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2020年山东高考数学试题及答案.doc
2020 年山东高考数学试题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|2
A．20°
C．50°
B．40°
D．90°
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生
喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A．62%
C．46%
B．56%
D．42%
6．基本再生数 R0 与世代间隔 T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，
世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： (
I t 描
e
)
rt
述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率 r与 R0，T近似满足 R0 =1+rT.有学
者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的
时间约为(ln2≈0.69)
A．1.2 天
C．2.5 天
B．1.8 天
D．3.5 天
7．已知 P是边长为 2 的正六边形 ABCDEF内的一点，则 AP AB
的取值范围是
A． (
)2,6
C． (
)2,4
B． (
)6,2
D． (
)4,6
8．若定义在 R 的奇函数 f(x)在 (
0), 单调递减，且 f(2)=0，则满足 (
xf x 的 x的取值范围是
1
0)
A．[
1,1]
[3,
)
C．[
1,0]
[1,
)
B． 3, 1]
[
[ ,
0 1]
D． 1,0]
[
[1,
3]
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9．已知曲线
C mx
:
2
2
ny
1
.
A．若 m>n>0，则 C是椭圆，其焦点在 y轴上
B．若 m=n>0，则 C是圆，其半径为 n
C．若 mn<0，则 C是双曲线，其渐近线方程为
y
m
n
x
D．若 m=0，n>0，则 C是两条直线
10．下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)=
A．
sin(
x ）
B． π
sin(
3
11．已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则
π
3
2 )
x
C．
cos(2
x ）D．
π
6
cos(
5π
6
2 )
x
A． 2
a
2
b
1
2
log
C． 2
a
log
2
b
2
B．
2
a b
1
2
D．
a
b
2
12 ． 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念 . 设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 的 取 值 为 1,2,
,n ， 且
(
P X i
)
p
i
0(
i
1,2,
A．若 n=1，则 H(X)=0
, ),
n
p
i
n
i
1
1
，定义 X的信息熵
H X
(
)
n
i
1
p
i
log
2
p
i
.
B．若 n=2，则 H(X)随着 1p 的增大而增大
C．若
ip
1 (
i
n
1,2,
，则 H(X)随着 n的增大而增大
, )
n
D ． 若 n=2m， 随 机 变 量 Y所 有 可 能 的 取 值 为 1,2,
,m ， 且
(
P Y
j
)
p
j
p
2
m
1
j
(
j
H(X)≤H(Y)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1,2,
， 则
m
)
,
13．斜率为 3 的直线过抛物线 C：y2=4x的焦点，且与 C交于 A，B两点，则 AB =________．
14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n项和为________．
15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧 AB所在圆的圆
心，A是圆弧 AB与直线 AG的切点，B是圆弧 AB与直线 BC的切点，四边形 DEFG为矩形，BC⊥DG，垂
足为 C，tan∠ODC= 3
5
， BH DG∥ ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线 DE和 EF的距离均为 7 cm，圆孔半
径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
16．已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的棱长均为 2，∠BAD=60°．以 1D 为球心， 5 为半径的球面与侧面 BCC1B1
的交线长为________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
在①
ac ，② sin
3
c
A ，③
3
c
3
b
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ABC△
，它的内角 ,
,A B C 的对边分别为 ,
,a b c ，且 sin
A
3sin
B
，
C
，________?
6
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12 分）
已知公比大于1的等比数列{ }na 满足 2
a
a
4
20,
a
3
．
8
（1）求{ }na 的通项公式；
（2）记 mb 为{ }na 在区间
(0,
19．（12 分）
m m N 中的项的个数，求数列{ }mb 的前100 项和 100S ．
](
)
*
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的
PM 2.5 和 2SO 浓度（单位：
μg/m ），得下表：
3
2SO
PM 2.5
[0,35]
(35,75]
(75,115]
[0,50]
(50,150]
(150,475]
32
6
3
18
8
7
4
12
10
（1）估计事件“该市一天空气中 PM 2.5 浓度不超过 75 ，且 2SO 浓度不超过150 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表：
[0,150]
(150,475]
2SO
PM 2.5
[0,75]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与 2SO 浓度有关？
附：
2
K
(
2
(
)
n ad bc
)(
，
)
a b c d a c b d
)(
)(
(
P K
2
k
)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
20．（12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
21．（12分）
已知函数
( )
f x
a
e
x
1
ln
x
ln
a
．
（1）当 ea 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
22．（12分）
已知椭圆C：
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
的离心率为 2
b
2
0)
，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
参考答案
2．D
6．B
3．C
7．A
4．B
8．D
一、选择题
1．C
5．C
二、选择题
9．ACD
10．BC
11．ABD
12．AC
三、填空题
13．
16
3
四、解答题
17．解：
14． 23
n
2
n
15．
5
2
4
16． 2
2
方案一：选条件①．
由
C
和余弦定理得
6
2
a
2
c
2
b
2
ab
．
3
2
由 sin
A
3sin
B
及正弦定理得
a
3
b
．
于是
2
3
b
2
c
2
b
2 3
b
2
，由此可得 b
3
2
c ．
由①
ac ，解得
3
a
3,
b c
．
1
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 1c ．
方案二：选条件②．
由
C
和余弦定理得
6
2
a
2
c
2
b
2
ab
．
3
2
由 sin
A
3sin
B
及正弦定理得
a
3
b
．
于是
2
3
b
2
c
2
b
2 3
b
2
，由此可得 b
3
2
c ，
B C
，
6
A
．
2
3
由② sin
c
A ，所以
3
c b
2 3,
a
．
6
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 2 3
c
．
方案三：选条件③．
由
C
和余弦定理得
6
2
a
2
c
2
b
2
ab
．
3
2
由 sin
A
3sin
B
及正弦定理得
a
3
b
．
于是
2
3
b
2
c
2
b
2 3
b
2
，由此可得 b
3
2
c ．
由③
c
3
b
，与 b
c 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
18．解：
（1）设{ }na 的公比为 q ．由题设得
a q a q
1
1
3
， 2
a q ．
1
20
8
解得
q （舍去）， 2
q ．由题设得 1
a ．
2
1
2
所以{ }na 的通项公式为
na ．
2n
（2）由题设及（1）知 1
b ，且当
0
n
2
m
n
时， mb
2
1
n ．
所以 100
S
b
1
(
b
2
b
3
)
(
b
4
b
5
b
6
b
7
)
(
b
32
b
33
b
63
)
(
b
64
b
65
b
100
)
0 1 2 2 2
2
3
3 2
4 2
4
5
5 2
．
480
19．解：
6 (100 63)
（1）根据抽查数据，该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 2SO 浓度不超过 150 的天数为
32 18 6 8 64
,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 2SO 浓度不超过 150 的概率的估计
值为
64
100
0.64
．
（2）根据抽查数据，可得 2 2 列联表：
2SO
PM 2.5
[0,75]
(75,115]
[0,150]
(150,475]
64
10
16
10
（3）根据（2）的列联表得
2
K
100 (64 10 16 10)
80 20 74 26
2
7.484
．
由于 7.484 6.635
，故有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与 2SO 浓度有关．
20．解：
（1）因为 PD 底面 ABCD ，所以 PD AD ．
又底面 ABCD 为正方形，所以 AD DC ，因此 AD 底面 PDC ．
因为 AD BC∥ ， AD 平面 PBC ，所以 AD∥ 平面 PBC ．
由已知得 l AD∥ ．因此 l 平面 PDC ．
（2）以 D 为坐标原点， DA
的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz
．
则 (0,0,0),
D
C
(0,1,0),
B
(1,1,0),
P
(0,0,1)
，
DC
(0,1,0)
，
PB
(1,1, 1)
．
由（1）可设 ( ,0,1)
Q a
，则
DQ a
( ,0,1)
．
设 ( ,
n
, )
x y z
是平面 QCD 的法向量，则
DQ
DC
n
n
0,
0,
即
0,
ax
y
z
0.
可取 ( 1,0, )a
n
所以
cos
,
n
PB
．
PB
|
PB
|
n
|
n
|
1
a
3 1
a
2
．
设 PB 与平面 QCD 所成角为，则
sin
3
3
|
a
1
1|
2
a
3
3
1
2
2
a
1
a
．
，当且仅当 1a 时等号成立，所以 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值
1
2
2
a
a
1
6
3
3
3
．
因为
为 6
3
21．解：
( )
f x 的定义域为 (0,
) ，
( )
f x
a
ex
1
．
1
x
（1）当 e
a 时， ( )
f x
x
e
ln
x
， (1)
1
f
，
e 1
曲线
y
( )
f x
在点 (1,
(1))
f 处的切线方程为 (e 1)
y
(e 1)(
x
1)
，即 (e 1)
y
x
．
2
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