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2004年天津市高考理科数学真题及答案.doc
2004 年天津市高考理科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
i
)
( 1
)(2
i
3
i
B． 1 i
1 3
的解集为 (
1．（5 分） i 是虚数单位，
A．1 i
2．（5 分）若不等式 2
x
x
A．[ 1 ， 0)
C． ( ， 1]
(
)
C．1 3i
D． 1 3i
)
B．[ 1 ， )
3．（5 分）若平面向量 b
与向量 (1, 2)
a
的夹角是180 ，且|
，则 (
b
)
D． ( ， 1]
)
(0,
b
| 3 5
A． ( 3,6)
B． (3, 6)
C． (6, 3)
D． ( 6,3)
4．（5 分）设 P 是双曲线
2
2
x
a
2
y
9
1
上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 3
x
4
y
， 1F ， 2F 分别是双
0
曲线的左、右焦点，若 1
PF ，则 2
| 10
|PF 等于 (
|
|
)
A．2
B．18
C．2 或 18
D．16
5．（5 分）若函数 ( )
f x
log
x
(0
a
A． 2
4
B． 2
2
在区间[a ， 2 ]a 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 等于 (
1)
a
)
C． 1
4
D． 1
2
6．（5 分）如图，在棱长为 2 的正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中， O 是底面 ABCD 的中心， E 、 F 分别是 1CC 、
AD 的中点，那么异面直线 OE 和 1FD 所成的角的余弦值等于 (
)
A． 10
5
B． 15
5
C． 4
5
D． 2
3
7．（5 分）点 (2, 1)
为圆
P
(
x
2
1)
2
y
的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为 (
25
)
A．
x
y
1 0
B． 2
x
y
3 0
C．
x
y
3 0
D． 2
x
y
5 0
8．（5 分）已知数列{ }na ，那么“对任意的
n N ，点 ( ,
P n a 都在直线 2
x
n
y
)
n
*
1
上”是“{ }na 为等差数列”
的 (
)
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（5 分）函数 2sin(
y
6
， [0
x ， ]) 为增函数的区间是 (
2 )
x
)
A．[0 ， ]
3
B．[
12
， 7
12
]
C．[
3
， 5 ]
6
D． 5[
6
， ]
10．（5 分）如图，在长方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中，
AB ，
6
AD ， 1
AA ，分别过 BC 、 1
1A D 的两个平
3
4
行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为
V V
1
AEA DFD
1
1
，
V
3
V
B E B C F C
1 1
1 1
面 1
A EFD 的面积为 (
1
)
．若 1
V V V
:
:
2
3
1: 4 :1
，则截
A． 4 10
B． 8 3
C． 4 13
D．16
11．（5 分）函数
y
2 13
x
( 1
x
0)
的反函数是 (
)
A．
y
1 log
3
(
x x
1
3
)
C．
y
1 log
3
x
(
1
3
x
1)
B．
y
1 log
3
(
x x
1
3
)
D．
y
1 log
3
x
(
1
3
x
1)
12．（5 分）定义在 R 上的函数 ( )
f x 既是偶函数又是周期函数．若 ( )
f x 的最小正周期是 ，且当 [0
x ， ]
2
时， ( )
f x
sin
x
A． 1
2
f
，则 5(
)
3
B． 1
2
的值为 (
)
C． 3
2
D． 3
2
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分）某工厂生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2 :3:5 ，现用分层抽样方法
抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件．那么此样本的容量 n
．
14．（4 分）如果过两点 ( ,0)
A a 和 (0, )
a 的直线与抛物线
B
y
2
x
2
x
没有交点，那么实数 a 的取值范围
3
是
．
15 ． （ 4
分 ） 若
(1 2 )
x
2004
a
0
a x a x
1
2
2
a
2004
x
2004
(
x R
)
， 则
(
a
0
a
1
)
(
a
0
a
2
)
(
a
0
a
3
)
(
a
0
a
2004
)
．（用数字作答）
16．（4 分）从 1，3，5，7 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6，8 中任取 2 个数字组成没有重复数字的四位数，
其中能被 5 整除的四位数共有
个．（用数字作答）
三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）
17．（12 分）已知
tan(
4
)
．
1
2
（Ⅰ）求 tan的值；
2
sin 2
cos
1 cos2
（Ⅱ）求
的值．
18．（12 分）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量表示所选 3 人中女生的人数．
（1）求的分布列和的数学期望；
（2）求“所选 3 人中女生人数 1 ”的概率．
19．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD
中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD ， PD DC ， E
是 PC 的中点，作 EF
PB 交 PB 于点 F ．
（1）证明 / /
PA 平面 EDB ；
（2）证明 PB 平面 EFD ；
（3）求二面角 C PB D
的大小．
20．（12 分）已知函数
( )
f x
3
ax
2
bx
在
3
x
x 处取得极值．
1
（Ⅰ）讨论 f （1）和 ( 1)
f 是函数 ( )
f x 的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点 (0,16)
A
作曲线
y
( )
f x
的切线，求此切线方程．
21．（12 分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为偶数；
（2）点数大于 2 且小于 5．
22．（14 分）椭圆的中心是原点 O ，它的短轴长为 2 2 ，相应于焦点 (F c ， 0)(
c 的准线 l 与 x 轴相交于
0)
点 A ，|
OF
| 2 |
FA
|
，过点 A 的直线与椭圆相交于 P 、 Q 两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若
OP OQ
0
，求直线 PQ 的方程；
（3）设
AP
AQ
(
，过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ，证明 FM
FQ
1)
．
2004 年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分） i 是虚数单位，
A．1 i
【解答】解：
( 1
)(2
i
3
i
( 1
)(2
i
3
i
B． 1 i
)
3
i
i
i
i
)
(
)
C．1 3i
D． 1 3i
i
( 3
，
1 3
i
)
i
故选： D ．
2．（5 分）若不等式 2
A．[ 1 ， 0)
C． ( ， 1]
1 3
的解集为 (
)
x
x
B．[ 1 ， )
D． ( ， 1]
(0,
)
【解答】解： 2
1
x
x
3
1
2
x
x
3 0
x
1
x
0
1
x
0
故选： A ．
3．（5 分）若平面向量 b
与向量 (1, 2)
a
的夹角是180 ，且|
b
| 3 5
，则 (
b
)
A． ( 3,6)
B． (3, 6)
C． (6, 3)
D． ( 6,3)
【解答】解向量 b
与向量 (1, 2)
a
的夹角是180 ，
与向量 a 反向，
向量 b
( , 2 )
a
b
令
（则 0) ，
b
| 3 5
，
又 |
2
( 2 )
2
3 5
3
解得
b
故 ( 3,6)
故选： A ．
4．（5 分）设 P 是双曲线
2
2
x
a
2
y
9
1
上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 3
x
4
y
， 1F ， 2F 分别是双
0
曲线的左、右焦点，若 1
PF ，则 2
| 10
|PF 等于 (
|
|
)
A．2
B．18
C．2 或 18
D．16
【解答】解：整理准线方程得
y
，
x
3
4
3
a
， 4
a ，
3
4
|
PF
1
|
|
PF
2
| 2
a
PF
2
|
| 2
或 18，
故选： C ．
PF
或 2
8
|
|
|
PF
1
| 2
a
8
5．（5 分）若函数 ( )
f x
log
x
(0
a
A． 2
4
B． 2
2
【解答】解： 0
1a
，
( )
f x
loga
x
是减函数．
在区间[a ， 2 ]a 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 等于 (
1)
a
)
C． 1
4
D． 1
2
log
a
a
3 log 2
a
a
．
log 2
a a
．
1
3
1 log 2
a
．
1
3
a
log 2
．
2
3
a ．
2
4
故选： A ．
6．（5 分）如图，在棱长为 2 的正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中， O 是底面 ABCD 的中心， E 、 F 分别是 1CC 、
AD 的中点，那么异面直线 OE 和 1FD 所成的角的余弦值等于 (
)
A． 10
5
B． 15
5
C． 4
5
D． 2
3
GC
【解答】解：取 BC 的中点 G ．连接 1
/ /
FD ，再取 GC 的中点 H ，连接 HE 、OH ，则 OEH
1
为异面直
线所成的角．
在 OEH
中，
OE ，
3
由余弦定理，可得
cos
OEH
故选： B ．
HE ，
OH ．
5
2
5
2
15
5
．
7．（5 分）点 (2, 1)
为圆
P
(
x
2
1)
2
y
的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为 (
25
)
A．
x
y
1 0
B． 2
x
y
3 0
C．
x
y
3 0
D． 2
x
y
5 0
【解答】解： AB 是圆
(
x
2
1)
2
y
的弦，圆心为 (1,0)
25
C
设 AB 的中点是 (2, 1)
满足 AB CP
P
因此， AB 的斜率
k
1
k
CP
1
1
0 1
1 2
x
可得直线 AB 的方程是 1
y
，化简得
2
x
y
3 0
故选： C ．
8．（5 分）已知数列{ }na ，那么“对任意的
的 (
)
n N ，点 ( ,
P n a 都在直线 2
x
n
y
)
n
*
1
上”是“{ }na 为等差数列”
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：点 ( ,
P n a 都在直线 2
x
n
y
)
n
1
上
na
2
n
1
，
“{ }na 为等差数列，
若“{ }na 为等差数列，可设
na
2
n
，则点 ( ,
P n a 都不在直线 2
x
n
2
y
)
n
1
上，
n N ，点 ( ,
P n a 都在直线 2
x
n
*
y
)
n
1
上”是“{ }na 为等差数列”的充分而不必要条件，
对任意的
故选： B ．
9．（5 分）函数 2sin(
y
6
， [0
x ， ]) 为增函数的区间是 (
2 )
x
)
A．[0 ， ]
3
B．[
12
， 7
12
]
C．[
3
， 5 ]
6
【解答】解：由 2sin(
y
6
2 )
x
2sin(2
x
)
6
其增区间可由 2sin(2
y
的减区间得到，
， ]
D． 5[
6
)
6
x
2
x
6
2
k
3
2
， k Z
x k
， k Z ．
5
6
5
6
，
x
即
2
k
k
2
3
k ，
令 0
3
故选： C ．
10．（5 分）如图，在长方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中，
AB ，
6
AD ， 1
AA ，分别过 BC 、 1
1A D 的两个平
3
4
行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为
V V
1
AEA DFD
1
1
，
V
3
V
B E B C F C
1 1
1 1
．若 1
V V V
:
:
2
3
1: 4 :1
，则截
面 1
A EFD 的面积为 (
1
)
A． 4 10
B． 8 3
C． 4 13
D．16
【解答】解：由题意知，在长方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中，平面 1
A D EF 平面 1
/ /
B C E F ，
1 1
1
1
截面是一个矩形，并且长方体的体积 6 4 3 72
V V V
1
:
:
2
3
1: 4 :1
，
V V
1
AEA DFD
1
1
V ，
1 72 12
6
，
则
12
1
2
AE A A AD
，解得
1
AE ，
2
在直角
1AEA
中，
EA
1
2
3
2
2
13
，
故截面的面积是
EF EA
1
4 13
，
故选： C ．
11．（5 分）函数
y
2 13
x
( 1
x
0)
的反函数是 (
)
A．
y
1 log
3
(
x x
1
3
)
C．
y
1 log
3
x
(
1
3
x
1)
B．
y
1 log
3
(
x x
1
3
)
D．
y
1 log
3
x
(
1
3
x
1)
【解答】解：函数
y
2 13x
，可得 2
x
1 log
y
3
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