO=BO,则 a 的值为
(A)﹣3
(B)﹣2
(C)﹣1
(D)1
5.已知锐角∠AOB 如图,
(1)在射线 OA 上取一点 C,以点 O 为圆心,OC 长为半径作 ,交射线 OB
于点 D,连接 CD;
(2)分别以点 C,D 为圆心,CD 长为半径作弧,交 于点 M,N;
(3)连接 OM,MN.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是
(A)∠COM=∠COD
( B ) 若 OM=MN , 则 ∠
AOB=20°
(C)MN∥CD
(D)MN=3CD
6.如果
1 nm
,那么代数式
2
nm
2
mn
m
1
m
m
2
2
n
的值为
(A)﹣3
(B)﹣1
(C)1
(D)3
7.用三个不等式 b
a ,
0ab ,
命题,组成真命题的个数为
1 中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作为结论组成一个
a
1
b
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
8.某校共有 200 名学生,为了解本学期学生参加公益劳动的情况,收集了他们参加公益劳动时间(单位:
小时)等数据,以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
人数
时间
学生类别
性别
学段
男
女
初中
高中
0≤t<10
10≤t<20
20≤t<30
30≤t<40
t≥40
7
8
31
29
25
25
26
36
30
32
44
4
8
11
下面有四个推断:
①这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在 24.5-25.5 之间
②这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在 20-30 之间
③这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在 20-30 之间
④这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在 20-30 之间
所有合理推断的序号是
(A)①③
(C)①②③
(B)②④
(D)①②③④
二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分)
9.若分式
x 1
x
的值为 0,则 x 的值为 ______ .
10.如图,已知△ABC,通过测量、计算得△ABC 的面积约为 ______ cm2.(结果保留一位小数)
11.在如图所示的几何体中,其三视图中有矩形的是 ______ .(写出所有正确答案的序号)
12.如图所示的网格是正方形网格,则
PAB
PBA
__________ °(点 A,B,P 是网格线交点).
13.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线
y
在双曲线
y
2 上,则
k
x
k 的值为 ______ .
1
k
2
1 上.点 A 关于 x 轴的对称点 B
k
x
14.把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如图 2,图 3 所示
的正方形,则图 1 中菱形的面积为 ______ .
15.小天想要计算一组数据 92,90,94,86,99,85 的方差 2
0s .在计算平均数的过程中,将这组数据中
的每一个数都减去 90,得到一组新数据 2,0,4,4,9,5.记这组新数据的方差为 2
(填“ ”,“ ”或“ ”)
1s ,则 2
1s
______
2
0s
.
16.在矩形 ABCD 中,M,N,P,Q 分别为边 AB,BC,CD,DA 上的点(不与端点重合).
对于任意矩形 ABCD,下面四个结论中,
①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形;
②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形;
③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形;
④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形.
所有正确结论的序号是 ______ .
三、解答题(本题共 68 分,第 17-21 题,每小题 5 分,第 22-24 题,每小题 6 分,第 25 题 5 分,第 26 题
6 分,第 27-28 题,每小题 7 分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算:
3
4
0
2
sin
60
1
.
1
4
18.解不等式组:
4
x
x
3
2
x
1
7
x
19.关于 x 的方程
2
x
2
x
2
m
1
0
有实数根,且 m 为正整数,求 m 的值及此时方程的根.
20.如图,在菱形 ABCD 中,AC 为对角线,点 E,F 分别在 AB,AD 上,BE=DF,连接 EF.
(1)求证:AC⊥EF;
(2)延长 EF 交 CD 的延长线于点 G,连接 BD 交 AC 于点 O,若 BD=4,tanG=
1 ,求 AO 的长.
2
21.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前 40 的国
家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成 7 组:
30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100);
b.国家创新指数得分在 60≤x<70 这一组的是:
61.7
62.4
63.6
65.9
66.4
68.5
69.1
69.3
69.5
c.40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:
d.中国的国家创新指数得分为 69.5.
(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)
根据以上信息,回答下列问题:
(1)中国的国家创新指数得分排名世界第 ______ ;
(2)在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中,包括中国在内的少数几个
国家所对应的点位于虚线 1l 的上方.请在图中用“ ”圈出代表中国的点;
(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中,人均国内生产总值的最小值约为 ______ 万美元;(结果
保留一位小数)
(4)下列推断合理的是 ______ .
①相比于点 A,B 所代表的国家,中国的国家创新指数得分还有一定差距,中国提出“加快建设创新型
国家”的战略任务,进一步提高国家综合创新能力;
②相比于点 B,C 所代表的国家,中国的人均国内生产总值还有一定差距,中国提出“决胜全面建成小
康社会”的奋斗目标,进一步提高人均国内生产总值.
22.在平面内,给定不在同一直线上的点 A,B,C,如图所示.点 O 到点 A,B,C 的距离均等于 a(a 为常
数),到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G,∠ABC 的平分线交图形 G 于点 D,连接 AD,CD.
(1)求证:AD=CD;
(2)过点 D 作 DE BA,垂足为 E,作 DF BC,垂足为 F,延长 DF 交图形 G 于点 M,连接 CM.若 AD=CM,
求直线 DE 与图形 G 的公共点个数.
23.小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词,背诵计划如下:
①将诗词分成 4 组,第 i 组有 ix 首,i =1,2,3,4;
②对于第 i 组诗词,第 i 天背诵第一遍,第( 1i + )天背诵第二遍,第( 3i + )天背诵第三遍,三遍
后完成背诵,其它天无需背诵,i 1,2,3,4;
第 1 天
第 2 天
第 3 天
第 4 天
第 5 天
第 6 天
第 7 天
1x
1x
2x
2x
第 1 组
第 2 组
第 3 组
第 4 组
③每天最多背诵 14 首,最少背诵 4 首.
1x
4x
2x
4x
4x
解答下列问题:
(1)填入 3x 补全上表;
(2)若
1 x
4
,
2 x
3
,
3 x
4
,则 4x 的所有可能取值为 _________ ;
(3)7 天后,小云背诵的诗词最多为 ______ 首.
24.如图,P 是 与弦 AB 所围成的图形的外部的一定点,C 是 上一动点,连接 PC 交弦 AB 于点 D.
小腾根据学习函数的经验,对线段 PC,PD,AD 的长度之间的关系进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)对于点 C 在 上的不同位置,画图、测量,得到了线段 PC,PD,AD 的长度 的几组值,如下表:
位置 1
位置 2
位置 3
位置 4
位置 5
位置 6
位置 7
位置 8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在 PC,PD,AD 的长度这三个量中,确定 ______ 的长度是自变量, ______ 的长度和
______ 的
长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系 xOy 中,画出(1)中所确定的函数的图象;
(3)结 合 函数 图 象 , 解 决问 题 : 当 PC=2PD 时,AD 的长度约为 ______ cm.
25. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:
y
kx
1
( 0k )与直线 k
x ,直线
y
分别交于点 A,B,
k
x 与直线
y
k
交于点 C.
直线 k
(1)求直线l 与 y 轴的交点坐标;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段 AB,BC,CA 围成的区域(不含边界)为 W.
①当 2k 时,结合函数图象,求区域 W 内的整点个数;
②若区域 W 内没有整点,直接写出 k 的取值范围.
26.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线
y
2
ax
bx
1
a
得到点 B,点 B 在抛物线上.
(1)求点 B 的坐标(用含 a 的式子表示);
(2)求抛物线的对称轴;
与 y 轴交于点 A,将点 A 向右平移 2 个单位长度,
(3)已知点 P(
1 ,
2
1 ),Q(2,2).若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点,结合函数图象,求 a 的取
2
值范围.
27.已知∠AOB=30°,H 为射线 OA 上一定点,
OH
13
,P 为射线 OB 上一点,M 为线段 OH 上一动点,
连接 PM,满足∠OMP 为钝角,以点 P 为中心,将线段 PM 顺时针旋转 150°,得到线段 PN,连接 ON.
(1)依题意补全图 1;
(2)求证:∠OMP=∠OPN;
(3)点 M 关于点 H 的对称点为 Q,连接 QP.写出一个 OP 的值,使得对于任意的点 M 总有 ON=QP,并证
明.
28.在△ABC 中,D,E 分别是△ABC 两边的中点,如果 上的所有点都在△ABC 的内部或边上,则称 为
△ABC 的中内弧.例如,下图中 是△ABC 的一条中内弧.
(1)如图,在 Rt△ABC 中,
AB
AC
22
,D,E 分别是 AB,AC 的中点.画出△ABC 的最长的中内
弧 ,并直接写出此时 的长;
(2)在平面直角坐标系中,已知点 A(0,2),B(0,0),C(4t,0)(t>0),在△ABC 中,D,E 分别是
AB,AC 的中点.
①若
1t
2
,求△ABC 的中内弧 所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围;